有關(guān)球的高考習(xí)題

1、歡迎閱讀1.（2014 陜西高考理科T5）已知底面邊長(zhǎng)為1側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）A- B.4 兀 C.2 九 D. 33【解題指南】根據(jù)截面圓半徑、球心距、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，求出球的半徑，代入球的體積公式求解.二/ I J【解析】選D.由正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，可設(shè)正四棱柱的上底所在截面圓的半徑為Ri,匚二，二二二 ：.）則咫+R；=1可得七七；又側(cè)棱長(zhǎng)為、2所以球心到截面圓的距離d¥由截面圓半徑、球心距、球半 一 ILrJ徑構(gòu)成直角三角形，根據(jù)勾股定理得球半徑r=Jr；-小=1-；=1,代入球的體積公式得球的體積為

2、4n'； J. . j） /'一 .3，二，.、._'-2 .（2016 全國(guó)卷n文科T4）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 （）I I,A.12 n B. 32n C.8 支 D.4 汽 3【解題指南】利用正方體的體對(duì)角線就是球的直徑求解【解析】選A.因?yàn)檎襟w的體積為8,所以正方體的棱長(zhǎng)為2,其體對(duì)角線長(zhǎng)為2 V3,所以正 r /1 1 I/_ 一 一1-二 I3 .（2015 新課標(biāo)全國(guó)卷II理科T9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，ZAOB=90 ,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為 （）A.36 兀

3、B.64 兀C.144ttD.256 7t【解題指南】當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，利用Vo-ab.VC-aob列出關(guān)于半徑R的方程，求出球的半徑，然后求出球的表面積.【解析】選C如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R此時(shí)Vo-AB（=VAOE=x!R2XR=R3=36，故R=6則或。的表面積為S=4 #=144 兀.4 .（2016 全國(guó)卷田文科11 ）與（2016 全國(guó)卷3 理科T10）相同在封閉的直三棱柱 ABC-A iBiCi內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB±BC,AB=6 ,BC=8 ,A

4、A1二3，則V的最大值是 （）A.4 n B. 991 C.6 n D.券【解題指南】注意當(dāng)球和直三棱柱的三個(gè)側(cè)面內(nèi)切時(shí)，球已不在直三棱柱內(nèi).一1 i x LI【解析】選B.當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的體積最大.在直三棱柱內(nèi)，當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面都相切時(shí)，因?yàn)锳BL I1 '6 8 _10 BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時(shí)球的半徑尸2=2,直徑為4側(cè)棱.所39以球的最大直徑為3,半徑為2,此時(shí)體積V= y.方體的外接球的半徑為 后，所以球的表面積為4支（石）2=12支.5. （2010 遼寧高考文科 11）已知S, A, B, C是球O表面上的點(diǎn)，SA1平面AB

5、CAB!BC,SA=AB=1, BC=a/2，則球O的表面積等于（）l 1 Y 11 彳一.1 .I（A） 4n（B） 3n（C）2 n1 ,（D）二【命題立意】本題考查了空間兩點(diǎn)間距離公式和球的表面積公式.【思路點(diǎn)撥】建立空間坐標(biāo)系設(shè)球心坐標(biāo)f 球的半徑_球的表面積【規(guī)范解答】選A： SA，平面ABC AB AC平面ABC ' SA± AB , SA± AC ,故可以a為原點(diǎn)，ac所在的直線為y軸，AS所在的直線為z軸建立如圖所示的空間直6-3 _角坐標(biāo)系 A-xyz ,則 A(0,0,0) , B-,0) , C(0, 73，0) , S(o,o,1),設(shè)球心

6、O33坐標(biāo)為（xo,yo,zo）,則點(diǎn)。到各頂點(diǎn)S, A, B, C的距離相等,都等于球的半徑 R.2222XoyoZo = R,，6、2 ,(Xo - 3-)(yo -，,3、2, 一 22)(Zo -0) = R(Xo - 0)(yo - - 3), 一 2_2(Zo - 0) = R(Xo -0)2 (yo -0)2 (zo -1)2 =R2c31 -2解得 Xo =0, yo =-2", zo =2,R =1 ,2，球的表面積為4hR =4幾父1 =4幾.故選A.歡迎閱讀【方法技巧】1.選用球心到各頂點(diǎn)的距離都相等來(lái)確定球心，才能求出半徑,2 .也可用另外的方法找到球心，因?yàn)?/p>

7、/ ABCg直角，所以AC是過(guò)A, B, C三點(diǎn)的小圓的直徑，所以球心在過(guò) AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面 SAC中,又因?yàn)榍蛐牡近c(diǎn)S, A, C的距離都相等，且ASAO直角三角形，所以球心就是斜邊 SC的中點(diǎn),球的半徑為SC的一半,3 .另外，可將三棱錐S-ABC#成一個(gè)長(zhǎng)方體進(jìn)行求解.6. (2010海南寧夏高考理科110）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)為 a ,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為（(A)二a2(B) 3 二a2(C)“二 a23(D) 5 二 a2本小題主要考查了幾何體的外接球問(wèn)題.找出球與棱柱的相應(yīng)關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長(zhǎng)之間的關(guān)系【規(guī)范解答

