幾何體的一種構造單純體

1、幾何體的一種構造單純體（金飛天津南開大學300071）我們學習了幾何學，對幾何體有了一定的了解，當我們知道三維空間中只有五種正多面體時，不禁被它的神秘所吸引。你是否有一種想進一步了解它的沖動呢？我們下面要研究的是一種特殊的幾何體單純體。單純體即每個面均為相同多邊形的多面體（可以是凹多面體也可是凸多面體）。我們將會證明，只有三角形、四邊形和五邊形才可能構成單純體，并著重討論四邊形構成單純體的情況，包括完成菱形多面體的分類和討論一般四邊形構成單純體的情況。對于箏形構成單純凸多面體的分類，我們也已研究清楚，另文發(fā)表。菱形多面體為說明如何用菱形構造單純體，我們先來了解它的一個特例一一正6面體（即正方體

2、，它的每個面均是正方形，而正方形是一種特殊的菱形）。如下圖，容易知道連接正6面體的一組“面對角線”得到一個正4面體，因此正6面體可以這樣構造出：在正4面體的每一條棱上均添加一個相同的正方形，使得正方形的對角線與正4面體的棱重合。類似地，在正6面體或正8面體的棱上添加適當?shù)牧庑慰傻玫搅庑?2面體，如下圖所示:30面體，如下圖所示:同樣地，在正12面體或正20面體的棱上添加適當?shù)牧庑慰傻昧庑螌⑺枚嗝骟w列表如下:正多面體棱上添加所得多面體所得多面體的頂點數(shù)所得多面體的棱數(shù)所得多面體的面數(shù)正4面體正方形正6面體8126正6面體菱形菱形12面體142412正8面體菱形菱形12面體142412正12面體

3、菱形菱形30面體326030正20面體菱形菱形30面體326030由以上歸納，我們給出一類新的多面體的定義菱形多面體。菱形多面體：即每個面均為相同菱形的凸多面體。以上的幾種菱形多面體人們早已發(fā)現(xiàn)，那么菱形多面體有多少種呢？前人并沒有論述。下面，我們討論了關于菱形多面體的分類，得到如下定理。定理：菱形多面體僅有五種，它們是菱形六面體、菱形十二面體、伴菱形十二面體、菱形二十面體和菱形三十面體。證明：以下分四種情況討論（一）若每個頂點周圍僅有三個面菱形多面體的每個面均為四邊形，則有每個頂點周圍有三個面，則有歐拉公式由（1）、（2）、（3）可得V=8、E=12如下圖：4F=2E(1)3V=2E(2)V

4、E+F=2(3)F=6對應的多面體為菱形6面體。（二）若有一頂點，其周圍有四個面則這個頂點周圍的四個角的組合有以下幾種情況:1.這個頂點這周圍有四個銳角如圖-1,易知，A、B、C、D四點最多再接一個菱形，否則該點周圍面角之和將不小于360度。(1) 若A、B、C、D點都接菱形銳角，即ZEBF=/FCG=/GDH=/HAE均為銳角，由對稱性可知A、B、C、D共面,且BC/AD,如圖-2考察四邊形ABCD,AB=BC=CD=AD=AC=BD,易知，四邊形ABCD不存在，所以這種情況不行。圖-2若B點接銳角，C點接鈍角。即/EBF為銳角，/FCG為鈍角，由平行線所夾角的關系可得ZGDH=ZEBF,Z

5、HAE=ZFCG。考察如圖-3多面體，PA=PB=PC=PD,b51AB=BC=CD=DA=AC，設菱形的長對角線長為2b,短對角線長為2a,易計算得，一=a2在此條件下，我們通過作圖以及模型制作發(fā)現(xiàn)這種菱形拼成一個12面體，而且拼法唯一，我們稱之為伴菱形12面體。圖-3若A、B、C、D點都接菱形鈍角，即ZEBF=ZFCG=ZGDH=ZHAE均為鈍角。易計算得，該菱形的長短對角線長之比為J2,它拼成菱形12面體。2.這個頂點周圍有三個銳角和一個鈍角，如圖-4,/APD為鈍角。(1) 若A、B、C、D點都接菱形銳角，即ZEBF=/FCG=/GDH=/HAE均為銳角，由對稱性可知A、B、C、D四點

6、共面，且BC/AD,考察四邊形ABCD,AB=BC=CD,BD=AC=AB,易知，四邊形ABCD不存在，所以此種情況不行。(2) 若B、C點都接菱形鈍角，即ZEBF為銳角，/FCG為鈍角，易知，/GDH=/EBF,ZHAE=ZFCG,BD=FG=AD,EF=AC=AB=BC，考察圖-5多面體，AD=BD,AC=BC,貝U,VACD絲VBCD,ACD=/BCD,因此，點D在平面ABC上的投影在/ACB的角平分線上，又因該多面體為凸多面體，因此點D在平面ABC上的投影在面PBC的一側，易知此投影在直線BC的左側，因此與點D在平面ABC上的投影在/ACB的角平分線上矛盾。圖-5(3) 若A、B、C、

7、D點都接菱形鈍角，即ZEBF=ZFCG=ZGDH=ZHAE均為鈍角，設菱形長對角線長為2b,短對角線長為2a,考察梯形ABCD(如圖-6),AB=BC=CD=2a,AC=BD=AD=2b,易知AH=a+b、HD=ba,而|AC|2-|AH|2=|CD|2-|HD|2,即(2b)2-(ab)2=(2a)2-(b-a)2b51=一=，a2易知，此種情況該菱形拼成的多面體為伴菱形如下圖所示：圖-612面體或菱形20面體。伴菱形12面體菱形20面體（三）若有一頂點，其周圍有五個面則這頂點周圍的四個角的組合有以下幾種情況:1、這個頂點周圍有五個銳角圖-7如圖-7,頂點A周圍有五個銳角，若B、C、F、J、

