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1、授課課題定積分的換元積分法與分部積分法(一)教學目標和要求掌握定積分的換兀積分法與分部積分法教學重點和難點定積分的換元積分法定積分的分部積分法教學方法情景教學法教學手段板書PPT授課時間第9周課時累計34教學過程教學步驟及教學內容時間分配一,復習引入(1) 前面學習了定積分的求解方法也與原函數有關并且掌握了定積分的直接積分法新課:二、換元積分法定理假設函數f(x)在區(qū)間a.b上連續(xù).函數x(t)滿足條件:(1) ()a.()b-(t)在.(或.)上具有連續(xù)導數.且其值域不越出ab則有:f(x)dx=.'f:(t).(t)dt這個公式叫做定積分的換元公式,證明由假設知f(x)在區(qū)間a.b
2、上是連續(xù).因而是可積的f(t)(t)在區(qū)間.(或.)上也是連續(xù)的.因而是可積的.假設F(x)是f(x)的一個原函數.貝U:f(x)dxF(b)F(a),另一方面.因為(F(t)(t).所以F(t)是f(t).f(t)(t)dtF(hJLF(t)(t)f(t)(t)的一個原函數.從而)-F()F(b)-F(a)因此:f(x)dx=;f(t)(t)dt例1計算fA2x2dx(a>0),解(a2-x2dxpx*'nt02acostacostdt2=a?jcostdt=;IE02(1cos2t)dt時間分配教學步驟及教學內容111c2sin2t(2£a2、a2_x2-.a2_a
3、2sin2t=acostdxacost當xa時t=ZL2例2計算02cos5xsinxdx,解令tcosx.則552cos5xsinxdx=-02cos5xdcosx令COSX蕓05151611-1tdt=otdt=(6t0=6當x0時t1當x=2時tnn2cos5xsinxdx=_jcos5xdcosx-1cos6x3-1cos61cos60=1.606266例3計算,Jsin3x-sin5xdx,3解qsin3x-sin5xdx=Qsin2x|cosx|dx二3-3=02sin2xcosxdx-】sin2xcosxdx2二3-3二4一5=02sin2xdsinx!.:sin2xdsinx=
4、*訥2刈0-3苻刈二二2-(-2)505255;3cosx、.sin3x-sin5x=,.sin3x(1-sin2x)=sin2x|cosx|在0,上|cosx|cosx在?,冗上|cosx|例4計算f尊口dx.0、2x1t2T,+2-2t一tdt=21(t2+3)dt=2;tF3=1(皓+9)-(1均彳.232333,2x="1dxtdt當x0時t1當x4時t例5證明:若f(x)在_aa上連續(xù)且為偶函數.則&f(x)dx=20f(x)dx.a0a證明因為f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx._a',_a0而匕f(x)dxaf()dt=0f(-t)dt=ff(x)
5、dx.所以<f(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dxaaa=0f(-x)f(x)dx=2f(x)dx=20f(x)dx.若f(x)在-aa上連續(xù)且為奇函數.問ff(x)dx=?.a若f(x)為奇函數.則f(x)+f(x)0.從而;f(x)dx=;f(-x)f(x)dx=0.例6若f(x)在0.1上連續(xù).證明(1)pf(sinx)dx=(f(cosx)dx;(2)xf(sinx)dx=*2f(sinx)dx,0證明(1)令x=*t.貝U02f(sinx)dx=gfsin(3t)dtIT耳=02fsin(t)dt=02f(cosx)dx(2)令x=-t.貝U0xf(sinx)dx=-ga-t)fsin(兀一t)dt=0(mt)fsin(觀-t)dt=0料T)f(sint)dt=二0f(sint)dt-0tf(sint)dt-一0f(sinx)dx0xf(sinx)dx.所以0xf(sinx)dx=20f(sinx)dx.例7設函數f(x)=X;:*八.計算ff(x2)dx.pC16sX-1<x<01解設x2=t.則1f(x2炒=打睥=匕出+黑玲t(yī)-01t221141-ttan2j-2e0-tan2-2e2設x2t則dxdt當x1時t4時t2作業(yè)布置P
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