奧林匹克數(shù)學(xué)競賽試題-(13501)

1、奧林匹克數(shù)學(xué)競賽試題（幾何部分）Mathematics Olympic test (geometric part)1.已知在梯形 ABCD中，ADBC， B=40°， C=50°，點 E,F,M,N分別為四條邊的中點，求證：BC=EF+MN【.簡單】2. 已知在平行四邊形 ABCD中，對角線 AC與 BD相交于點 O，P為平行四邊形 ABCD外一點，且 APC=BPD=90°，求證：平行四邊形 ABCD為矩形 . 【簡單】3. 已知在三角形 ABC中，AB=AC，CDAB于 D，P 為 BC上一點， PEAB于 E，PFAC于 F. 求證： PE+PF=CD【.簡

2、單】4. 已知在等腰三角形ABC中， AB=AC，CDAB，AHFH，EFAB，求證： EF=CD+FH【.簡單】5. 已知三角形 ABC和三角形 BDE都是等腰直角三角形，連結(jié) AD，延長 CE交 AD與 F, 求證： CFAD.【簡單】6. 已知三角形 ABC和三角形 BDE都是正三角形，連結(jié) AD交 BE于 F，連結(jié) CE交 AB于 G，連結(jié) FG，求證： FGCD.【簡單】7. 已知三角形 ABC為正三角形，內(nèi)取一點 P，向三邊作垂線，交 AB于 D，BC于 E,AC于 F，求證： PD+PE+PF=三角形的高 . 【簡單】8. 已知三角形 ABC為正三角形， AD為高，取三角形外一點

3、 P，向三邊（或邊的延長線）作垂線，交 AB的延長線 AE于 M，交 AC的延長線AF于 N，交 BC于 Q，求證： PM+PN-PQ=AD【.中等】9. 已知在矩形 ABCD中，對角線 AC,BD相交于 O，DE平分 ADC交 AC于 F，若 BDE=15°，求 COE的度數(shù) . 【中等】10. 已知三角形 ABC是直角三角形， BAC=90°，ADBC，AE平分CAD，BF平分 ABC，交 AD于 G，交 AE于 H，連結(jié) EG,求證：EGAC.【中等】11. 已知三角形 ABC和三角形 BDE都是正三角形，連結(jié) AE,CD,取 AE的中點 N，取 CD的中點 M，連結(jié)

4、 BM,BN,MN求.證：三角形 BMN是等邊三角形 . 【中等】12. 已知在正方形 ABCD中，作對角線 AC的平行線 EG，作 BC=CH，連結(jié) BE，延長 HG交 BE于 F，連結(jié) CF，求證： BC=CF【.中等】13. 已知在直角梯形 ABCD中， ADBC，AD=3，BC=5，將腰 CD繞點 D 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°至 DE，連結(jié) AE，求三角形 ADE的面積 . 【中等】14. 已知在任意四邊形 ABCD中，AB=CD，P,Q,R 分別為 AD,BC,BD的中點， ABD=25°， BDC=65°，求 PQR的度數(shù) . 【中等】S 三角形 AB的中點

5、，求證：為已知在梯形 15.ABCD中，ADBC，ESS三角形 BCE.【較難】 CDE=ADE+三角形16. 已知矩形 ABCD，在 CD的延長線上取一點 E，在 BC的延長線上取SS三求證：ABCD=矩形交于一點 F，使得 DAE=DAF,AF和 CDG, 角形 AEF.【較難】17. 已知在等腰直角三角形 ABC中， BAC=90°， AD=AE， AFBE交BC于 F，過 F 作 FGCD交 BE的延長線于 G， 求證： BG=AF+FG.【很難】【提示：過 C點作 AC的垂線，延長 AF，交垂線于 H.】18. 已知在正九邊形ABCDEFGHI中，連結(jié) AE， AE=1,求 AH+AI 的長 .【很難】【提示：延長 AH使 HK=HG，連結(jié) KG.】，求證： 1：2：，且已知正方形 19.ABCD內(nèi)有一點 PPB：PCPD=3 CPD=135°. 【超難】【提示：過 C作 PC的垂線 CP'，使 CP=CP'.】20. 已知在任意四邊形 ABCD中，點 E,F 分別將 AD,BC分成