定積分近似計算

1、1一、問題的提出計算定積分的方法：計算定積分的方法：(1) 求原函數(shù)；求原函數(shù)；問題：問題：(1) 被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；(2) 被積函數(shù)難于用公式表示，而是用圖形或被積函數(shù)難于用公式表示，而是用圖形或表格給出的；表格給出的；(3) 被積函數(shù)雖然能用公式表示，但計算其原被積函數(shù)雖然能用公式表示，但計算其原函數(shù)很困難函數(shù)很困難(2) 利用牛頓萊布尼茨公式得結(jié)果利用牛頓萊布尼茨公式得結(jié)果 定積分的近似計算定積分的近似計算下頁首頁2解決辦法解決辦法：建立定積分的近似計算方法建立定積分的近似計算方法常用方法常用方法：矩形法、梯形法、拋物線法矩形法、梯形

2、法、拋物線法思路：思路：分分的的近近似似值值面面積積，就就得得到到所所給給定定積積出出相相應應的的曲曲邊邊梯梯形形的的的的面面積積，只只要要近近似似地地算算在在數(shù)數(shù)值值上上表表示示曲曲邊邊梯梯形形)0)()( xfdxxfba下頁上頁首頁3解決辦法解決辦法：建立定積分的近似計算方法建立定積分的近似計算方法常用方法常用方法：矩形法、梯形法、拋物線法矩形法、梯形法、拋物線法思路：思路：分分的的近近似似值值面面積積，就就得得到到所所給給定定積積出出相相應應的的曲曲邊邊梯梯形形的的的的面面積積，只只要要近近似似地地算算在在數(shù)數(shù)值值上上表表示示曲曲邊邊梯梯形形)0)()( xfdxxfba下頁上頁首頁4

3、窄窄矩矩形形的的高高，如如圖圖作作為為值值取取小小區(qū)區(qū)間間左左端端點點的的函函數(shù)數(shù)等等分分，將將區(qū)區(qū)間間用用分分點點), 1 , 0(,10niynbabxxxain oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny)1()(1111 niiniibaynabxydxxf則有則有下頁上頁首頁5的的高高，如如圖圖作作為為窄窄矩矩形形取取右右端端點點的的函函數(shù)數(shù)值值), 2 , 1(niyi )2()(11 niiniibaynabxydxxf稱為矩形法公式稱為矩形法公式、 )2()1(oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny則有則有下頁上頁首頁6梯

4、形法就是在每個小梯形法就是在每個小區(qū)間上，以窄梯形的區(qū)間上，以窄梯形的面積近似代替窄曲邊面積近似代替窄曲邊梯形的面積，如圖梯形的面積，如圖oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y)3()(21)(21)(21)(21)(121012110 nnnnbayyyyynabxyyxyyxyydxxf下頁上頁首頁7例例的近似值的近似值積分積分用矩形法和梯形法計算用矩形法和梯形法計算 102dxex解解,ix設分點為設分點為把區(qū)間十等分把區(qū)間十等分相應的函數(shù)值為相應的函數(shù)值為)10, 1 , 0(2 ieyixi)10, 1 , 0( iiixiy01234501 . 02

5、. 03 . 04 . 05 . 000000. 199005. 096079. 091393. 085214. 077880. 0列表列表:下頁上頁首頁8iixiy10678916 . 07 . 08 . 09 . 069768. 061263. 052729. 044486. 036788. 0利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得1001)(910102 yyydxex.77782. 0 利用矩形法公式（），得利用矩形法公式（），得1001)(1021102 yyydxex.71461. 0 下頁上頁首頁9利用梯形法公式（），得利用梯形法公式（），得)(21100192110010

6、2yyyyydxex 實際上是前面兩值的平均值，實際上是前面兩值的平均值，)71461. 077782. 0(21102 dxex.74621. 0 下頁上頁首頁10到定積分的近似值到定積分的近似值原來的曲線弧，從而得原來的曲線弧，從而得段弧來近似代替段弧來近似代替軸的二次拋物線上的一軸的二次拋物線上的一行于行于許多小段，用對稱軸平許多小段，用對稱軸平拋物線法是將曲線分為拋物線法是將曲線分為y), 2 , 1 , 0().(),(,10nixfyyxMnbxxxaiiiiin 點為點為這些分點對應曲線上的這些分點對應曲線上的（偶數(shù)）等分，（偶數(shù)）等分，把區(qū)間分成把區(qū)間分成用分點用分點oxy)(

