數(shù)值分析考試復習總結

1、1誤差相對誤差和絕對誤差得概念例題：當用數(shù)值計算方法求解一個實際的物理運動過程時將有哪些誤差產生？答：實際問題-數(shù)學模型-數(shù)值方法-計算結果在這個過程中存在一下幾種誤差：建立數(shù)學模型過程中產生：模型誤差參數(shù)誤差選用數(shù)值方法產生：截斷誤差計算過程產生：舍入誤差傳播誤差般要經(jīng)歷哪幾個階段在哪些階段6.設a0.937關于精確數(shù)x有3位有效數(shù)字，估計a的相對誤差.對于f(x)“，TG于f(x)的誤差和相對誤差.，估計f(a)對解a的相對誤差:IE(x)|xa103Er(x)3x11018(Th1)|E(f)|.1xJa|=g1033=1020.251Er(x)2二104wf(a)對于f(x)的誤差和相

2、對誤差.|Er(f)|1031a41032有效數(shù)字基本原則:1兩個很接近的數(shù)字不做減法：2:不用很小得數(shù)做分母(不用很大的數(shù)做分子)例題：4.改變下列表達式使計算結果比較精確:(D(2)(3)112xxx1cosx|1；0,|x|1;2x1(1x)(11cosx2x).2sinxx(1cosx)sinx1cosx2.x/,.(x1xx1x)第二章拉格朗日插值公式(即公式(1)插值基函數(shù)(因子)可簡潔表示為n(XiXj).j0n其中：n(X)(XXj),nXij0例1n=1時，線性插值公式Pl(X)yo(xXl)yi(xXo),(XoXi)(XiXo)例2n=2時，拋物插值公式牛頓(Newton

3、)插值公式由差商的引入，知(1)過點Xo,Xi的一次插值多項式為其中(2)過點x0,x1,x2的二次插值多項式為其中重點是分段插值:例題：1.利用Lagrange插值公式求下列各離散函數(shù)的插值多項式(結果要簡化)(1)-101/21-3-1/201(2)-101/21-3/2001/2解(2):方法一.由Lagrange插值公式可得：L3(x)x2(x12)方法二.令,31由L3(1)3,L3(1)j,定A,B(稱之為待定系數(shù)法)15.設f(x)x2,求f(x)在區(qū)間0,1上的分段線性插值函數(shù)fh(x),并估計誤差，取等距節(jié)點,且h1/10.解f(x)x2,Xiih,i0,1,10,h%。則:

4、誤差估計:If(x)fh(X)|號i、maxh(Xih)(X(i1)h).第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近主要分兩種情形：1 .連續(xù)意義下在空間L2a,b中討論2 .離散意義下在n維歐氏空間Rn中討論，只要求提供f的樣本值1.最佳逼近多項式的法方程組設L2a,b的n1維子空間Pn=span1,x,x2,xn,其中1,x,x2,xn是L2a,b的線性無關多項式系.n對fL2a,b,設其最佳逼近多項式可表小為：ajx1i0由(f,)0,Pnn即(xi,xJ)ai(f,xi),i0(1)n(*2)jo其中稱(*2)式為最佳逼近多項式的法方程組(或正規(guī)方程組).由xlno的線性無關性，可證明G

5、正定，即上述法方程組的解存在且唯一.11、求f(x)cosx,x0,1的一次和二次最佳平方逼近多項式.解：設q*(x)a0a1x,P；(x)b0b1xb2x2分別為f(x)的一次、二次最佳平方逼近多項式。1內積(f,g)0f(x)g(x)dx計算如下內積：(1,(1) 1,(1,x)12,(1,x2)13(x,x)13,(x,x2)14,(x2,x2)15(1，f)0,(x,f)22,(x2,f)22建立法方程組：于是P1(2)解得:1a0212a0a10/、1224(X)2-2xb0(12)b1bo2b。3b012-23bl4blbi3b2為2b224-222b2仔：0,12a0-2于是:a

