解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、解三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用高一數(shù)學(xué)教研組馮一波一、背景說(shuō)明：在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事。明月高懸，我們仰望星空，會(huì)有無(wú)限遐想。不禁會(huì)問(wèn)，遙不可及的月球離地球到底有多遠(yuǎn)？1671年，兩個(gè)法國(guó)天文學(xué)家測(cè)出大約距離為385400千米。他們是怎樣測(cè)出的呢？在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，受到天文測(cè)量、航海測(cè)量和地理測(cè)量等方面實(shí)踐活動(dòng)的推動(dòng)。解三角形的理論不斷發(fā)展，并被用于解決許多測(cè)量問(wèn)題方面。二、課題目的和意義：三角形是基本的幾何圖形，三角形中的數(shù)量關(guān)系是基本的數(shù)量關(guān)系，有著極其廣泛的應(yīng)用。我們將在以前學(xué)習(xí)的有關(guān)三角形、三角函數(shù)和解直角三角形的知識(shí)基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)于任意三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的變

2、長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，并解決一些實(shí)際問(wèn)題。學(xué)而不思則罔，只有通過(guò)自己的獨(dú)立思考才能真正學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，同時(shí)應(yīng)當(dāng)掌握科學(xué)的思維方法，特別是學(xué)習(xí)類比、推廣等數(shù)學(xué)思考方法，提高我們的數(shù)學(xué)思維能力。三、設(shè)計(jì)思想本節(jié)重點(diǎn)利用解斜三角形解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題.解斜三角形知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，解斜三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題過(guò)程，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想.這種思想就是從實(shí)際出發(fā)，經(jīng)過(guò)抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題中的數(shù)學(xué)建模，然后通過(guò)推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問(wèn)題的解.強(qiáng)化上述思維過(guò)程，既是本節(jié)的重點(diǎn)，又是本節(jié)難點(diǎn).解三角形應(yīng)用題的另一個(gè)難點(diǎn)是運(yùn)算問(wèn)題，由于將正弦定理、余弦定理看成幾個(gè)“方程“，那么解三角形

3、的應(yīng)用題實(shí)質(zhì)上就是把已知信息按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知和未知合理選擇一個(gè)“容易解”的方程，從而是解題過(guò)程簡(jiǎn)潔.同時(shí)，由于具體問(wèn)題中給出的數(shù)據(jù)通常是近似值，故運(yùn)算過(guò)程一般較為復(fù)雜，必須借助于計(jì)算器計(jì)算，因此要加強(qiáng)訓(xùn)練，達(dá)到“算法簡(jiǎn)煉，算式工整，計(jì)算準(zhǔn)確”的要求.知識(shí)結(jié)構(gòu):安際問(wèn)題嬴匕照皂里T數(shù)學(xué)極k的解四、實(shí)際應(yīng)用1.測(cè)量中正、余弦定理的應(yīng)用例1某觀測(cè)站C在目標(biāo)A南偏西25口方向，從A出發(fā)有一條南偏東35走向的公路，在C處測(cè)得公路上與C相距31千米的B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達(dá)D,此時(shí)測(cè)得CD距離為21千米，求此人所在D處距A還有多少千米?分析：根據(jù)已知作出示意圖，分

4、析已知及所求，解CBD，求角B.再解MBC,求出AC,再求出AB,從而求出AD（即為所求）.解：由圖知，/CAD=60，222_2_2_2_cBDBC-CD3120-2123cosB=一2BCBD2312031sinB二©I31在AABC中，AC=BCSinB=24.sinA由余弦定理，得BC2=AC2AB2-2ACABcosA.即312=AB2242-2AB24cos60整理，得AB224AB385=0,解得人8=35或人8=11（舍）故AD=ABBD=15（千米）.答：此人所在D處距A還有15千米.評(píng)注：正、余弦定理的應(yīng)用中，示意圖起著關(guān)鍵的作用,“形”可為“數(shù)”指引方向,因此，

5、只有正確作出示意圖，方能合理應(yīng)用正、余弦定理2.航海中正、余弦定理的應(yīng)用例2在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45口方向，距A為J3-1海里的B處有一艘走私船,在A處北偏西75口方向，距A為2海里的C處的緝私船奉命以10J3海里/小時(shí)的速度追截走私船.此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30口方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的時(shí)間？分析：注意到最快追上走私船，且兩船所用時(shí)間相等，可畫出示意圖，需求CD的方位角及由C到D所需的航行時(shí)間.解：設(shè)緝私船追上走私船所需時(shí)間為t小時(shí)，則有CD=10?3t,BD=10t.在ABC中，AB=陰一1,AC=2,BAC=4575=120

