概率論課件第一章習(xí)題課

1、第第 一一 章章事 件 與 概 率主要內(nèi)容主要內(nèi)容:一、概率的概念一、概率的概念事件的有關(guān)關(guān)系和運(yùn)算事件的有關(guān)關(guān)系和運(yùn)算; ;概率的定義概率的定義. . （1 1）描述性定義；（）描述性定義；（2 2）統(tǒng)計(jì)定義；（）統(tǒng)計(jì)定義；（3 3）公理化定義）公理化定義. .二、概率的性質(zhì)二、概率的性質(zhì)三、三種特殊概率：古典概型、幾何概型、伯努利概型三、三種特殊概率：古典概型、幾何概型、伯努利概型四、有關(guān)條件概率的計(jì)算公式四、有關(guān)條件概率的計(jì)算公式五、獨(dú)立性五、獨(dú)立性第一章第一章 習(xí)題課習(xí)題課隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)事件隨機(jī)事件樣本空間樣本空間事件的關(guān)系及運(yùn)算事件的關(guān)系及運(yùn)算 小小 結(jié)結(jié)基本概念基本概念 必然

2、事件必然事件不可能事件不可能事件 三個(gè)限定條件三個(gè)限定條件 所有基本事件構(gòu)成的集合所有基本事件構(gòu)成的集合 四種關(guān)系和三種運(yùn)算四種關(guān)系和三種運(yùn)算可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；每次試驗(yàn)可出現(xiàn)多種可能結(jié)果；每次試驗(yàn)可出現(xiàn)多種可能結(jié)果；每次試驗(yàn)前能明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，每次試驗(yàn)前能明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，但不能確定試驗(yàn)后會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果但不能確定試驗(yàn)后會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果. 基本事件基本事件復(fù)合事件復(fù)合事件試驗(yàn)的每個(gè)試驗(yàn)的每個(gè)可能的結(jié)果可能的結(jié)果 不能再分或不必細(xì)分不能再分或不必細(xì)分 多于一個(gè)的基本事件構(gòu)成多于一個(gè)的基本事件構(gòu)成 P( ( ) )=1，P( ( ) )=0，反之不真！反

3、之不真！ 反之不真！反之不真！ 關(guān)系關(guān)系 運(yùn)算運(yùn)算 包含包含相等相等互斥互斥互逆互逆 和和積積差差A(yù)B = AB = ， AB = 兩兩互不相容兩兩互不相容交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律對(duì)偶律對(duì)偶律和、積和、積和、積和、積積關(guān)于和，積關(guān)于和， 和關(guān)于積和關(guān)于積和、積和、積AB = | | A 或或 B AB = | A 且且 B A - - B = | | A 且且 B BABABABA ,概率概率定義定義性質(zhì)性質(zhì) 定義在樣本空間上滿足三條公理定義在樣本空間上滿足三條公理 的集合函數(shù)的集合函數(shù) 5 條條(1)(1) 0 P( (A) ) 1 ;( (2) ) P( ( ) )= 1 ;

4、( (3) ) 兩兩互不相容事件兩兩互不相容事件A1 ,An ,有有 P( ( Ai ) )= P( (Ai ). ). 10 P( ( ) )= 0;20 若事件若事件 A1 , An 兩兩互不相容兩兩互不相容, 則則P( ( Ai ) )= P( (Ai ) );30 對(duì)任意事件對(duì)任意事件A, B，有，有 P( (AB) )= P( (A)+)+ P( (B)-)- P( (AB) ); 40 對(duì)任一事件對(duì)任一事件A， 有有 P( (A) )=1- 1- P( ( A ) );50 設(shè)設(shè), B是兩個(gè)事件，且是兩個(gè)事件，且 B ，則，則 P( (A- - B) )= P( (A)-)- P(

5、 (B),), P( (B) ) P( (A),), 直接計(jì)算直接計(jì)算 推推 算算 古典概型古典概型幾何概率幾何概率伯努利概型伯努利概型條件概率條件概率利用獨(dú)立性利用獨(dú)立性重要公式重要公式 計(jì)算計(jì)算 乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式P( (AB) )= P( (A) )P( (B) ) niiiBAPBPAP1)|()()(P( (AB) )= P( (A) )P( (B| |A) ) ( ( P( (A) ) 0) ) njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|()()()|(BPABPBAP 等可能性等可能性 )(中中的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)總總數(shù)數(shù)

