數(shù)學(xué)知識(shí)的表征

1、數(shù)學(xué)知識(shí)的表征數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)相比，具有其特殊性作為教學(xué)素材的數(shù)學(xué)知識(shí)在學(xué)生學(xué)習(xí)過程之中，由于學(xué)習(xí)材料的特殊，則儲(chǔ)存于頭腦中的方式必然也有其獨(dú)特性數(shù)學(xué)知識(shí)的符號(hào)性與嚴(yán)謹(jǐn)性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)表正的特殊性數(shù)學(xué)知識(shí)表征方式一般有命題表征、符號(hào)表征、算子表征、圖式表征、心智映象表征及產(chǎn)生式表征等1、命題表征命題表征大概是所有學(xué)科知識(shí)在頭腦中記載和呈現(xiàn)的一個(gè)共同的基本方式命題意義或觀念的單元，它用于表述一個(gè)事實(shí)或狀態(tài)，通常由關(guān)系與論題組成，關(guān)系限制論題如“鳥有羽毛”中“鳥”、“羽毛”是論題，而“有”則是關(guān)系數(shù)學(xué)知識(shí)中有關(guān)概念、名稱等一些事實(shí)性知識(shí)就是通過命題形式在學(xué)生頭腦中得以記載如方程的概念，其中有

2、論題：“未知數(shù)”、“等式”，其關(guān)系是“含有”、即“等式含有”“未知數(shù)”。2、符號(hào)表征數(shù)學(xué)的一個(gè)顯著特征就是符號(hào)化無論是從心理的角度還是從實(shí)踐操作的角度來看，符號(hào)表征是最好的記載形式正如數(shù)學(xué)家懷特海所說，數(shù)學(xué)的符號(hào)化是最經(jīng)濟(jì)的方法 r 既是操作上最經(jīng)濟(jì)的，也是記憶上最經(jīng)濟(jì)的因此符號(hào)表征是數(shù)學(xué)在學(xué)生頭腦中儲(chǔ)存的獨(dú)特的、具有普遍性的形式符號(hào)表征有兩種形式，一種是全符號(hào)表征，如二次根式概念，儲(chǔ)存于頭腦中的就是a 這樣一個(gè)符號(hào)； 另一種是不完全符號(hào)表征，如代數(shù)式概念則是以1, a, ab,a2 ?2等等，這樣形式得以儲(chǔ)存的。符號(hào)表征僅僅以符號(hào)形式儲(chǔ)存它的缺點(diǎn)是表征的形式與表征的意義相脫節(jié)，正因如此，學(xué)生

3、在判斷“ a 是二次根式”這一命題會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤判斷 1/2 是否為整式， 2是否為代數(shù)式等時(shí)容易出現(xiàn)困難在表征二次根式時(shí)，將二次根式的意義丟失而只有形式 a 卻不知二次根式中要求 a>0；由于整式、代數(shù)式、多項(xiàng)式、單項(xiàng)式等均是采取不完全符號(hào)表征，而這些概念的意義必須通過對(duì)它們的不完全表征式進(jìn)行歸納才能將其表征形式與表征內(nèi)容形成配對(duì)3、算子表征算子是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念它表示的是一種形式化運(yùn)算數(shù)學(xué)中許多運(yùn)算律、法則等儲(chǔ)存于學(xué)生頭腦中均是以算子表征如平方差公式，其表征形式為而無須知曉口及 0所代表的內(nèi)容算子表征能夠較好的反映表征內(nèi)容達(dá)到了一種很好的匹配如上式中的平方差公式，口可以代表一切數(shù)學(xué)式

4、， 0 也可以代表一切數(shù)學(xué)式4、圖式表征由于數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯性較為突出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)依賴的基礎(chǔ)是邏輯。這說明數(shù)學(xué)知識(shí)塊間的關(guān)聯(lián)是十分密切心理學(xué)研究表明，整塊的系統(tǒng)知識(shí)是圖式表征的圖式中不僅包含知識(shí)的命題表征，而且包含了事物的表象，而表象又稱心象，是信息在空間上的連續(xù)性在人腦中的表征另外圖式還可以說明在復(fù)雜的情景中做出指說以及生成預(yù)測的能力如解一元一次方程，則是以圖式“移項(xiàng)一合并一除系數(shù)”加以儲(chǔ)存，解分式方程的圖式則為“除分母一移項(xiàng)一合并一除系數(shù)”。5、心智映象表征心智映象是一種類似圖象的表征它是一種特殊的，通常是空間的中介形式運(yùn)作的。心智映象是“頭腦第 3期 程廣文：論數(shù)學(xué)知識(shí)表征特殊性中一幅圖象”這

5、種更具常識(shí)的觀念實(shí)際上很好的抓住了這一術(shù)語的特殊含義，即心智映象是通過一種認(rèn)知過程在人的圖腦中形成的與實(shí)在世界的情景象類似的心理圖象5 因?yàn)殛P(guān)于客觀事物的空間形式的知識(shí)是數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，有關(guān)空間形式的知識(shí)，如幾何知識(shí)就以心智映象表征存儲(chǔ)于人的頭腦之中，如三角形，則以“”這樣一個(gè)心理圖象來表征二次函數(shù)則以“”、“”的圖象來表征，并通過這些心理圖象來分析二次涵數(shù)的性質(zhì)心智映象表征的數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)缺點(diǎn)就是表征形式與表征內(nèi)容易于脫離心智映象具有簡約化特點(diǎn)，心智映象只是“大體保留了事物的知覺特征6、產(chǎn)生式表征數(shù)學(xué)的邏輯性使產(chǎn)生式表征數(shù)學(xué)知識(shí)成為可能數(shù)學(xué)命題是數(shù)學(xué)知識(shí)中主要部分，數(shù)學(xué)命題總是可以表述成“如果 ?那末 ?”的形式“如果 A，那末 B”中， A表示命題的題設(shè)， B 表示命題的結(jié)論而產(chǎn)生式表征，它包含了“如果某中條件滿足，那末就執(zhí)行某中動(dòng)作”的知識(shí)這是程序性知識(shí)的主要表征形式如等腰三角形判斷定理：如果圖形是兩維圖形，該圖形有三條邊，該圖形為一封閉圖形，該圖形中有兩角相等，那末圖形中有兩邊相等，該圖形是等腰三角形產(chǎn)生式表征式一種啟發(fā)式的，因?yàn)楫a(chǎn)生式的一個(gè)最基本特征是，它產(chǎn)生的總是由目的引導(dǎo)的行為， 這種目的性表現(xiàn)為，產(chǎn)生式的條件部分總包含有關(guān)于目的的陳述 引以上提及的數(shù)學(xué)知識(shí)表征的六種形式是基于數(shù)學(xué)知識(shí)的獨(dú)特屬性的一方面數(shù)學(xué)知