高中拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)

1、2021/3/91 5.4 拋物線拋物線2021/3/92第一節(jié)第一節(jié) 拋物線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程和和幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)2021/3/93平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線拋物線。定點(diǎn)定點(diǎn)F叫做拋物線的叫做拋物線的焦點(diǎn)焦點(diǎn)。定直線定直線l 叫做拋物線的叫做拋物線的準(zhǔn)線準(zhǔn)線。 一、定義一、定義FMlNd的軌跡是拋物線拋物線。則點(diǎn)e=e=MdMF, 1=新課講解2021/3/94二、標(biāo)準(zhǔn)方程二、標(biāo)準(zhǔn)方程FMlN如何建立直角如何建立直角 坐標(biāo)系坐標(biāo)系？2021/3/95xyoFMlNK設(shè)設(shè)KF= p則則F（ ，0），

2、），l ：x = - p2p2設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x ,y），）， 由定義可由定義可 知，知，化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 y2 = 2px（p0）2)2(22pxypx=2021/3/96 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。其中其中p為正常數(shù)，它的幾何為正常數(shù)，它的幾何意義是意義是焦準(zhǔn)距焦準(zhǔn)距 xyoFMlNK2021/3/97(m,n)FMlNK若頂點(diǎn)在若頂點(diǎn)在O1(m,n)，則方程，則方程為為(y-n)2= 2p(x-m) 2021/3/98圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)準(zhǔn)準(zhǔn) 線線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px =2px=2py=2p

3、y =)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）2021/3/99四種拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的異同四種拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的異同:共同點(diǎn)共同點(diǎn): (1)原點(diǎn)在拋物線上；原點(diǎn)在拋物線上； (2)對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為X軸、軸、Y軸；軸； (3)準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對(duì)稱于原點(diǎn)準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直，垂足與焦點(diǎn)分別對(duì)稱于原點(diǎn),與原點(diǎn)的距離等于一次項(xiàng)前面的系數(shù)的絕對(duì)值的與原點(diǎn)的距離等于一次項(xiàng)前面的系數(shù)的絕對(duì)值的1/4；即焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的一半。即焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離等于一次項(xiàng)

4、系數(shù)的絕對(duì)值的一半。不同點(diǎn)不同點(diǎn): (1)對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為x軸時(shí)，方程右端為軸時(shí)，方程右端為2px，左端為，左端為y2 ；對(duì)稱軸為對(duì)稱軸為y軸時(shí)，方程右端為軸時(shí)，方程右端為2py，左端為，左端為x2 。 (2)開(kāi)口方向與開(kāi)口方向與x軸軸(或或y軸軸)的的正正半軸相同時(shí)，焦點(diǎn)在半軸相同時(shí)，焦點(diǎn)在x軸軸(或或y軸軸)的的正正半軸上，方程的右端取半軸上，方程的右端取+號(hào)；號(hào)； 開(kāi)口方向與開(kāi)口方向與x軸軸(或或y軸軸)的的負(fù)負(fù)半軸相同時(shí)，焦點(diǎn)在半軸相同時(shí)，焦點(diǎn)在x軸軸(或或y軸軸)的的負(fù)負(fù)半軸上，方程的右端取半軸上，方程的右端取-號(hào)。號(hào)。2021/3/910O(0,0)ABF(p/2,0)L:x= -

5、p/2Kpy2=2pxO1(m,n)ABF(h+p/2,k)L:x=h-p/2Kp(y-n)2=2p(x-m)頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)(m,n)拋物線草圖畫(huà)法：拋物線草圖畫(huà)法：2021/3/911O(0,0)ABF(0,p/2)L:y= -p/2Kpx2=2py頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)頂點(diǎn)在點(diǎn)(m,n)O1(m,n)ABF(h,k-p/2)Kp(x-m)2= -2p(y-n)L:y= k+p/22021/3/912 M (x , y) y x F(4,0) -4 -5 例例1 1、點(diǎn)、點(diǎn)M M與點(diǎn)與點(diǎn)F F（4 4，0 0）的距離比它到直線）的距離比它到直線l l：x x5 5

6、0 0的距離小的距離小1 1，求點(diǎn)，求點(diǎn)M M的軌跡方程的軌跡方程 如圖可知原條件等價(jià)于M點(diǎn)到F（4，0）和到x4距離相等，由拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)，x4為準(zhǔn)線的拋物線所求方程是y216x分析：分析： 例題講解2021/3/913例例2 2、已知拋物線方程為、已知拋物線方程為x=ayx=ay2 2（a0)a0)，討論拋物，討論拋物線的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？線的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？解：拋物線的方程化為：解：拋物線的方程化為：y2= x1a即2p=1 a4a1焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，0），準(zhǔn)線方程是： x=4a1當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí), ,拋物線的開(kāi)口向右拋物線的開(kāi)口向右p