8、E均再接銳角，易計算出菱形的長對角線長小于短對角線長，矛盾。因此其中有一點周圍應再接一個鈍角。不妨設點B周圍再接一個鈍角。若點C周圍再接一個銳角，考慮D點，若D點周圍不再接菱形了，即G、H兩點重合，易知DG/AE,DH/AF.則AE/AF，矛盾，因此D點周圍應再接若干個菱形銳角。若D點周圍再接一個銳角，即存在一頂點D,其周圍有三個銳角和一個鈍角，由情況（一）中情形2的討論可知，所得多面體應是伴菱形12面體或菱形20面體。易知它們都不滿足圖-7的結構。對于D點周圍再接更多的銳角的情況下面將給出否定回答。因此B、C、F、J、E周圍應均再接一個菱形鈍角。據(jù)此，易計算出菱形的長短對角線長之比為匝。此菱

9、形拼成的多面體為菱形20面體或菱2形30面體。2、這個頂點周圍有四個銳角和一個鈍角圖-8如圖-8,A點周圍有四個銳角和一個鈍角，為了保證A點周圍面角之和小于360度，則菱形的銳角應小于60度，鈍角應大于120度。故B、C兩點只能再接一個銳角。考慮F點周圍已不能再接菱形了，即D、E兩點重合。易得EF/AG,FD/AH.則AG/AH,矛盾。（四）若有一頂點，其周圍有六個面或多于六個面只討論一頂點周圍有六個面的情況。其它情況類似討論。1、這個頂點周圍有六個銳角A如圖-9,A點周圍有四個銳角和一個鈍角，為了保證應小于60度，鈍角應大于120度。則B、C、D、菱形的長對角線長小于短對角線長，矛盾。2、這

10、個頂點周圍有五個銳角和一個鈍角點周圍面角之和小于360度，則菱形的銳角E、F、G均只能再接一個菱形銳角。易計算出圖-10如圖-10,A點周圍有五個銳角和一個鈍角，易知B、C點周圍只能再接一個菱形銳角，考慮F點，F(xiàn)點周圍不能再接菱形，即D、E兩點重合，易知DF/AG、EF/AH.則AG/AH,矛盾。綜上所述，單純菱形多面體僅有五種，即菱形6面體、菱形12面體、伴菱形12面體、菱形20面體、菱形30面體。一般四邊形的單純體引理：簡單多面體的三角形面的個數(shù)與三面角的個數(shù)之和不小于8。證明：設一簡單多面體有x個三角形面，y個三面角。i角形面的個數(shù)為§,連接j條棱的頂點的個數(shù)為丁，其中i芝4,

11、j>4。貝U：3x+£i§=2E芝3x+4(Fx)=4Fx(1)i33y+£j=2E芝3x+4(V-x)=4V_y(2)j3(1)+(2)得4E芝4F+4V-(x+y)nx十yN8,命題得證。命題1：四邊長各不相等的凸四邊形不能構成單純體。證明：假設這種單純體存在，我們考慮其任一頂點周圍面的排列情況，容易發(fā)現(xiàn)每個頂點周圍至少有4個面。而該單純體的每個面均為四邊形。因此與引理矛盾。故四邊長各不相等的凸四邊形不能構成單純體。命題2:對邊長相等，鄰邊長不等的凸四邊形不能構成單純體。證明：同樣，我們考慮其任一頂點周圍面的排列情況，容易發(fā)現(xiàn)這種單純體不存在。命題3:不

12、存在由凸n(n芝6)邊形構成的單純體。證明：設T(i)為連接i條棱的頂點個數(shù)。顯然i2,£T(i)=V。i_3每個面包含n條棱，因而有nF=2E(1)歐拉公式V-EF=2(2)2E=£iT(i)>3LT(i)=3V(3)i_3i_33由(1)、(2)得3V=-(n-2)F+6>nF=2E,與(3)矛盾。2由命題3的證明過程，我們容易得到下面命題4命題4:一簡單多面體必有三角形、四邊形、五邊形中一種形狀的面。下面給出，有三邊相等的梯形構成單純凸多面體的一個結果，其中只討論了一種情形，另一種情形類似討論。命題5:有三邊相等的梯形不能構成單純的凸多面體證明：假設這種梯

13、形能構成單純的凸多面體，考慮梯形(如圖-11)(AB=BC=ADVCD)下面分兩種情況討論圖-11(一)若該單純體每個定點周圍只有三個面。則有如下等式3V=4F4F=2EVE+F=2=F=6、E=12、V=8它是一個六面體如圖-12所示圖-12其中AAi、B1C1、CD為梯形長的底邊。BC/BiCi、C1D1/CD。則平面ABCD平行于平面A1B1C1D1,而平面ADD1A1交平面ABCD和平面A1B1C1D1分別于AD、A1D1。則AD/A1D1矛盾。因此這種梯形不能構成單純六面體。（二）若該單純體存在一頂點，其周圍至少有四個面圖-13如圖-13,A點滿足假設。易分析得，每個頂點周圍只能是四個銳角、三個銳角和一個鈍角兩種情形，要不然B點