工程問題解題技巧

1、工程問題（一）顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學問題。其實，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量 =工作效率 ×工作時間，工作時間 =工作量 ÷工作效率，工作效率 =工作量 ÷工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢， 其意義是單位時間里所干的工作量。 單位時間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成 “工作量 /天”，或“工作量 /時”等。但在不引起誤會的情

2、況下，一般不寫工作效率的單位。例 1 單獨干某項工程，甲隊需 100 天完成，乙隊需 150 天完成。甲、乙兩隊合干 50 天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解： 以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100 天，甲的工作效例 2 某項工程，甲單獨做需36 天完成，乙單獨做需45 天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊又做了 18 天才完成任務。問：甲隊干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)?“乙隊先干 18 天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？ ”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了 12 天。例 3 單獨完成某工程，甲隊需 10 天，乙隊需 15

3、天，丙隊需 20 天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了， 結(jié)果一共用了 6 天完成這一工程。 問：甲隊實際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了 6 天，去掉乙、丙兩隊 6 天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了例 4 一批零件，張師傅獨做 20 時完成，王師傅獨做 30 時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做 60 個零件。這批零件共有多少個？分析與解： 這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，例 5 一水池裝有一個放水管和一個排水管， 單開放水管 5 時可將空池灌滿，單開排水管 7 時可將滿池水排完。 如果一開始是空池， 打開放水管

4、1 時后又打開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水？例6甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60 分鐘，乙需40 分鐘。出發(fā)后5 分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5 分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā) 5 分鐘后返回，路上耽誤 10 分鐘，再加上取東西的 5 分鐘，等于比乙晚出發(fā) 15 分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分鐘，乙需 40 分鐘，乙先干 15 分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。答：甲再出

5、發(fā)后15 分鐘兩人相遇。練習 51. 某工程甲單獨干 10 天完成，乙單獨干 15 天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？2. 某工程甲隊單獨做需 48 天，乙隊單獨做需 36 天。甲隊先干了 6 天后轉(zhuǎn)交給乙隊干，后來甲隊重新回來與乙隊一起干了 10 天，將工程做完。求乙隊在中間單獨工作的天數(shù)。3. 一條水渠，甲、乙兩隊合挖需 30 天完工。現(xiàn)在合挖 12 天后，剩下的乙隊單獨又挖了 24 天挖完。這條水渠由甲隊單獨挖需多少天？則完成任務時乙比甲多植50 棵。這批樹共有多少棵？5. 修一段公路，甲隊獨做要用 40 天，乙隊獨做要用 24 天?，F(xiàn)在兩隊同時從兩端開工，結(jié)果在距中點 750

6、米處相遇。這段公路長多少米？6. 蓄水池有甲、乙兩個進水管，單開甲管需 18 時注滿，單開乙管需 24 時注滿。如果要求 12 時注滿水池，那么甲、乙兩管至少要合開多長時間？7. 兩列火車從甲、乙兩地相向而行，慢車從甲地到乙地需8 時，比快車從40 千米。求甲、乙兩地的距離。工程問題（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。 在較復雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運用基本的分析方法，問題也不難解決。例 1 一項工程，如果甲先做 5 天，那么乙接著做 20 天可完成；如果甲先做 20 天，那么乙接著做 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成

7、？分析與解： 本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲15 天的工作量和乙12 天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4 天的工作量。于是可用 “乙工作 4 天”等量替換題中 “甲工作 5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用20+4=24 （天）甲、乙合做這一工程，需用的時間為例 2 一項工程，甲、乙兩隊合作需 6 天完成，現(xiàn)在乙隊先做 7 天，然后么還要幾天才能完成？分析與解： 題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作們把 “乙先做 7 天，甲再做 4 天”的過程轉(zhuǎn)化為 “甲、乙合做 4 天，乙再單獨例 3 單獨完成

8、一件工作，甲按規(guī)定時間可提前 2 天完成，乙則要超過規(guī)定時間 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做 2 天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？分析與解： 乙單獨做要超過3 天，甲、乙合做 2 天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做 2 天等于乙做 3 天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要 10+5=15 （天）。甲、乙合作需要例 4 放滿一個水池的水， 若同時打開 1，2，3 號閥門，則 20 分鐘可以完成；若同時打開 2，3，4 號閥門，則 21 分鐘可以完成； 若同時打開 1，3，4 號閥門，則 28 分鐘可以完成；若同時打開 1，2，4

9、 號閥門，則 30 分鐘可以完成。問：如果同時打開 1，2，3，4 號閥門，那么多少分鐘可以完成？分析與解： 同時打開 1，2，3 號閥門 1 分鐘，再同時打開 2，3，4 號閥門 1 分鐘，再同時打開 1，3，4 號閥門 1 分鐘，再同時打開 1，2，4 號閥門 1 分鐘，這時， 1，2， 3，4 號閥門各打開了 3 分鐘，放水量等于一例 5 某工程由一、二、三小隊合干，需要 8 天完成；由二、三、四小隊合干，需要 10 天完成；由一、四小隊合干，需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、 的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？分析與解： 與例 4 類似，可

10、求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流件工作，要用多少天才能完成？分析與解： 把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。 所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。由最后一輪完成的工作量相同，得到練習 61. 甲、乙二人同時開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個？需的時間相等。問：甲、乙單獨做各需多少天？3. 加工一批零件， 王師傅先做 6 時李師傅再做 12 時可完成，王師傅先做 8 時李師傅再做 9 時也可完成?，F(xiàn)在王師傅先做 2 時，剩下的兩人合做，還需要多少小時？獨修各需幾天？5. 蓄水池有甲、乙、丙三個進水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要 10 ，12，15 時。上午 8 點三個管同時打開，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午 2 點水池被灌滿。問：甲管在何時被關(guān)閉？6. 單獨完成某