7、2=14a2021/3/914例例3 3、求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：、求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1) y(1) y2 2 = 6x= 6x(2) y = (2) y = 6x6x2 2(4)(4)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F F（0 0，-2-2），求它的），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。標(biāo)準(zhǔn)方程。(3) y = x(3) y = x2 2-4x+3-4x+3(5)y(5)y2 2-mx-2y+4m+1=0-mx-2y+4m+1=0的準(zhǔn)線為的準(zhǔn)線為x=3x=3，求，求m m。2021/3/915例例4 4、拋物線、拋物線 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為F F(1)(1)若斜率為若斜率為1 1的

8、直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F F，與拋物線交于，與拋物線交于A A、B B兩點(diǎn)，求線段兩點(diǎn)，求線段ABAB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。(2)(2)拋物線上有三點(diǎn)拋物線上有三點(diǎn)A,B,CA,B,C，且，且FA+FB+FCFA+FB+FC =0=0，求，求|FA|+|FB|+|FC|FA|+|FB|+|FC|。xy42=2021/3/9161 1、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：、求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程： （1 1）y y2 2 = -20 x = -20 x （2 2）y=2xy=2x2 2（3 3）2y2y2 2 +5x =0 +5x =0 （4 4）x x2 2 +8y =0 +8y =0焦點(diǎn)坐標(biāo)焦

9、點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程（1）（2）（3）（4）（-5，0）x= 5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2注意：求拋物線的焦點(diǎn)注意：求拋物線的焦點(diǎn)一定要先把拋物線化為一定要先把拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式跟蹤練習(xí)2021/3/9172 2、根據(jù)下列條件，寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：、根據(jù)下列條件，寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1 1）焦點(diǎn)是）焦點(diǎn)是F F（3 3，0 0）（2 2）準(zhǔn)線方程）準(zhǔn)線方程 是是x = x = 41（3 3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2 2解：解：y2 =12x解：解：y2 =x解：解：y2 =4x或或y2 = -4x 或或x2 =4y或或

10、x2 = -4y2021/3/918例例5 5、求過(guò)點(diǎn)、求過(guò)點(diǎn)A A（-3-3，2 2）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。AOyx解：解：1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 =2py，把，把A（-3，2）代入，）代入， 得得p= 49 2）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2 = -2px，把，把A（-3，2）代入，）代入， 得得p= 32拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 = y或或y2 = x 。29342021/3/919 1. 1.已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,P(4,2)2)，求拋物線，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。的標(biāo)準(zhǔn)方程。 提示：注意

11、到提示：注意到P為第四象限的點(diǎn)，所以可以設(shè)拋物為第四象限的點(diǎn)，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px或或x2=-2pyyxxyppyxypxxpyP8, 4,212, 422)2, 4(22212212 = = = = = = = = = = = 或或所求為所求為可得可得代入，代入，將，將或或方程為方程為位于第四象限，設(shè)所求位于第四象限，設(shè)所求點(diǎn)點(diǎn)解：解： 跟蹤練習(xí)2021/3/920)2, 1 ( O4=x2. 求頂點(diǎn)在求頂點(diǎn)在，準(zhǔn)線，準(zhǔn)線為為的拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。的拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。2021/3/921例例6 6、已知拋物線形古城門(mén)底部寬、已知拋物線形古城門(mén)底部寬12

12、m,12m,高高6m6m，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程。引申引申:(1):(1)一輛貨車(chē)寬一輛貨車(chē)寬4m,4m,高高4m4m，問(wèn)能否通，問(wèn)能否通過(guò)此城門(mén)過(guò)此城門(mén)? ?(2)(2)若城門(mén)為雙向行道，那么該貨車(chē)能否若城門(mén)為雙向行道，那么該貨車(chē)能否通過(guò)呢？通過(guò)呢？2021/3/922三、拋物線的幾何性質(zhì)三、拋物線的幾何性質(zhì)xFMlNKyO對(duì)于y2=2px(p0)1、范圍：Ryx), 02、對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱3、頂點(diǎn)：O(0,0)頂準(zhǔn)距=頂焦距=p/2，焦準(zhǔn)距=p4、離心率e=12021/3/923xFA(x1,y1)lA1KyO5、焦點(diǎn)弦性質(zhì)：B(x2,y2)B1三個(gè)定值：一個(gè)最值：通徑|AB|=2p最短4,221221pxxpy