6、iP2(x)24-21224FJx.1為什么要進行數(shù)值積分答：梯形復化求積公式和第四章?常用哪些公式，方法？simpson復化求積公式.2:方法好壞的判斷：代數(shù)精度誤差分析1.代數(shù)精度的概念定義若求積公式bf(x)dxanwif(xi)(*)對所有次數(shù)i0m的多項式是精確的，但對m1次多項式不精確,則稱(*)具有m次代數(shù)精度1不精確，則(*)具有m次代等價定義若求積公式(*)對1,x,x2,xm是精確的，但對xm數(shù)精度。3:誤差1等距剖分下的數(shù)值求積公式:公式特點：節(jié)點預先給定，均勻分布，系數(shù)wi,i0(1)n待定利用插值多項式pn(x)近似代替f(x),即得插值型求積公式Newton-Cot

7、es公式2給定節(jié)點數(shù)下的具有最佳逼近性質(具有最高次代數(shù)精度)的數(shù)值求積公式：Gauss求積公式公式特點：系數(shù)wi0(1)n和節(jié)點xi,i0(1)n均待定3分段插值多項式n(x)近似代替f(x)(分段求積)復化求積公式復化求積公式通過高次求積公式提高精度的途徑不行，類似函數(shù)插值分而治之：分段+低次求積公式稱為復化求積法兩類低次(n4)求積公式:1. NewtonCotes型：矩形、梯形、Simpson、Cotes公式分別稱為復化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型：一點、兩點、三點Gauss求積公式稱為復化一點、兩點、三點Gauss公式復化梯形公式（Tn）hf(x。)f(Xi)f(

8、Xi)f(X2)hn15f2k1f國)f(b),f(Xn1)banf(Xn)復化辛甫生公式：（每個ek上用辛甫生公式求積）Snf(X1)f(X1)4f(X"f(X2)2)4f(xnpf(xn)hnn16f4k1f(X«)，)f(b)其中hba，Xk1/2為ek的中點n復化辛甫生公式是最常用的數(shù)值求積方法。常采用其等價形式:復化柯特斯公式ba其中，h,Xk為Xk1,Xk的中點，n2Xk-4,Xk:為Xk1,Xk的四等分的分點自適應復化求積法計算時，要預先給定n或步長h,在實際中難以把握因為，h取得太大則精度難以保證，h太小則增加計算工作量自適應復化梯形法的具有計算過程如下：h

9、少1n1,hba,T1-f（a）f（b）步2步3判斷|T2T1|?若是，則轉步5;步4n2n,hh/2,TT2,轉步2；步5輸出丁2.第五章1:常用方法：(1) .直接解法：Gauss逐步(順序)消去法、Gauss主元素法、矩陣分解法等；(2) .迭代解法：構造某種極限過程去逐步逼近方程組的解 .經(jīng)典迭代法Jacobi迭代法、GaussSeidel迭代法、逐次超松弛(SOR迭代法等； .Krolov子空間的迭代法根據(jù)A的對稱性，又分為：A對稱正定共腕梯度法A非對稱BICG、GMRes(ft小殘量法).解一類特定背景問題的迭代法多重網(wǎng)格法2:幾類迭代法優(yōu)缺點比較：3:迭代方法目標：求解Axb其中

10、，A非奇異?；舅枷耄喊丫€性方程組Axb的解x,化為一個迭代序列極限解關鍵：構造迭代序列所滿足的公式：迭代格式。構造迭代格式基本步驟：1 .將A分裂：A:BC,其中，B非奇異2 .構造迭代格式其中GB1C,稱之為迭代矩陣，gB1b其中，bAx(k)為x(k)的殘余向量此時，GB1A,1b常用的迭代方法將A七仙分裂為其中0La21a120an1an,n1an1,n0Jacobi迭代方法若a.0,迭代格式x(k1)GJx(k)其中Jacobi迭代矩陣：GJD1(LU)式可寫為分量形式n八、x(k1)biaijx(k),k0.(*1)aiij1方法(*1)或稱為Jacobi迭代方法.Gauss-Se