8、】選B.設(shè)球心為O,設(shè)正三棱柱上底面為 MBC ,中心為O',因?yàn)槿庵欣獾拈L(zhǎng)為a,則可知OO'OA=Y3a,又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑23R = JOO*2 +OA2 =a,所以球的表面積為4nR2=7na2,故選B . 637. （2011 遼寧高考文科 10）已知球的直徑SC=4 A, B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2 /ASCWBSC=45 ,貝U棱錐S-ABC的體積為（）（A）/（B） 乎 （C） 華 （D） 萼 :【思路點(diǎn)撥】找到直徑SC的垂截面是解決本題的關(guān)鍵.二-二二一一* r £ 【精講精析】選C,設(shè)球心為O,則AO,BO是兩個(gè)全等的等腰直角三

9、角形斜邊上的高，斜邊SC =4,故 AO = BO = 2 ,且有 AO _L SC , BO _L SC .11:- ,VSABC =VSUOBVC/OB =1S&OB(SO OC )-二黑334A, B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB =J3 ,8. （2011 遼寧高考理科 12）已知球的直徑SC=4,/ASC =/BSC =30°,則棱錐S-ABC的體積為（）（A） 3而（B） 2<3（C） <3（D） 1【思路點(diǎn)撥】找到直徑SC的垂截面是解決本題的關(guān)鍵.I二、| I【精講精析】選C.由題意可知&SAC和&SBC是兩個(gè)全等的直角三角形，過(guò)直角頂點(diǎn)

10、A, B分別作 斜邊上白高線AH ,BH ,由于ASC =/BSC =30，求得AH = BH =。3 ,所以等邊4ABH的面積為S&bh ='畫之=晅 所求棱錐S-ABC的體積等于以AABH為底的兩個(gè)小三棱錐的體積 44I的和，其高的和即為球的直徑SC的長(zhǎng)，故Vs/bc =1乂 3父4= J3 .349. （2011 新課標(biāo)全國(guó)高考理科 T15）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為 4的球O的球面上，且AB =6,BC =2而，則棱錐O -ABCD的體積為【思路點(diǎn)撥】畫出圖形，找出球心位置，然后數(shù)形結(jié)合求出棱錐 O-ABCD勺O',OO體積.【精講精析】如圖所示，OO&#

11、39;垂直于矩形ABCDT在的平面，垂足為 連接O'B, OB ,則在RgOO'B中，由。氏4, O'B = 2V3,可得=2, . V0 aBeD =1S OO = 1 6 2 3 2 =8. 3.【答案】8、310. (2011 新課標(biāo)全國(guó)高考文科 T16)已知兩個(gè)圓錐有公共底面，且兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn)和底面的3圓周都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的士，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者16的高與體積較大者的高的比值為【思路點(diǎn)撥】畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合，然后利用球及圓的性質(zhì)求解【精講精析】如圖設(shè)球的半徑為R,圓錐的底面 圓半徑為r,則依題意得ABC0 3r二 r =

12、 一 4 二 R ,即=cos - O CO =16R一 1.1AO = R - R,BO =R R,.1，/O CO =30；= OO' = -R , 211. (2012 新課標(biāo)全國(guó)高考理科T11)已知三棱錐S- 的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，4ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑,且SC=2則此棱錐的體積為()2S22A. 一一一一6(B)6(C)3(D)2【解題指南】思路一：取AB的中點(diǎn)為D,將棱錐分割為兩部分，利用-1-V 二一S abc ： 2dV WBas +以藥求體積；思路二：設(shè)點(diǎn)0到面ABC的距離為d,利用 3件 求 體積;思路三：利用排除法求解.【解析】選A.

13、方法一：；SC是球O的直徑，CAS1cBs =90° BAnBCnACM, sc = 2,，AS=BS =點(diǎn)，取 AB 的中點(diǎn)為 D,顯然 ABCD, ab± CSSD ,AB，平面 CDS.CD= DS=1cos/CDS = -在ACDS中，2 ,2 , SC = 2,利用余弦定理可得疝4,2 sin CDS = 故依3 ,S.CDS1.3 .1? 4 22=X X X =7 =2 22底21 -2 1.-2 1_ 1_1_- V - VB -CDS VA-CDSS.CDS BD + - SCDS AD - S. CDS BA =333322' 6rd 二 R -