6、,根據(jù)余弦定理可得BC=.(3-1)222-22(3-1)cos120=6.根據(jù)正弦定理可得sinABC=ACsin120BC/ABC=45）易知CB方向與正北方向垂直，從而ZCBD=90©+30=120".在4BCD中，根據(jù)正弦定理可得:sinBCD:BDsinCBDCD10tsin120=110nt2.BCD=30）/BDC=30。，BD=BC=76,則有10t=J6,t=Y6=0.245小時(shí)=14.7分鐘.10所以緝私船沿北偏東60°方向，需14.7分鐘才能追上走私船.評(píng)注：認(rèn)真分析問(wèn)題的構(gòu)成，三角形中邊角關(guān)系的分析，可為解題的方向提供依據(jù).明確方位角是應(yīng)用

7、的前提，此題邊角關(guān)系較復(fù)雜要注意正余弦定理的聯(lián)用3 .航測(cè)中正、余弦定理的應(yīng)用例3飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20250m速度為180km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8S30,經(jīng)過(guò)120秒后又看到山頂?shù)母┙菫?1°,求山頂?shù)暮０胃叨龋ň_到1m）分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，如圖，這樣可在AABM和RtABMD中解出山頂?shù)胶骄€的距離，然后再根據(jù)航線的海拔高度求得山頂?shù)暮０胃叨冉猓涸O(shè)飛行員的兩次觀測(cè)點(diǎn)依次為A和B,山頂為M,山頂?shù)街本€的距離為MD.如圖，在4ABM中，由已知，得/A=1830',/ABM=99%/AMB=6230'.一120

8、，、又AB=180x=6(km),根據(jù)正弦定理，可得BM6sin1830'sin6230'60606sin1830'sin81進(jìn)而求得MD=,.MD%2120（項(xiàng),sin6230'可得山頂?shù)暮０胃叨葹?0250-2120=18130（m）.評(píng)注：解題中要認(rèn)真分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形，正確運(yùn)用正、余弦定理有序地解相關(guān)的三角形，從而得到問(wèn)題的答案.4 .炮兵觀測(cè)中正、余弦定理的應(yīng)用例4我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和D處，已知CD=6000米，/ACD=451/ADC=75目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)B處時(shí)，測(cè)得/BCD=30,，/BDC=15力（如圖），求炮兵

9、陣地到目標(biāo)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖，題中的四點(diǎn)A、B、C、D可構(gòu)成四個(gè)三角形.要求AB的長(zhǎng)，由于ZADB=75°+15o=90°,只需知道AD和BD的長(zhǎng)，這樣可選擇在MCD和ABCD中應(yīng)用定理求解.解：在4ACD中，/CAD=180*/ACD/ADC=602CD=6000,ACD=45,根據(jù)正弦定理有AD=CDsin45=.2CD,sin60，3同理，在ABC中CB=8D0-B,CD-CD=6000,BCD=30,CDsin30、.2cc根據(jù)正弦te理有BD=CD.sin1352AB=、；AD2BD=-42CD=1000，426又在AABD中，NA

10、DB=/ADC+/BDC=901根據(jù)勾股定理有:所以炮兵陣地到目標(biāo)的距離為1000J42米.評(píng)注：應(yīng)用正、余弦定理求解問(wèn)題時(shí)，要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，而此類問(wèn)題又可歸結(jié)為解斜三角形問(wèn)題，因此，解題的關(guān)鍵是正確尋求邊、角關(guān)系，方能正確求解5.下料中正余弦定理的應(yīng)用例5已知扇形鐵板的半徑為R,圓心角為60°,要從中截取一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)怎樣劃線？分析：要使截取矩形面積最大，必須使矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的邊界上，即為扇形的內(nèi)接矩形，如圖所示.解：在圖（1）中，在AB上取一點(diǎn)P,過(guò)P作PN_LOA于N,過(guò)P作PQ_LPN交OB于Q,再過(guò)Q作QM_LOA于M.設(shè)NAOP=x,PN=Rs

11、inx.在POQ中，由正弦定理，得OPPQsin(180-60)sin(60-x)2,3.PQ=-3Rsin(60°-x).3是S=PNPQ=2R2sinxsin(60x)=/R2Cos(2x-60)cos60133,321.32-R2(1-):R23263當(dāng)cos(2x60)=1即x=30=時(shí)，S取得最大值R2.6在圖（2）中，取AB中點(diǎn)C,連結(jié)OC,在AB上取一點(diǎn)P,過(guò)P作PQOC交OB于Q,過(guò)P作PN_LPQ交AB于N,過(guò)Q作QM_LPQ交CA于M,連結(jié)MN得矩形MNPQ,設(shè)/POC=x，則PD=Rsinx.RR在POQ中，由正弦定理得：R=R，sin(180-30)sin(30-x).PQ=2Rsin(30-x).S=2PDPQ=4R2sinxsin(30-x)=2R2lcos(2x-30)-cos301E2R2(1cos30,=(2封R2(當(dāng)x=15,時(shí)取“二”)當(dāng)x=15時(shí)，S取得最大值(2-V3)R2.作/AOP=30