命題邏輯命題自然推理

1、11.自然推理命題自然推理的基本規(guī)則歸謬規(guī)則什么是自然推理自然推理是判定推理形式有效性的又一種方法。自然推理的基本思想是確定一些推理規(guī)則，這些規(guī)則具有保真性，也就是說，依據(jù)這些規(guī)則，從真前提只會推出真結(jié)論。因此，從所要判定的推理的前提出發(fā)，依據(jù)這些規(guī)則，如果能形式地推出預期的結(jié)論，這就說明該推理如果前提真，結(jié)論就一定真，因而是有效的。當然，如果不能如此地推出預期的結(jié)論，尚不能就此斷定推理是無效的，要判定推理的無效，還要用其他的方法。因此，自然推理不是一種能行方法。自然推理區(qū)別于一般公理化推理之處在于，作為推理依據(jù)的只有推理規(guī)則，沒有公理。這似乎更符合人們?nèi)粘Ｋ季S的自然習慣，因此，稱之為自然推理

2、。本章只討論用自然推理判定命題推理，因此，稱之為命題自然推理。命題自然推理的基本規(guī)則命題白然推理包括三條基本規(guī)則：規(guī)則P在一個推導的任意一步，都可以引人任意一個真值形式作為前提。規(guī)則T在一個推導中.如果有一些先行出現(xiàn)的真值形式的合取重言地蘊涵A，則可以在該推導中引人Ao規(guī)則D在一個推導中，如果從一前提集和A能推出B，則從該前提集能推出AtB。所謂A重言地蘊涵B,就是指AtB是重言式；自然，所謂A,，An的合取重言地蘊涵B,就是指A八八AnTB是重言式。在求合取范式時，前面列出的常用重言式是被確認的基礎；規(guī)則T的運用，同樣以這些常用重言式為基礎。不難證明，基于這三條基本規(guī)則的命題自然推理具有保真

3、性，即從真前提不會推出假結(jié)論。下面通過實例來說明如何構造命題自然推理。例1如果工資提高（p）,或者物價提高（q）,則將有通貸膨脹（r）。如果通貨膨脹，則或者國家將采取緊縮政策（s）,或者人民將遭受損失（t）。如果人民遭受損失，改革就會失去人心（u）。國家將不采取緊縮政策，并且改革不會失去人心。因此，物價不會提高。構造上述推理的自然推理如下：pq-rPr一istP3tuP(4)4-s-uP(5)4_sT(4)4_uT(4)3,4；_tT(3)(6)(8)3,4；_s_tT(5)(7)3,4?(st)T(8)(10)2,3,4：rT(2)(9)(11)1,2,3,4；_(pq)T(1)(1(12)

4、1,2,3,4；_pqT(11)(13)1,2,3,4；_qT(12)最后一行即為頂期的結(jié)論。因此，推理有效。從以上推導可以看到，一個自然推理的推導格式包括四列數(shù)字或符號。第一二列效.字.表示推導的步驟。箝二列數(shù)字表示前提的編號，它用以說明右邊的真值形式是哪一個前提，或是依賴于哪些前提所推出的結(jié)論。例如，第一行的“0”說明(pwqjr是一個前提；第八行的“3,4”說明s八t是依賴于前提3和前提4所推出的結(jié)論；第十三行的“1,2,3,4”說明q是依賴于前提1、2、3和4所推出的結(jié)論，事實上這也是整個推理的結(jié)論。第三歹g的符號是真值形式，它表示從前提到結(jié)論的整個推導過程。.第日烈的符號.租數(shù)亨說明

5、每一行的推導所依據(jù)的規(guī)則。例如，第四行的“P”說明，在推導的第四步中，SAU的引入依據(jù)的是規(guī)則P,因此，SAU是個前提；第五行的“T(4)”說明，S是把規(guī)則了運用于(4)所得出的推論，因此，S是個推論。同樣，第十一行的“T(1)(10)”說明(pvq)是把規(guī)則T運用于和(10)所得到的推論。有時需要推出的結(jié)論是個蘊涵式，不妨記為“AtB”。這時就需要運用規(guī)則Do方法是：將A作為一個新前提引入，如果A和原前提集一起能推出B,那么，根據(jù)規(guī)則D,從原前提集就能推出“AtB”。例2如果法官是公正嚴明的p，那么，就應當宣判張大使有罪(q),除非現(xiàn)有的證據(jù)尚不充分(r)。而一個公正嚴明的法官是不會不認定現(xiàn)

