概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件的概率第三節(jié)：條件概率完整

1、概率論概率論 第三節(jié)第三節(jié) 條件概率條件概率條件概率條件概率乘法公式乘法公式全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式概率論概率論 P(A )=1/6，例例如如, 擲一顆均勻骰子擲一顆均勻骰子, A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn),B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn),P(A|B)=？擲骰子擲骰子已知事件已知事件B發(fā)生發(fā)生, 此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B， P(A|B)= 1/3.B中共有中共有3個(gè)元素個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有其中只有1個(gè)在集合個(gè)在集合A中中.容易看到容易看到)()(636131BPABPP(A|B)于是于是概率論概率論 P(A

2、 )=3/10，又如又如, 10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有7件正品件正品, 3件次品件次品; 7件正品中有件正品中有3件一等品件一等品, 4件二等品件二等品. 現(xiàn)從這現(xiàn)從這10件中任取一件，記件中任取一件，記 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)()(10710373BPABP則則概率論概率論 在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 條件概率的概念條件概率的概念如在事件如在事件B發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，將此概率記作將此概率記作P(A|B).一

3、般地一般地 P(A|B) P(A) 概率論概率論 若事件若事件B已發(fā)生已發(fā)生, 則為使則為使 A 也也發(fā)生發(fā)生, 試驗(yàn)結(jié)果必須是既在試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 B 中又在中又在A中中的樣本點(diǎn)的樣本點(diǎn), 即此點(diǎn)必屬于即此點(diǎn)必屬于AB. 設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且是兩個(gè)事件，且P(B)0,則稱則稱 (1)()()|(BPABPBAPSABAB2. 條件概率的定義條件概率的定義為在為在事件事件B發(fā)生發(fā)生的條件下的條件下,事件事件A的條件概率的條件概率.由于我們已經(jīng)知道由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生已發(fā)生, 故故B變成了新的樣本空間變成了新的樣本空間,于是于是 有有(1). 概率論概率論 3. 條件概率的性質(zhì)條件概率

4、的性質(zhì) : | 件件具備概率定義的三個(gè)條具備概率定義的三個(gè)條條件概率條件概率AP ; 0|, : 1 ABPB對對于于任任意意的的事事件件非非負(fù)負(fù)性性 ; 1| : 2 AP規(guī)規(guī)范范性性 , , : 321則則有有是是兩兩兩兩互互斥斥事事件件設(shè)設(shè)可可列列可可加加性性BB 11iiiiABPABP . 性性質(zhì)質(zhì)對對條條件件概概率率都都成成立立所所以以在在第第二二節(jié)節(jié)中中證證明明的的概率論概率論 2) 從加入條件后改變了的情況去算從加入條件后改變了的情況去算 4. 條件概率的計(jì)算條件概率的計(jì)算1) 用定義計(jì)算用定義計(jì)算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 擲骰子擲骰子例：例：A=擲出擲出2

5、 點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)P(A|B）=31B發(fā)生后的縮減發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空在縮減樣本空間中間中A所含樣所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)本點(diǎn)個(gè)數(shù)概率論概率論 例例1 擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出已知第一顆擲出6點(diǎn)點(diǎn), 問問 “擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1:)()()|(BPABPBAP解法解法2: 2163)|(BAP解解: 設(shè)設(shè) A=擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出第一顆擲出6點(diǎn)點(diǎn)應(yīng)用應(yīng)用 定義定義在在B發(fā)生后的縮減樣本發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算空間中計(jì)算213

6、66363概率論概率論 由條件概率的定義：由條件概率的定義：P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAPP(AB)=P(A)P(B|A) (3) (2)和和(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率注意注意P(AB)與與P(A | B)的區(qū)別！的區(qū)別！概率論概率論 例例2 甲甲, 乙兩廠共同生產(chǎn)乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件個(gè)零件, 其中其中 300件是乙廠生產(chǎn)的件是乙廠生產(chǎn)的. 所求為所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)甲、乙共生產(chǎn)1000 個(gè)個(gè)189個(gè)個(gè)是是標(biāo)準(zhǔn)件標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)個(gè)乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)300個(gè)

