幾何證明中的幾種技巧

1、幾何證明中的幾種技巧.角平分線一一軸對稱1.已知在ABC中，E為BC的中點，AD平分BAC,BDAD于D.AB=9,AC=13.求DE的長.BCF的中位分析：延長BD交AC于F.可得ABtAAFD.則BD=DF.又BE=EC,即11_DEFC(ACAB)2線.22'7.2.已知在ABC中，A108°,AB=AC,BD平分ABC.求證：BC=AB+CD.ABED108°,CABC36°.DBE18°,分析：在BC上截取BE=BA,連接DE.可得BAEBED由已知可得：ABDDECEDC72°,CD=CE,.BC=AB+CD.3.已知在AB

2、C中，A100°,AB=AC,BD平分ABC.求證：BC=BD+ADABED100°.由已知可得:ABLAEBD.AD=ED,分析：在BC上分別截取BE=BA,BF=BD.易證C40°,DBF20°.由.BF=BD,BFD80°.由三角形外角性質(zhì)可得:CDF40°C.cF=DF.BED100°BFDDEF80°,ed=FD=CF,.AD=CF,BC=BD+AD.已知在ABC中，ACBC,CEAB,aF平分CAB，過F作FD/BC，交AB于D.求證：AC=AD.分析：延長DF交AC于G.FD/BC,BCAC,.FGA

3、C.易證AGfAAEF.£=G.則易證GF（AEFD.二GC=ED.AC=AD.如圖（1）所示，：6。和（2£分別是VABC的外角平分線，過點A作AFXBD于F,AG±CE于G,延長AF及AG與BC相交，連接FG._1_FG（ABBCCA）（1）求證：2（2）若（a）BD與CE分別是VABC的內(nèi)角平分線（如圖（2）；（b）BD是ABC的內(nèi)角平分線，CE是ABC的外角平分線（如圖（3）.則在圖（2）與圖（3）兩種情況下，線段6與八ABC的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,并對其中的一種情況給予證明.圖（）圖（2）圖（3）分析：圖（1）中易證ABFA舊F及AC（

4、AHCG.有AB=BI,AC=CH及AD=ID,AG_1_FG-（ABBCCA）=GH.-.GFAAIH的中位線.二2FG1（ABCABC）FG1（BCCAAB）BAC的平分線AD于D,過D作DM同理可得圖（2）中2;圖（3）中2如圖，ABC中，E是BC邊上的中點，DELBC于E,交±AB于M,作DNLAC于N.求證：BM=CN.A分析：連接DB與DC.有DM=DN.ADE垂直平分BC,DB=DC.易證BMIACND(HL).BM=CN.AMIAAND7.如圖，在ABC中，B2C,ad平分BAC.求證：AC=AB+BD.分析：在AC上截取AE=AB,連接DE.則有ABAAED.BD=

5、DE.BAEDCEDC.又.B2C,.CEDCDE=CE.'AC=AB+BD.8.在四邊形ABCD中，AC平分BAD,過C作CE±AB于E,且1AE(ABAD)2.求ABCADC的度數(shù)分析：延長AB到F,使得BF=AD.則有CE垂直平分AF,.二AC=FC.FCAEDAC.有CBFACDA(SAS)./.CBFD.ABCADC180°.二.旋轉(zhuǎn)|1.如圖，已知在正方形ABCD中，E在BC±,F在DC上，BE+DF=EF.求證：EAF45°L-JGJcADF繞A順時針旋轉(zhuǎn)90°得VABG.GABFAD.易證AGIAAFE.FAEGAE1-

6、FAG245°2如圖，在VABC中,ACB9。°,AB=BC,D為AC中點.AB的延長線上任意一點E.FD±£。交：6C延長線于F.分析：連接BD.則VBDE可視為VCDF繞D順時針旋轉(zhuǎn)90°所得.易證BD±DC與BD=CD.則BDECDF.又易證DBEDCF135°.BDEACDF.DE=DF.3.如圖，點日在ABC外部，D在邊BC上，DE交AC于F.若123,AC=AE.求證：AB(AADE分析：若ABCAADE貝修ADEM視為ABC繞A逆時針旋轉(zhuǎn)1所得.則有BADE.B1ADE2,且12.BADE.又.13.BACDA

