圓錐曲線基本知識點總結(jié)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點Fi、F2的距離的和等于常數(shù)2a（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若M為橢圓上任意一點，則有|MF1|+|MF2|=2a。2222橢圓的標準方程為：與+與=1（a>b0）（焦點在x軸上）或與+與=1（ab0）（焦點在y軸abab上）。注：以上方程中a,b的大小abA0，其中b2=a2c2；2222xyyx22在+1r=1和12+=1兩個方程中都有a»bA0的條件，要分清焦點的位置，只要看x和y的分abab22母的大小。例如橢圓+=1（m0,n0,m#n）當mn

2、時表示焦點在x軸上的橢圓；當men時mn表示焦點在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)x2y2范圍：由標傕萬程-y+J=1知|x|a,|y修b，說明橢圓位于直線x=±a,y=±b所圍成的矩形里；ab對稱性：在曲線方程里，若以-y代替y方程不變，所以若點（x,y）在曲線上時，點（x,-y）也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對稱，同理，以-x代替x方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱。若同時以-x代替x,-y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線

3、與x軸、y軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令x=0，得y=±b，貝UB1（0,-b）,B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個交點。同理令y=0得x=±a,即A（a,0）,A2（a,0）是橢圓與x軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段AA、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b,a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為a；在RtAOB2F2中，|OB2|=b,|OF2|=c,|B2F2|=a,且|OF2|2目B2F2|2_|OB2|2，即c2=a2_b2；c離心率：橢圓的

4、焦距與長軸的比£=打叫橢圓的離心率。：ac0,0<e<1,且e越接近1,c就越接近a,從而b就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0,c就越接近于0,從而b越接近于a,這時橢圓越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。2.雙曲線(1) 雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線(|PF1|-1PF2|=2a)。注意：式中是差的絕對值，在0<2&<舊6|條件下；|PF1|PF2|=2a時為雙曲線的一支；|PF21|PF1|=2a時為雙曲線的另一支(含F(xiàn)1的一支)；當2a目F1F2|時

5、，|PF11|PF21|=2a表示兩條射線；當2aFiF2|時，|PFi|PF2|=2a不表示任何圖形；兩定點Fi,F2叫做雙曲線的焦點，|F1F2|叫做焦距。雙曲線的性質(zhì)22范圍：從標準方程與-=1，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線x=±a的外側(cè)。即a2b222.x芝a,x芝a即雙曲線在兩條直線x=±a的外側(cè)。22對稱性：雙曲線二-土=1關(guān)于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點ab22是雙曲線=1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。ab22頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線筆%=1的方程里，對稱軸是x,y軸，

6、所ab22xy以令y=0得x=±a，因此雙曲線和x軸有兩個交點A(a,0)A2(a,0)，他們是雙曲線土=1的頂點。ab令x=0，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段AA2叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段BB?叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從22圖上看，雙曲線4%=1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。ab 等軸雙曲

7、線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a=b；2）等軸雙曲線的性質(zhì)：（1）漸近線方程為：y=±x；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。223）注意到等軸雙曲線的特征a=b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：xy=*舄孝0），當舄A0時交點在x軸,當<0時焦點在y軸上。2222注意七_七=1與匕_土=1的區(qū)別：三個量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點所在的坐標169916軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物

8、線（定點F不在定直線l上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程y2=2px（p>0）叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（衛(wèi)，0），它的準線方程是x=:22（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如卜表:標準萬程y2=2px(p0)yy2=-2px(p>0)x2=(p：y=2py>0)x2=-2py(p0)圖形lfJA床lo焦點坐標(-,0)2p駕,0)p(0產(chǎn))2p(0F準線方程x=-E2x/2-4駕范圍x邳x<0y芝0y玄0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(0,0)(0,