7、個(gè)乙廠生產(chǎn)乙廠生產(chǎn)設(shè)設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)零件是乙廠生產(chǎn), A=零件零件是標(biāo)準(zhǔn)件是標(biāo)準(zhǔn)件若改為若改為“發(fā)現(xiàn)它是發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的乙廠生產(chǎn)的,問它問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少是多少?”求的是求的是 P(A|B) .解解:而在這而在這300個(gè)零件中個(gè)零件中, 有有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件,現(xiàn)從這現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)個(gè)零件中任取一個(gè),問問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？的概率是多少？B發(fā)生發(fā)生,在在P(AB)中作為結(jié)果中作為結(jié)果;在在P(A|B)中作為條件中作為條件.概率論概率論 例例3 設(shè)某種動物由出生算起活到設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上

8、的概率為年以上的概率為0.8, 活到活到25年以上的概率為年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年問現(xiàn)年20歲的這種動物歲的這種動物,它能活到它能活到25歲以上的概率是多少歲以上的概率是多少?解解: 設(shè)設(shè)A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依題意，依題意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求為所求為 P(B|A) .)()()|(APABPABP5 . 08 . 04 . 0)()(APBPP(A) 與與 P(A|B) 的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同, 它們是兩個(gè)不同的概念它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同在數(shù)值上一般也不同.概率論概率論 .

9、個(gè)個(gè)事事件件的的積積事事件件的的情情況況乘乘法法定定理理可可以以推推廣廣到到多多 , 0 , 則則且且為為三三個(gè)個(gè)事事件件、設(shè)設(shè) ABPCBA |. P ABCP C AB P ABP C AB P B A P A , 2, , , , 21并且并且個(gè)事件個(gè)事件設(shè)有設(shè)有一般地一般地 nAAAnn , , 0121可可得得則則由由條條件件概概率率的的定定義義 nAAAP 2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAAP 112213|APAAPAAAP ?0 0221211121WhyAAAPAAPAPAAAPnn，保保證證了了概率論概率論 乘法公式應(yīng)用舉例乘法公式應(yīng)用舉例 例如，

10、一個(gè)罐子中包含例如，一個(gè)罐子中包含 b 個(gè)白球和個(gè)白球和 r 個(gè)紅球個(gè)紅球. 隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中， 并且再加進(jìn)并且再加進(jìn) c 個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進(jìn)行四次，這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率. （波里亞罐子模型）（波里亞罐子模型）b個(gè)白球個(gè)白球, r個(gè)紅球個(gè)紅球概率論概率論 于是于是 W1W2R3R4 表示事件表示事件 “連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球， 第三、四個(gè)是紅球第

11、三、四個(gè)是紅球. ” b個(gè)白球個(gè)白球, r個(gè)紅球個(gè)紅球隨機(jī)取一個(gè)球隨機(jī)取一個(gè)球, 觀看顏色后放回罐中觀看顏色后放回罐中,并且再加進(jìn)并且再加進(jìn) c 個(gè)與所抽出的球具有相個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球同顏色的球.解解: 設(shè)設(shè) Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是紅球次取出是紅球， j=1,2,3,4試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率. 概率論概率論 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出當(dāng)當(dāng) c 0 時(shí)，由于每次取出球后會增加下一次也取時(shí)，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率到同色球的

12、概率. 這是一個(gè)這是一個(gè)傳染病模型傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會增加再傳染的概率每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會增加再傳染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)b個(gè)白球個(gè)白球, r個(gè)紅球個(gè)紅球隨機(jī)取一個(gè)球隨機(jī)取一個(gè)球, 觀看顏色后放回罐中觀看顏色后放回罐中,并且再加進(jìn)并且再加進(jìn) c 個(gè)與所抽出的球具有相個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球同顏色的球.概率論概率論 例，一場精彩的足球賽將要舉行例，一場精彩的足球賽將要舉行, 5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場券個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場券. 大家