6、包包含含的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù) AAP 的的度度量量的的度度量量 AAP )(有包含或主從關(guān)系時(shí)用有包含或主從關(guān)系時(shí)用 knkknnqpCkP)(nk0CABABCCABCBC -該生是三年級(jí)男生但不是運(yùn)動(dòng)員-全系遠(yuǎn)動(dòng)員都是三年級(jí)男生-全系遠(yuǎn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生 -全系女生在三年級(jí)且三年級(jí)學(xué)生的都是女生，即三年級(jí)學(xué)生由該系女生組成ABBABA且例例1 在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示被選學(xué)生是表示被選學(xué)生是男生，事件男生，事件B表示該生是三年級(jí)學(xué)生，事件表示該生是三年級(jí)學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員。表示該生是運(yùn)動(dòng)員。CABBC （2 2）在什么條件下）

7、在什么條件下 ABC= =C 成立？成立？（1 1） 敘述事件敘述事件 的意義。的意義。（3 3）什么時(shí)候關(guān)系式）什么時(shí)候關(guān)系式 是正確的？是正確的？（4 4）什么時(shí)候）什么時(shí)候 成立？成立？BA例2對(duì)立事件與互不相容事件有何聯(lián)系與區(qū)別？答：（1）兩事件對(duì)立必定互不相容，但互不相容未必對(duì)立； （2）互不相容的概念適用與多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件； （3）兩個(gè)事件互不相容是指這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生一個(gè)，但可以都不發(fā)生，而兩個(gè)事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生。iAiA例3某人投籃兩次，設(shè)“第i次投中”，i=1，2，試用B=“兩次都投中”，C=“兩次都未投中”，D=“恰

8、有一次投中”，E=“至少有一次投中”，并指出B、C、D、E中哪些是互不相容事件？哪些是對(duì)立事件？表示下列事件：,21AAB ,21AAC ,2121AAAAD21AAE答：（1）事件B、C、D兩兩互不相容，因?yàn)樵趦纱瓮痘@中，B、C、D不可能同時(shí)發(fā)生任意兩個(gè)結(jié)果。事實(shí)上22112121AAAAAAAABC )()()(221211212121AAAAAAAAAAAACD 211221212121)()()(AAAAAAAAAAAABD即BDCDBC故B、C、D兩兩互不相容。 )(2121AAAACE2121AAAAEC（2）C和E是對(duì)立事件故C和E是對(duì)立事件。2121AAAA,654321A,

9、321B654 ,CCBCABA 例例4若事件若事件A、B、C滿足滿足A+C=B+C，問(wèn)，問(wèn)A=B是否成立？是否成立？則但顯然答：不一定成立。例如： ,qBPpAP .,BAPBAPABPBAPBAP例例5 5設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件A, ,B互不相容，已知互不相容，已知試求：試求：AB 解：因?yàn)锳，B互不相容,故有又因?yàn)锳，B互不相容，故所以 0 PABP qBPBAPqpBAPBAPBAP11 qpBPAPBAP pAPBAP1例例6 6 設(shè)設(shè)A , B滿足滿足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何條件在何條件下，下， P(AB) 取得最大取得最大(小小)值？最大值？

10、最大(小小)值是多少？值是多少？ 解解)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BAPBPAPABP3 . 01)()(BPAP1)(BAP最小值在 時(shí)取得 6 . 0)()(APABP 最小值 最大值)()(BPBAP最大值在 時(shí)取得 例7.設(shè)事件A擲一枚骰子4次，得一次六點(diǎn)； B擲二枚骰子24次，得一次雙六. 試比較 )(),(BPAP 的大小. 解 C擲一枚骰子1次，得六點(diǎn) 是伯努利試驗(yàn)的一種結(jié)果，且 ,61)(CP故 ,386. 06546561)(43314 CAPD擲二枚骰子1次，得雙六 是伯努利試驗(yàn)的一種結(jié)果，且 .361)(DP故 .349. 09040. 0386.