7、E.再.AChAE.ABCAADE4.如圖，ABC與EDC均為等腰直角三角形，且C在AD上.AE的延長線交BD于F.請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明過程.ACDB0分析：將RtBCD為RtACEC順時針旋轉(zhuǎn)90即可.5.如圖，點E為正方形ABCD的邊CD上一點,DE=BF.點F為CB的延長線上的一點，且EALAF.求證:0分析：將ABF視為ADE繞A順時針旋轉(zhuǎn)90即可.FABBAEEADBAE90°FBAEDA.又.FBAEDA90°,ab=ad.ABFAADE(ASA).二DE=DF.三.平移1.如圖，在梯形ABCD中，BDXAC,AC=8,BD=15.求梯形AB

8、CD的中位線長.分析：延長DC到E使得CE=AB.連接BE.可得YACEB.可視為將AC平移到BE.AB平移到CE.由勾股定理可得DE=17.梯形ABCD中位線長為8.5.2.已知在ABC中，AB=AC,D為AB上一點，E為AC延長線一點，且BD=CE.求證：DM=EM.則DF可視為CE平移所得.>2AD.E分析：延長AD到E使得AE=2AD.連接BE易證BDEACDA.BE=AC.AB+AC>2AD.2.如圖，AD/AABC的角平分線且BD=CD.求證：AB=AC.分析：作DF/AC交BC于F.易證DF=BD=CE.四邊形DCEF為YDCEF.DM=EM.四.中點的聯(lián)想（一）倍長

9、1.已知，AD為VABC的中線.求證：AB+AC分析：延長AD到E使得AD=ED.易證ABIECD.二EC=AB.BADCAD.ECAD./.AC=EC=AB.3.已知在等邊三角形ABC中，D和E分別為BC與AC上的點，且AE=CD.連接AD與BE交于點P,作BQXAD于Q.求證：BP=2PQ.分析：延長PD到F使得FQ=PQ.在等邊三角形ABC中AB=BC=AC,ABDC60°AE=CD,BD=CE.:,kABtBCE.CBEBAD.BPQPBAPABPBADBP60°易證BP(ABFQ得BP=BF，又BPD60°.BPF為等邊三角形.BP=2PQ.（二）中位線

10、1.已知在梯形ABCD中，AD/BC,E和F分別為BD與AC的中點.1EF(BCAD)求證：2分析：取DC中點G,連接EG與FG.則EG/ABCD中位線，F(xiàn)G為ACD勺中位線.1BC-ADEG/=2,FG/=2.AD/BC.二過一點G有且只有一條直線平行于已知直線BC,1_EF(BCAD)即E、F、G共線.2（三）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半1AB-BD1.已知，在YABCD中2.E為OA的中點，為OD中點，G為BC中點.求證：EF=EG.1AB-BD分析：連接BE.2,AE=OE.BELCE,.BG=CG.EG1BCEF1AD2.又EF為AOD勺中位線.2.EF=EG.2.在ABC中

11、，AD是高，CE是中線，DC=BE,DG±CE于G.求證：(1)CG=EG.(2)B2BCE.分析：(1)連接DE.則有DE=BE=DC.RtCDGRtEDG(HL).EG=CG.(2).DE=BE.BBDEDECBCE.DE=CD.DECBCE.B2BCE.3.已知：在等腰梯形ABCD中，AD/BC,BOC60°.E、F、G分別是OA、OB、CD的中點.求證:EFG是等邊三角形.1EFAB2分析：連接ED、FC.易證AOCABOC與為正三角形.由已知可得FGEG-DC在RtCDERtCDF中，有2.EF=EG=FG.即VEFG是等邊三角形六.等面積法1.已知在ABC中，BAC90°,AD±BC于D.AB=8,AC=15求AD的長.1-BCgAD1SvABC-ABgAC分析：22.已知P為矩形ABCD中AD上的動點（P不與A或D重合）.PE±AC于E,PF±BD于F.ABa,BCb.問：pe+PF的值是否為一定值？若是，求出此值并證明；若不是，說明理由.分析：連接PB、PC.易得SvapcSvapb.SvapcSvAPBSvABD1abSvapc2.又-PEga2b2SvdpbPFga2b22,2PEPFab、a2b23.已知在矩形ABCD中，DE=