13、都想去大家都想去,只好用抽簽的方法來解決只好用抽簽的方法來解決.入場入場券券5張同樣的卡片張同樣的卡片,只有一張上寫有只有一張上寫有“入場券入場券”,其余的什么也沒其余的什么也沒寫寫. 將它們放在一起將它們放在一起,洗勻洗勻,讓讓5個(gè)人依次抽取個(gè)人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？ “先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大. ”概率論概率論 到底誰說的對呢？讓我們用概率到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計(jì)算一下論的知識來計(jì)算一下, 每個(gè)人抽到每個(gè)人抽到“入場券入場券”的概率到底有多大的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個(gè)一個(gè)

14、按次序來，大家不必爭先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來，誰抽到誰抽到入場券入場券的機(jī)會都一樣大的機(jī)會都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大。先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大。”概率論概率論 解解: 我們用我們用 Ai 表示表示“第第i個(gè)人抽到入場券個(gè)人抽到入場券”, i1,2,3,4,5.顯然顯然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1個(gè)人抽到入場券的概率是個(gè)人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，也就是說，因?yàn)槿舻谝驗(yàn)槿舻?個(gè)人個(gè)人抽到了入場券，抽到了入場券，第第1個(gè)人肯定沒抽到個(gè)人肯定沒抽到.也就是要想第也就是要想第2個(gè)人抽到入場券個(gè)人抽到入場券, 必須第必須第1個(gè)人未抽到，

15、個(gè)人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5計(jì)算得：計(jì)算得：iA則則 表示表示“第第i個(gè)人未抽到入場券個(gè)人未抽到入場券”概率論概率論 )|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP同理，第同理，第3個(gè)人要抽到個(gè)人要抽到“入場券入場券”，必須第必須第1、第、第2個(gè)人都沒有抽到個(gè)人都沒有抽到. 因此因此:(4/5)(3/4)(1/3)=1/5繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到每個(gè)人抽到“入場券入場券” 的概率都是的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后抽簽不必爭先恐后.

16、也就是說，也就是說，概率論概率論 5 ,3 ,2 4,設(shè)設(shè)袋袋中中有有個(gè)個(gè)紅紅球球個(gè)個(gè)黑黑球球個(gè)個(gè)白白球球試試按按例例 2; 1不放回抽樣不放回抽樣有放回抽樣有放回抽樣 兩種方式摸球三次兩種方式摸球三次 . , 概概率率求求第第三三次次才才摸摸得得白白球球的的每每次次摸摸得得一一球球 解解 1 有放回抽樣有放回抽樣 , 第一次未摸得白球第一次未摸得白球設(shè)設(shè) A , 第二次未摸得白球第二次未摸得白球 B . 第第三三次次摸摸得得白白球球 C 可可表表示示為為第第三三次次才才摸摸得得白白球球則則事事件件. ABC AP, 108 ABP|, 108 ABCP|, 102 APABPABCPABCP

17、| 108108102 . 12516 概率論概率論 2 無放回抽樣無放回抽樣 AP, 108 ABP|, 97 ABCP|, 82 APABPABCPABCP| 1089782 . 457 概率論概率論 1995 A 抓抓鬮鬮問問題題年年全全國國足足球球甲甲聯(lián)聯(lián)例例賽賽的的最最后后5 5 , 一一隊(duì)隊(duì)的的比比賽賽在在成成都都市市四四川川全全興興隊(duì)隊(duì)與與解解放放軍軍八八一一輪輪 , 全興隊(duì)是否降級的命全興隊(duì)是否降級的命這場比賽是關(guān)系到四川這場比賽是關(guān)系到四川進(jìn)行進(jìn)行 30 , , 位同學(xué)位同學(xué)可西南交大某班可西南交大某班肯定會異常精彩肯定會異常精彩運(yùn)之戰(zhàn)運(yùn)之戰(zhàn) , , 只只好好采采取取抓抓鬮鬮