11、 0675654635243635361)(43232043482323124 CBP所以 ).()(BPAP例8將3個(gè)小球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中,求盒子中球的最多個(gè)數(shù)分別為1，2，3的概率。解：這是一個(gè)古典概型問(wèn)題，3個(gè)球放入4個(gè)盒子中是34種。有重復(fù)的排列，總方法有34343PC!8343341PP（1）、盒子中球的最多個(gè)數(shù)為1，即3個(gè)球分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子中包含的基本事件數(shù)為： 盒子中的2個(gè)盒子中，放法為 （2）盒子中球的最多個(gè)數(shù)為2，即3個(gè)球分別放入4個(gè),24P,13C361324CP2個(gè)球，另一個(gè)盒子中有1個(gè)球，這一個(gè)球從3個(gè)球中所以該事件包含的基本其中一個(gè)盒子中有任取，取法為

12、組合數(shù)為事件數(shù)為：16943632P14P1614433P（3）盒子中球的最多個(gè)數(shù)為3，即3個(gè)球分別放入4個(gè)盒子中的1個(gè)盒子中，放法為：2121AAAAA解解設(shè) A = “取到的n 個(gè)數(shù)字的乘積能被10整除” A1 = “取到的n個(gè)數(shù)字中有偶數(shù)” A2 =“取到的n個(gè)數(shù)字中有5”A = A1 A2例例9 9 在1,2,3, ,9中重復(fù)地任取 n ( )個(gè)數(shù),求 n 個(gè)數(shù)字的乘積能被10整除的概率.2 nnAP951nnAP982nnAAP9421 nnnnAAPAPAPAAPAP9485212121 .94851nnnnAP例例1010 把標(biāo)有 1,2,3,4 的 4 個(gè)球隨機(jī)地放入標(biāo)有1,2

13、,3,4 的 4 個(gè)盒子中，每盒放一球，求至少有一個(gè)盒子的號(hào)碼與放入的球的號(hào)碼一致的概率。解解 設(shè) A 為所求的事件，設(shè) Ai 表示 i 號(hào)球入 i 號(hào)盒， i = 1,2,3,4則41iiAA4 , 3 , 2 , 1,41! 4! 3)(iAPi41,121! 4! 2)(jiAAPji41,241! 4! 1)(kjiAAAPkji241)(4321AAAAP4141)()()(jijiiiAAPAPAP85)()(432141AAAAPAAAPkjikji由廣義加法公式例例11.可靠性問(wèn)題可靠性問(wèn)題2514331421423元件元件5不能正常工作不能正常工作元件元件5能正常工作能正常工

14、作系統(tǒng)1系統(tǒng)2( (橋式系統(tǒng)）設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由橋式系統(tǒng)）設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由5 5個(gè)元件組成，連接的方式個(gè)元件組成，連接的方式如圖所示，每個(gè)元件的可靠度都是如圖所示，每個(gè)元件的可靠度都是p，每個(gè)元件是否，每個(gè)元件是否正常工作是相互獨(dú)立的。求這個(gè)橋式系統(tǒng)的可靠度正常工作是相互獨(dú)立的。求這個(gè)橋式系統(tǒng)的可靠度. .解：設(shè)事件A表示整個(gè)橋式系統(tǒng)正常工作， iA個(gè)元件正常工作， i1,2,3,4,5 表示第i系統(tǒng)13142422pp 5AAP1423系統(tǒng)25AAP 4231AAPAAP222pp 543255552522ppppAAPAPAAPAPAP4321AAAAP4231AAAAP即被儀器判為不合格品的產(chǎn)品中

15、有即被儀器判為不合格品的產(chǎn)品中有98%的產(chǎn)品為合格品，的產(chǎn)品為合格品，從而不能采用這臺(tái)新發(fā)明的儀器從而不能采用這臺(tái)新發(fā)明的儀器例例12. 12. 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格率為某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格率為0.1%,0.1%,但是沒有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)但是沒有適當(dāng)?shù)膬x器進(jìn)行檢驗(yàn)有人聲稱發(fā)明了一種儀器可以用來(lái)檢驗(yàn)，誤判的概率行檢驗(yàn)有人聲稱發(fā)明了一種儀器可以用來(lái)檢驗(yàn)，誤判的概率僅僅5%5%，即把合格品判為不合格的概率為，即把合格品判為不合格的概率為5%, 5%, ，把不合格品判為，把不合格品判為合格品的概率也是合格品的概率也是5%.5%.試問(wèn)能否采用該人發(fā)明的儀器？試問(wèn)能否采用該人發(fā)明的儀器？解設(shè)事件解設(shè)事件A A