7、xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y2y下頁上頁首頁11因為經(jīng)過三個不同的點可以唯一確定一拋物線因為經(jīng)過三個不同的點可以唯一確定一拋物線,., ,212432210nnniMMMMMMMMMnM 組組互互相相銜銜接接的的分分成成故故可可將將這這些些曲曲線線上上的的點點.,)2, 2 , 1(,22122222221222線弧線弧近似代替曲近似代替曲的二次拋物線的二次拋物線用經(jīng)過點用經(jīng)過點上上應的子區(qū)間應的子區(qū)間所對所對在每組在每組rqxpxyMMMxxnkMMMkkkkkkkk 下頁上頁首頁12邊梯形的面積邊梯形的面積為曲邊的曲為曲邊的曲的拋物線的拋物線上過三點上過三點計

8、算在計算在rqxpxyyhMyMyhMhh 2221100),(), 0(),(,可可由由下下列列方方程程組組確確定定：拋拋物物線線方方程程中中的的rqp, .,22120rqhphyryrqhphy.222102yyyph 由由此此得得下頁上頁首頁13于是所求面積為于是所求面積為 hhdxrqxpxA)(2rhph2323 )62(312rphh ),4(31210yyyh 有有關(guān)關(guān)及及底底邊邊所所在在的的區(qū)區(qū)間間長長度度標標的的縱縱坐坐只只與與顯顯然然，曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積hyyyMMM2,210210 下頁上頁首頁14組組曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為由由此此可可知知2n),4

9、(31),4(31),4(3112243222101nnnnyyyhAyyyhAyyyhA .nabh 其中其中)4().(4)(2)(3)(1312420 nnnbayyyyyyyynabdxxf下頁上頁首頁15例例 對如圖所示的圖形測量所得的數(shù)據(jù)如下表對如圖所示的圖形測量所得的數(shù)據(jù)如下表所示所示,用拋物線法計算該圖形的面積用拋物線法計算該圖形的面積 .A0123451 6站號站號y高高0305. 2865. 4974. 6568. 8559. 9011.10183.1078910111213站號站號y高高200.10200.10200.10200.10200.10200.10200.101

10、4151617182019站號站號y高高400.10416. 9015. 8083. 6909. 3814. 10下頁上頁首頁16yxo1A2A米米站站之之間間的的距距離離為為站站到到而而）為為兩兩站站之之間間的的距距離離（站站距距米米，相相鄰鄰站站之之間間的的距距離離為為站站到到這這里里，501359. 72018.14718.147200 下頁上頁首頁17解解來近似表示，即來近似表示，即軸構(gòu)成的三角形的面積軸構(gòu)成的三角形的面積的交點的連線與坐標的交點的連線與坐標它可以用曲線同坐標軸它可以用曲線同坐標軸表示表示站這一段的面積用站這一段的面積用站到站到從從101A 305. 25211 A).

11、(763. 5平方米平方米 根據(jù)拋物線公式根據(jù)拋物線公式(4)，得，得3)(2)(4)(1842195312002xyyyyyyyyyA ).(839.1194平方米平方米 839.1194768. 521 AAA).(602.1200平方米平方米 下頁上頁首頁18求定積分近似值的方法：求定積分近似值的方法：矩形法、梯形法、拋物線法矩形法、梯形法、拋物線法注意：對于以上三種方法當取得越大時近注意：對于以上三種方法當取得越大時近似程度就越好似程度就越好n下頁上頁首頁19一、一、 某河床的橫斷面如教材圖某河床的橫斷面如教材圖125 所示，為了計算最所示，為了計算最大排洪量，需要計算它的斷面積試根據(jù)圖示的大排洪量，需要計算它的斷面積試根據(jù)圖示的測量數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù)（單位為米）用梯形法計算其斷面積（單位為米）用梯形法計算其斷面積. .二、 用三種積分近似計算法計算用三種積分近似計算