18、的的辦辦大大家家都都想想去去看看僅僅購購得得一一張張票票 , . , 每人抽每人抽試問試問取取每個(gè)人都爭先恐后地抽每個(gè)人都爭先恐后地抽法抽簽決定法抽簽決定 ? 得此票的機(jī)會是否均等得此票的機(jī)會是否均等 解解 , 30, 2 , 1, 則則個(gè)人抽得球票個(gè)人抽得球票第第設(shè)設(shè) iiAi 1AP301 率為率為第一個(gè)人抽得球票的概第一個(gè)人抽得球票的概概率論概率論 率為率為第二個(gè)人抽得球票的概第二個(gè)人抽得球票的概 2AP 2121AAAAP 2121AAPAAP 210AAP 121| AAPAP 2913029 301 , , 必須在他抽取之前必須在他抽取之前個(gè)人要抽得比賽球票個(gè)人要抽得比賽球票第第同

19、理同理i , 1 即即事事件件一一起起出出現(xiàn)現(xiàn)個(gè)個(gè)人人都都沒沒有有抽抽到到此此標(biāo)標(biāo)的的的的 i iiiAAAAPAP121 11121| iiAAAPAAPAP 130129283029 i , 301 . 30, 2 , 1 i . , 301, 即即機(jī)機(jī)會會均均等等是是各各人人抽抽得得此此票票的的概概率率都都所所以以概率論概率論 有三個(gè)箱子有三個(gè)箱子, 分別編號為分別編號為1,2,3. 1號箱裝有號箱裝有1個(gè)紅球個(gè)紅球4個(gè)白球個(gè)白球, 2號箱裝有號箱裝有2個(gè)個(gè)紅球紅球3個(gè)個(gè)白球白球, 3號箱裝有號箱裝有3個(gè)個(gè)紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱某人從三箱中任取一箱, 從中任意摸出一球從中任意摸

20、出一球,求取得紅球的概率求取得紅球的概率.解解: 記記 Bi=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; A =取得紅球取得紅球A發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3 之一同時(shí)發(fā)生，之一同時(shí)發(fā)生，123其中其中 B1、B2、B3兩兩互斥兩兩互斥看一個(gè)例子看一個(gè)例子:概率論概率論 將此例中所用的方法推廣到一般的情形，將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式全概率公式.對求和中的每對求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得公式得P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)31()() ()iiiP AP B P A B 代入數(shù)據(jù)計(jì)

21、算得：代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(A)=8/15運(yùn)用加法公式得到運(yùn)用加法公式得到:即即 A= B1A+B2A+B3A， 且且 B1A、B2A、B3A 兩兩互斥兩兩互斥概率論概率論 定義定義 , , , nBBBES21的的樣樣本本空空間間為為隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè) , 如果滿足如果滿足的一組事件的一組事件是是 E 1 ijB Bij 2SBBBn 21 , , , , , nnBBBBBB2121或或稱稱為為完完全全事事件件系系則則稱稱 . 的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分為為 S: 注意注意 , , , 為樣本空間的一個(gè)劃分為樣本空間的一個(gè)劃分若若nBBB21 , 事事件件組組則則對對每每次次試試驗(yàn)驗(yàn) , , 中

22、必有且僅有中必有且僅有nBBB21一個(gè)事件發(fā)生一個(gè)事件發(fā)生. . , 分分割割成成若若干干個(gè)個(gè)互互斥斥事事件件的的劃劃分分是是將將可可見見SS1.概率論概率論 B1B2BnA概率論概率論 1定定理理, SE 的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)nBBB, , 21 , , 則則對對且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為n,iBPSi 210 , 恒有恒有樣本空間中的任一事件樣本空間中的任一事件 A niiiB|APBPAP1 *證明證明 因因?yàn)闉?ASA nBBBA 21nABABAB 21 并并且且 , , 所以所以jiABABji nABPABPABPAP 21 nnB|APBPB|APBP 11

23、niiiB|APBP12.概率論概率論 niiiB|APBPAP1 . 全全概概率率公公式式, , .AS全全概概率率公公式式的的基基本本思思想想是是: :把把一一個(gè)個(gè)未未知知的的復(fù)復(fù)雜雜事事件件分分解解為為若若干干個(gè)個(gè)已已知知的的簡簡單單事事件件再再求求解解而而這這些些簡簡單單事事件件組組成成一一個(gè)個(gè)互互不不相相容容事事件件組組使使得得某某個(gè)個(gè)未未知知事事件件與與這這組組互互不不相相容容事事件件中中至至少少一一個(gè)個(gè)同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生故故在在應(yīng)應(yīng)用用此此全全概概率率公公式式時(shí)時(shí) 關(guān)關(guān)鍵鍵是是要要找找到到一一個(gè)個(gè)合合適適的的的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分某一事件某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因的發(fā)生有各種可

