高中數(shù)學(xué)常用思想方法

1、高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是 從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還 實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題T數(shù)學(xué)問(wèn)題T代數(shù)問(wèn)題T方程問(wèn)題。宇宙世界，充斥著 等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值 問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)

2、y = f(x)，就可以看作關(guān)于 x、y的二元方程f(x) y=0?？梢哉f(shuō)，函數(shù)的研究離不開(kāi)方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程 思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān) 系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地， 函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函 數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱 含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析

3、式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。 對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外， 方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題。函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是 高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題； 有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量 的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量， 從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，翻譯成數(shù)學(xué) 語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用

4、函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成 n的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決。例設(shè)f(x)=lg12x 4xa3，如果當(dāng)x (-g ,1時(shí) f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【分析】當(dāng)x (- g ,1時(shí)f(x)=lg12x 4xa3有意義的函數(shù)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為 1 + 2x + 4xa>0在x (- g,1上恒成立的不等式問(wèn)題。【解】由題設(shè)可知，不等式 1+ 2x + 4xa>0在x (- g,1上恒成立，1 1即：()2x + ( ) % + a>0 在 x (- g ,1上恒成立。2 21 11設(shè)t = ()x,則t >

5、 _ , 又設(shè)g(t) = t 2 +1 + a，其對(duì)稱軸為t = _2 222111 213t +1 + a = 0 在，+ g)上無(wú)實(shí)根，即 g( ) = ( ) + a>0，得 a>222243所以a的取值范圍是a> 4【注】對(duì)于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡(jiǎn)了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)行解決問(wèn)題，其中也聯(lián)系到了方程無(wú)解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們?cè)诮忸}中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問(wèn)題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。二、數(shù)形結(jié)合思想中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程(組)、不等式(組)、

6、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù) 形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大 致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)； 或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范 嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，

7、使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合， 尋找解題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難 入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題 與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化， 它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化， 幾何問(wèn)題代數(shù)化。 在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 分析和解決問(wèn)題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代 數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義

8、；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范 圍。數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于 直角三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的。2例 若方程lg( x + 3x m)= lg(3 x)在x (0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。再利【分析】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形， 轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問(wèn)題, 用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解決。3 x a 0【解】原方程變形為 «2-x +3x_m = 3_x即:丿設(shè)曲線y1 = (x 2) 2 , x (0,3

9、)和直線y2 = 1 m圖像如圖所示。由圖可知: 當(dāng)1 m= 0時(shí)，有唯一解，m= 1; 當(dāng) K 1 m<4時(shí)，有唯一解，即一 3<mc 0,m = 1 或一3<m< 0此題也可設(shè)曲線 y1 = (x 2) 2 + 1 , x (0,3)和直線y2 = m后畫出圖像求解。【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖像直觀解決，簡(jiǎn)單明了。此題也可用代數(shù)方法來(lái)討論方程的解的情況，還可用分離參數(shù)法來(lái)求(也注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)x值)。三、分類與整合思想在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)， 有時(shí)會(huì)遇到多種情況， 需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜

10、合得解，這就是分類討論法。 分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同 時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面： 問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a= 0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。 問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=1和q工1兩種情況。這種分類討論

11、題型可 以稱為性質(zhì)型。 解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)分a>0、a= 0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過(guò) 分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、 不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象 的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互

12、斥(沒(méi)有重復(fù))；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。例4.設(shè)函數(shù)f(x) = ax2 2x + 2,對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！痉治觥?含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問(wèn)題，需要先 對(duì)開(kāi)口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解。1 2 1【解】當(dāng) a>0 時(shí)，f(x) = a (x) 2 + 2aa1-< 1af (1) = a -2 2>0彳1 ,14a11f(_)= 2 _ >0 i aa1或石 4f(4)

13、 = 16a -8+2>0、11-a a 1 或 <a<1 或 ©即 a> ；22ff (1)= a _2 +20當(dāng)a<0時(shí)，解得© ;J(4)= 16a 8 +20當(dāng) a= 0 時(shí)，f(x) =-2x + 2, f(1)= 0, f(4) =-6,不合題意1由上而得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>。2【注】本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開(kāi)口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a<0、a= 0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像， 在a>0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種， 即在閉區(qū) 間左邊、右邊、中間。四、化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化即等價(jià)轉(zhuǎn)化