14、r 二方法二：AABC的外接圓的半徑3 ,點(diǎn)。到平面ABC的距離3 上 lea”。匚* 2d = 2'6SC為球。的直徑二點(diǎn)S到平面ABC的距離為3 , 此棱錐的體積為v=3Sabc 2d=3 二看V :：1 S ABC 2R -方法三： 36,排除BCD12. （2013 新課標(biāo)I高考理科 T6）如圖,有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器容器高8cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（）A 500 二3866 二 3八 1372 二 32048 二 3A. - cmB. - cmC. - cm D.-cm【解題

15、指南】結(jié)合截面圖形，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程， 求出球半徑，再利用V =4g3求出球的體積.3【解析】選A.設(shè)球的半徑為R,由勾股定理可知，R2=（R .2）2+42，解得R = 5 ,所以 球的體積V=4二R3=4二 53 = 500二（cm2）33313. （2012 新課標(biāo)全國(guó)高考文科舟）平面0c截球。的球面所得圓的半徑為1,球心 I J/ £） ） ,J1O到平面0c的距離為正，則此球的體積為（）（A） 、/6 兀（B） 4M3兀（C） 4、/6 兀（D） 6v3 ?！窘忸}指南】利用球心到截面的距離、截面圓的半徑、球的半徑之間滿足勾股定理求得球的半徑，

16、然后利用公式求得球的體積./F LV 球=4nR3 = 4V3 冗【解析】選B.設(shè)球O的半徑為R則R="+（物2 =73,故 3.I I14. （2012 遼寧高考文科 16）已知點(diǎn)P, A B, C, D是球O表面上的點(diǎn)，PAL平 面ABCD四邊形ABC星邊長(zhǎng)為26的正方形.若PA=2，則4AB勺面積為【解題指南】注意到已知條件中的垂直關(guān)系，將點(diǎn) P,A,B,C,D看作長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)來(lái) 考慮.【解析】由題意，PL平面ABCD則點(diǎn)P,A,B,C,D,可以視為球。的內(nèi)接長(zhǎng)方體的 頂點(diǎn)，球O位于該長(zhǎng)方體的對(duì)角線的交點(diǎn)處，那么 OAB勺面積為長(zhǎng)方體對(duì)角面的四 分之一.11 ABB=22,3,

17、PA=23.PBB一與OAABDWH =- 22 .33 66=3 .第【答案】3 315. （2013遼寧高考文科 F0）與（2013 遼寧高考理科 F0）相同已知三棱柱ABC A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)者B在球。的球面上，若 AB=3,AC=4,AB_LAC,AA=12,則球O IG| I的半徑為（）【解題指南】對(duì)于某些簡(jiǎn)單組合體的相接問(wèn)題，通過(guò)作出截面，使得有關(guān)的元素間一一 i / / 廣 I）；1的數(shù)量關(guān)系相對(duì)集中在某個(gè)平面圖形中?！窘馕觥窟xC.由題意，結(jié)合圖形，經(jīng)過(guò)球心O和三棱柱的側(cè)棱中點(diǎn)的大圓，與三棱柱的側(cè)棱垂直，三棱柱的底面三角形 ABC為直角三角形，其外接圓的圓心O'為其斜

18、邊BC的中點(diǎn)，連接oa,oo；oA，由勾股定理，OA2=OO2+OA2其中 OA =R,OO' = 1AAi =6,O A=；BC =£,所以球 O 的半徑為 OA = R = ，62 +（$2 =£.16. （2013 新課標(biāo)I高考文科 T15）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH:HB=1:2,AB，平面口，H為垂足，口截球O所得截面的面積為兀，則球O的表面積為.【解析】因?yàn)椤敖厍騉所得截面的面積為兀，所以截面”的半徑為1.設(shè)球的半徑為R, 則AH =型,BH =處,由勾股定理得12+（與2=2,解得2 = 9.所以球O的表面積為 3338_ 294二R =一 ：

19、. 2【答案】9二.217. （2013 大綱版全國(guó)卷高考文科 T16）與（2013 大綱版全國(guó)卷高考理科 T16）相同已知圓。和圓K是球。的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng)等于球 。的半徑，OK =3,且圓O與圓K所在的平面所成角為60,則球O的表面積等于2【解題指南】解決本題要明確球大圓是指球的切面過(guò)圓心的圓.根據(jù)題意畫出圖形，確定圓。與圓K所在平面的二面角，構(gòu)造直角三角形求出半徑長(zhǎng).【解析】如圖，i_-4一r j I設(shè)公共弦MN =R,E為MN的中點(diǎn)，則OE -L MN , KE -L MN/OEK為圓。與圓K所在平面的二面角.一i / : ） ） 所以/OEK =60 ；又AOMN為等邊三角形，所以 OE = -3 R .又因?yàn)?OK = 3 , OK -L EK 22所以 OE sin600 =3,即正 =3. 22