24、能的原因,如果如果A是由原因是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，則所引起，則A發(fā)生的概率是發(fā)生的概率是:每一原因都可能導(dǎo)致每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生發(fā)生,故故A發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和發(fā)生概率的總和,即全概率公式即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)我們還可以從另一個(gè)角度去理解我們還可以從另一個(gè)角度去理解全概率公式全概率公式.概率論概率論 由此可以形象地把由此可以形象地把全概率公式全概率公式看成為看成為“由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果, 每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用作用”,即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的即結(jié)果發(fā)

25、生的可能性與各種原因的“作用作用”大小有關(guān)大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A諸諸Bi是原因是原因B是結(jié)果是結(jié)果概率論概率論 例例 甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊中的三人擊中的 概率分別為概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2, 被兩人擊中而擊落的概率為被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都擊中若三人都擊中, 飛機(jī)必定被擊落飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率求飛機(jī)被擊落的概率.設(shè)設(shè)A=飛機(jī)被擊落飛機(jī)被擊落 Bi=飛

26、機(jī)被飛機(jī)被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式則則 A=B1A+B2A+B3A解解依題意，依題意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)概率論概率論 可求得可求得為求為求P(Bi ), 設(shè)設(shè) Hi=飛機(jī)被第飛機(jī)被第i人擊中人擊中, i=1,2,3 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù)代入代入計(jì)算得計(jì)算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14. 1123123123P BP H H HH H HH H H 2123123123P BP H H HH

27、 H HH H H 3123P BP H H H P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機(jī)被擊落的概率為即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.于是于是概率論概率論 該球取自哪號箱該球取自哪號箱的可能性最大的可能性最大?這一類問題是這一類問題是“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因”. 在實(shí)際中更為常見在實(shí)際中更為常見, 它所求的是條件概率它所求的是條件概率,是已知某結(jié)果發(fā)生條件下是已知某結(jié)果發(fā)生條件下,探求各原因發(fā)生可能性大小探求各原因發(fā)生可能性大小. 某人從任一箱中任意摸出一球某人從任一箱

28、中任意摸出一球, 發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球, 求該球是取自求該球是取自1號箱的概率號箱的概率.1231紅紅4白白或者問或者問:看一個(gè)例子看一個(gè)例子:貝葉斯公式貝葉斯公式概率論概率論 有三個(gè)箱子有三個(gè)箱子, 分別編號為分別編號為1,2,3, 1號箱裝有號箱裝有1個(gè)紅球個(gè)紅球4個(gè)白球個(gè)白球, 2號箱裝有號箱裝有2紅球紅球3白球白球, 3號箱裝有號箱裝有3紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱某人從三箱中任取一箱, 從中任意摸出一球從中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球發(fā)現(xiàn)是紅球, 求該球是取自求該球是取自1號箱的概率號箱的概率 .1231紅紅4白白?概率論概率論 某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，某人從任一箱中

29、任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自求該球是取自1號箱的概率號箱的概率. 11()(|)( )P B AP BAP A 記記 Bi=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; A =取得紅球取得紅球求求 P(B1|A)1131() (|)() ()kkkP B P A BP BP A B 運(yùn)用全概率公式運(yùn)用全概率公式計(jì)算計(jì)算P(A)將這里得到的公式一般化，就得到將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式貝葉斯公式1231紅紅4白白?概率論概率論 1()() ()(|)()() ()iiiinjjjP ABP B P A BP BAP AP BP A B 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝

30、葉斯 (Bayes) 給出給出. 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率發(fā)生的每個(gè)原因的概率.ni, 21 貝貝葉葉斯斯公公式式定定理理2 12, , , , 0, nBBBAP A 設(shè)設(shè)為為樣樣本本空空間間的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為中中的的任任一一事事件件 且且則則恒恒有有: :貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用. 它可以幫助人們確定某結(jié)果它可以幫助人們確定某結(jié)果 (事件事件A) 發(fā)生的最可能原因發(fā)生的最可能原因.概率論概率論 例例 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005, 患者對一種試驗(yàn)反

31、應(yīng)是陽性的概率為患者對一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95, 正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04, 現(xiàn)抽查了一個(gè)人現(xiàn)抽查了一個(gè)人, 試驗(yàn)反應(yīng)是陽性試驗(yàn)反應(yīng)是陽性, 問此人是癌癥患者的概率有多大問此人是癌癥患者的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”. CCC已知已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04解解:設(shè)設(shè) C=抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥， A=試驗(yàn)結(jié)果是陽性試驗(yàn)結(jié)果是陽性，求求 P(C|A).概率論概率論 現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.

32、.由由貝葉斯公式貝葉斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP0.1066 2) 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 1) 這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？04. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0概率論概率論 如果不做試驗(yàn)如果不做試驗(yàn),抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率:若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng), 則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息,此人是患者的概率為此人是患者的概率為:從從0.005增加到增加到0.1066,將近增加

33、約將近增加約21倍倍.1) 這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.P(CA)= 0.1066 P(C)=0.005 2) 即使你檢出陽性即使你檢出陽性, 尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥, 這種可能性只有這種可能性只有10.66% (平均來說，平均來說，1000個(gè)人中大約只有個(gè)人中大約只有107人確患癌癥人確患癌癥), 此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn)此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn). 概率論概率論 P(Bi) (i=1,2,n) 是在沒有進(jìn)一步信息是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件不知道事件A是否發(fā)生是否發(fā)生)的情況下的情況下, 人們對諸事

34、件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識.當(dāng)有了新的信息當(dāng)有了新的信息(知道知道A發(fā)生發(fā)生), 人們對諸事件發(fā)生可能性大小人們對諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi |A)有了新的估計(jì)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化 在貝葉斯公式中在貝葉斯公式中, P(Bi)和和P(Bi |A)分別稱為原因的分別稱為原因的 先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率和和后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率.概率論概率論 P(B) is the prior probability or marginal probability of B. It is prior in the sense that it

35、does not take into account any information about A. P(B|A) is the conditional probability of B, given A. It is also called the posterior probability because it is derived from or depends upon the specified value of A. P(A|B) is the conditional probability of A given B. It is also called the likeliho

36、od. P(A) is the prior or marginal probability of A, and acts as a normalizing constant. () ()(|)()iiiP B P A BP BAP A 概率論概率論 3 , 2 1 1個(gè)個(gè)白白乙乙盒盒裝裝有有個(gè)個(gè)黑黑球球個(gè)個(gè)白白球球甲甲盒盒裝裝有有例例 . 1 4 , 2 采采取取擲擲一一骰骰個(gè)個(gè)黑黑球球個(gè)個(gè)白白球球丙丙盒盒裝裝有有個(gè)個(gè)黑黑球球球球點(diǎn)點(diǎn)選選乙乙盒盒、點(diǎn)點(diǎn)選選甲甲盒盒或或、出出現(xiàn)現(xiàn)子子決決定定選選盒盒 , 5 4 , 3 21 , , , 6經(jīng)經(jīng)過過秘秘一一個(gè)個(gè)球球在在選選出出的的盒盒里里隨隨機(jī)機(jī)摸摸出出點(diǎn)點(diǎn)選選丙丙盒盒 , , 求求此此球球來來自自乙乙宣宣布布摸摸得得一一個(gè)個(gè)白白球球密密選選盒盒摸摸球球后后 . 盒的概率盒的概率 解解 1 , B 設(shè)設(shè)摸摸出出的的球球來來自自甲甲盒盒 2 , B 摸摸出出的的球球來來自自乙乙盒盒 3 , B 摸摸出出的的球球來來自自丙丙盒盒 , A 摸摸得得白白球球概率論概率論 則則 12