11、idle迭代方法若a.0,迭代格式x(k1)Ggx(k)g其中，Gauss-Seidel迭代矩陣：Gg(DL)1U其分量形式i1n(k1)1(k1)(k).xi-biaijxjajxj,i1,2,n.(*2)aiij1ji1即，在計算新分量x(k1)時，利用新值xjk1),j1,2,i1迭代法(*2)或稱為GaussSeidel迭代方法。超松弛方法(SOR)方法定義SORT法的迭代格式如下：i1n(k1)(k1)(k)Zibiajxjajxj,aiij1ji1(k1)(k1)(k)xiZi(1)xi,i1,2,n(*3)稱為松弛因子，1即為GS方法.其矩陣形式其中，SOR法的迭代矩陣：G(DL

12、)1(1)DUg(DL)1b.第七章1:解非線性方程與方程組的方法：1 .準確方法如：用求根公式對n4次的代數(shù)多項式求根。但：絕大多數(shù)的方程并無準確方法可用。如：n5次的代數(shù)多項式并無求根公式。2 .數(shù)值方法(實際中大多采用)基本思想：設法找到一個能收斂到方程的解的序列。(1) .區(qū)間套法二分法。(2) .迭代法：.簡單迭代法；.Newton迭代法；.割線法；.加速算法。2:收斂條件：二分法無條件簡單迭代法條件：定理1如果(x)滿足以下條件：1) xa,b,(x)a,b;2) 常數(shù)L:0L1,使得對任意兩點Xi,X2a,b,都有(Xi)(x2)Lxix2,則：方程(*)在a,b上的解存在唯一，

13、且對任給的初值x。，由迭代過程(*)所產生的序列xk收斂到.例題：2.為求方程x3x210在x。1.5附近的一個根，設將方程改寫為下列等價形式，并建立相應的迭代公式：(1) x11/x2,迭代公式xn111/x2(2) /1x2,迭代公式xm(1x3,(3) x21/(x1),迭代公式xn11/函1)1/2,試分析每一種迭代公式的收斂性，并問哪一種迭代收斂得快？解：取x01.5的鄰域1.3,1.6來考察233(1) (x)11/x,(x)2/x2/1.30.9011,故迭代公式(1)收斂.1(2) (x)(1x2)3,I22/322/3(x)2x/3(1x)21.6/3(11.3)0.5515

14、,故迭代公式(2)也收斂。(3) (x)1/(x1)1/2,故迭代公式(3)發(fā)散.由于(Xo)越小，越快地收斂于根解一階常微分方程的常用方法：Euler2階常微分方程邊值問題的差分方法1.三類邊值問題1 )第一類邊值問題：y(x)f(x,y(x),y(x),ay(a),y(b)o2 )第二類邊值問題：y(x)f(x,y(x),y(x),ay(a),y(b)03 )第三類邊值問題：y(x)f(x,y(x),y(x),ay(a)oy(a)i,y(b)0,0其中，故(2)式收斂最快。口第八章方法Runge-Kutta方法xb,()xb,()xb,()oy(b)1,0,2. 差分格式的建立針對方程()而言.Step1取a,b的離散節(jié)點：ax0x1xNb,第m步步長hm步長：hmh,m1,2,N.Step2將y(xm)用二階差商、xmxm1,一股可取等y(xm)用一階差商近似：y(xm)y(xm1)2yxm)y(xm1),m1,2,N,hy(xm)y(xm1)y(xm1),m1,2,N.2h理由：由Taylor展開，有兩式相加得2y(Xmi)2y(Xm)y(Xmi)h(4)y(xm)72-y(m),m12N1,h12其中，Xm1mXm.N1,兩式相減得2y(Xm)y(Xm1)