6、有證據(jù)的充分性的，除非這些證據(jù)中有假(s)。事實上所有證據(jù)都是真實的。因此，如果法官是公正嚴明的，就應當宣判張大使有罪。p>Cr>q)P2)psrP_sP(4)輯)pP(5)，2,4；srT(2)(4)23,4；_rT(3)(5)1,4；_r>qT(1)(4)(8)1,23,4qT(6)(7)1,2,3ptqD(4)(8)推理有效。在這個推導中，前提1、2和3是原推理的前提，前提4是為運用規(guī)則D而附加引入的前提，它不能作為整個推理最終結(jié)論所依賴的前提。第八行所導出的q依賴的是前提14,而第九行Ptq依賴的是前提1一3,前提4的依賴性在運用規(guī)則D時被銷去了。為什么可以銷去呢？因

7、為根據(jù)規(guī)則D,如果從前提13和附加前提4(即p)能推出q,那么，從前提13就能推出ptq。因此，q是從前提1一4推出的，而ptq是從前提13推出的。規(guī)則D的運用可以在推導中銷去所依賴的前提，這是它的一個特點。歸謬規(guī)則歸謬法是一種常用的邏輯方法。相應地，在命題自然推理中，有一個導出規(guī)則：歸謬規(guī)則。歸謬規(guī)則如果從一前提集和A的否定可以推出矛盾，則從該前提集可以推出Ao歸謬規(guī)則之所以稱為導出規(guī)則，因為它可以用基本規(guī)則加以證明。設為一前提集，并從和A推出了矛盾，不妨記為PaP，依據(jù)規(guī)則D,從能推出At(p-p)。又因為(At(PaP)tA是重言式(歸謬律)，所以依據(jù)規(guī)則T,從能推出Ao運用歸謬規(guī)則的步

8、驟是：第一，引人所要推出的結(jié)論的否定作為一個新前提。第二.從該前提和原前提集一起設法推出矛盾。第三，如能推出矛盾，則預期的結(jié)論可從原前提集中推出。例3當代商城的本年度的模范職工，可享受15天的年底休假(p),或者可獲得董事會特別獎金(q)。如果(有)模范職工放棄享受15夭年底休假，則可獲得董事會超常補貼(r)。但董事會又規(guī)定，特別獎金和超常補貼二者不可兼得。因此，事實上當代商城的模范職工不(允許)放棄享受15夭年底休假。解p表示"享受15天年底休假”，貝放棄享受15天年底休假”表示為P,不放棄孚受15天年底休假”表示為FP,等值于p。因此，該推理所要推出的結(jié)論是P。pqP2)_p&g

9、t;rP一(qr)P(4)輯)_pP(5)'1,4；qT(1)(4)2,4；rT(2)(4)苛_q-rT(3)(8)1,3,4；rT(5)(7)1,23,4；r一T(6)(8)(10)0,2,3；p歸謬(4)(9)推理有效。在以上的推導中，前三行是推理的原有前提。不難發(fā)現(xiàn)，難以運用規(guī)則T從這些前提推出新的結(jié)論。這正說明了運用歸謬規(guī)則或規(guī)則D的必要性。運用這兩個規(guī)則的方略就在于引進新的前提作為推理的輔助性前提，并且在得出最終結(jié)論時銷去輔助性前提。在上面的推導中，前提4即p是附加引入的輔助性前提，它和原前提集一起推出了矛盾式r八一T。因此，依據(jù)歸謬規(guī)則，該附加前提的否定即p是可以從原前提集

10、推出的。例4張大俠參與作案（p）,只有在下述情況下才有可能：或者他受到脅迫（q）,或者他既不明真相（r）,又不愿意告發(fā)朋友（s）。而如果他不愿意告發(fā)朋友，說明他一定明白真相。因此，如果不是他受到脅迫，他就決不可能參與作荼。解1一(q(rs)pP；2s'rP_qP(4)pP(5)%4；q(rs)T(1)(4),3,4；rsT(3)(5)*4；rT(6)(8)1,3,4；sT(6)2,3,4；_T(2)(8)(10)T,2,3,4；rrT(7)(9)(11)1,2,3：_p歸謬(4)(10)(12)%2；_q，pD(3)(11)推理有效。柚理問時運用了規(guī)則P、T、D和歸謬規(guī)則。第三行前提3即q是為運用規(guī)則D引入的。我們發(fā)現(xiàn)，引入結(jié)論的前件作為輔助前提對于推出后件仍有因難，因此有必要再運用歸謬規(guī)則，于是第四行把后件的否定即p作為又一個輔助前提引入，于第十行推出了矛盾。第十一行依據(jù)歸謬規(guī)則從前提1、2和3推出p,第十二行依據(jù)規(guī)則D從前提1和2推出qtp,這正是預期的結(jié)論。在以上的討論中，我們涉及