14、，是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種 重要的思想方法。通過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至 模式法、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。歷年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不見(jiàn)，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn) 化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保 證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果。非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過(guò)程是充分或必要的，要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正(如無(wú)理方程化有理方程要求驗(yàn)根)，它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的突破口。我們?cè)趹?yīng)用時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施

15、等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授 C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題” 。數(shù)學(xué)的解題過(guò)程，就 是從未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過(guò)程。等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換； 它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，普通語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說(shuō)的恒等變形。 消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問(wèn)題等等，都體現(xiàn)了

16、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化?？梢哉f(shuō)，等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不 變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則， 即把我們遇到的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問(wèn)題來(lái)處理；或者將較為繁瑣、 復(fù)雜的問(wèn)題，變成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，比如從超越式到代數(shù)式、從無(wú)理式到有理式、從分式到整式等；或者比較難以解決、比較抽象的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題，以便準(zhǔn)確把握問(wèn)題的求解過(guò)程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則

17、進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過(guò)程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦郏?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。例 設(shè) x、y R 且 3x 2 + 2y 2 = 6x，求 x 2 + y 2 的范圍?！痉治觥?設(shè)k = x2 + y2，再代入消去y,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù)k范圍的問(wèn)題。其中要注意隱含條件，即x的范圍?！窘狻坑?6x- 3x2 = 2y2 a 0 得 0W x< 2。設(shè) k= x 2 + y 2，貝U y 2 = k x2，代入已知等式得：X 6x+ 2k = 0 ,1 2即k= x2 + 3x,其對(duì)稱軸為 x = 3。2由 OW x w 2 得 k 0,4。所以x 2 + y

18、 2的范圍是：0w x2 + y2 w 4?！玖斫狻繑?shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題）：2由3x2 + 2y 2 = 6x得（x 1） 2 +乙=1,即表示如圖所示橢圓，其一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。32x 2 + y2的范圍就是橢圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切的切點(diǎn)。設(shè)圓方程為x2 + y2 = k，代入橢圓中消y得x2 6x+ 2k = 0。由判別式厶= 36 8k = 0得k = 4,所以x 2 + y 2的范圍是：0w x2 + y2 w 4。【再解】 三角換元法，對(duì)已知式和待求式都可以進(jìn)行三角換元（轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題）X -1 二 co

19、s：-6 ，則3 . + sin21 25COS a + 2COS a + 0,42 22 2 2x + y = 1 + 2C0S a + COSa= 1 + 3 + 2COS a21 2COS a2由 3x2 + 2y2 = 6x 得(x 1) 2 +所以x 2 + y 2的范圍是：0w x2 + y2 w 4。【注】本題運(yùn)用多種方法進(jìn)行解答，實(shí)現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，有助 于提高發(fā)散思維能力。 此題還可以利用均值換元法進(jìn)行解答。各種方法的運(yùn)用，分別將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了其它問(wèn)題，屬于問(wèn)題轉(zhuǎn)換題型。五、特殊與一般思想用特殊值（特殊圖形、特殊位置）代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對(duì)各

20、個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢 驗(yàn)，從而作出正確判斷的方法叫特例法。常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特 殊圖形、特殊角、特殊位置等。當(dāng)已知條件中含有某些不確定的量，但題目暗示答案可能是一個(gè)定值時(shí)，可以將變量取一些特殊數(shù)值、特殊位置、或者一種特殊情況來(lái)求出這個(gè)定值， 這樣，簡(jiǎn)化了推理、論證的過(guò)程。727例 已知(1 2x)= a0 + a1x+ a2x + a7x，那么 a1 + a2 + + a7 =。【解】令 x = 1,則有(一 1) 7 = a0 + a1 + a2 + + a7 = 1;令 x= 0,則有 a0 = 1。所 以 a 1 + a2 + + a7 = 1 1 = 2。六、有限與無(wú)限思想(1 )把對(duì)無(wú)限的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)有限的研究，是解決無(wú)限問(wèn)題的必經(jīng)之路(2) 積累的解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，將有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)限問(wèn)題來(lái)解決是解決的方向(3) 立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來(lái)解決，實(shí)際上是先進(jìn)行有限次分 割，再求和求極限，是典型的有限與無(wú)限數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用a2 _n2例 設(shè)等差數(shù)列：an /的公差d是2,前n項(xiàng)的和為Sn，則lim n F Sn【解】設(shè)首項(xiàng)為 a1，則 an二a2( n-1) = 2 n a1-1 , Sn=n a匹2二 n2 n(a1 j)2nn (a1-1)lim 二 lim(汽泊