16、表示表示“隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取1 1件產(chǎn)品為不合格品件產(chǎn)品為不合格品”，事件，事件B B表示表示“隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取1 1件產(chǎn)品被儀器判為不合格品件產(chǎn)品被儀器判為不合格品”，根據(jù)全概率公式有，根據(jù)全概率公式有() ( )() ( )P B A P AP B A P A95% 0.1% 5% 99.9%0.0509.() ( )()() ( )() ( )95% 0.1%0.02.95% 0.1%5% 99.9%P B A P AP A BP B A P AP B A P A( )P B由由BayesBayes公式有公式有 例13.選擇題1當(dāng)事件A 與B 同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生。則下列結(jié)論正確的是（

17、 ） . A)()(ABPCP.B)()(BAPCP.C1)()()(BPAPCP.D1)()()(BPAPCP 1.C. 因 ).()(,ABPCPCAB由)()()()(1ABPBPAPBAP得. 1)()()(BPAPABP 解答 2設(shè) CAB . ACAB .BCA CB CBA.DCACB 且C或則( ) 答案3某人射擊時(shí)，每次中靶的概率為 ,41如果射擊到中靶為止，則射擊次數(shù)為3的概率為 （ ）. A3)41(.B41432.C43412.D343 答案 4.設(shè). 0)(, 0)(BPAPBA,互不相容,則一定成立的是（ ） .A)(1)(BPAP.B0)(BAP.C1)(BAP.

18、D0)(ABP 5設(shè) BA,是任意兩個(gè)事件，則 )(BAP（ ） . A)()(BPAP.B)()()(ABPBPAP.C)()(ABPAP.D)()()(ABPBPAP 答案 答案 7設(shè) . 8 . 0)(, 7 . 0)(, 8 . 0)(BAPBPAP則下列結(jié)論正確的是（ ）A.A,B獨(dú)立B.A,B互斥C.AB D.)()()(BPAPBAP6.設(shè) BA,為兩個(gè)隨機(jī)事件，且有 則下列結(jié)論正確的是, 1)(ABCP（ ） . A1)()()(BPAPCP.B)()(ABPCP.C1)()()(BPAPCP.D)()(BAPCP 答案 答案).()(,ABPCPCAB 8 10只球中有3只紅

19、球，7只綠球，隨機(jī)地分給10個(gè)小朋友，每人一球。則最后三個(gè)分到球的小朋友 中恰有一個(gè)得紅球的概率為 （ ） . A10313C.B2)107(103.C213)107(103C.D3102713CCC 9.設(shè) CBA,是兩兩獨(dú)立且不能同時(shí)發(fā)生的事件，且 xCPBPAP)()()(則 x的最大值為( )A.21B.1C.31D.41 答案D 解答由CBABAA有, 1)()()(0CBAPBAPAP即. 1332022xxxxx解得.210 x9.A 10在10只球中只有1只紅球，有放回地抽取，每次取一球，直到第n 次才取到k (kn) 次紅球的概率為( ). Aknk109101.Bknkkn

20、C109101 .CknkknC10910111.DknkknC109101111 答案D11甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽。設(shè)事件 A甲勝乙負(fù)，則 A為（ ） . A 乙勝甲負(fù) .B甲乙平局 .C甲負(fù) .D甲負(fù)或平局 12甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被射中，則它是由甲射中的概率是（ ） . A6 . 0.B115.C75. 0.D116 答案 13設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為 ),10( pp則在3次重復(fù)試驗(yàn)中至少失敗一次的概率為 （ ）. A3p.B21p.C3)1 (p.D)1 (3)1 (3)1 (223ppppp 12.C 記 . A=甲中， .B

21、=乙中， .D=目標(biāo)被擊中.則 所求概率為 .75. 08 . 06 . 0)(DAP, 6 . 0)()(, 8 . 05 . 06 . 05 . 06 . 0)()(APADPBAPDP 解答 答案D 例17.填空題36171設(shè) BA,是兩個(gè)事件， , 3 . 0)(, 7 . 0)(BAPBP則 )(BAP2某市有50% 的住戶訂日?qǐng)?bào)，65% 的住戶訂晚報(bào)， 85% 的住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一種.則同時(shí)訂這 兩種報(bào)紙的住戶占 3將一枚骰子獨(dú)立地先后擲兩次，以x，y分別表示 先后擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè).,10yxByxA則 )(ABP)(BAP)(BAP30% 0.6 31151 4三人獨(dú)立破譯

22、一密碼，能單獨(dú)譯出的概率分別 為.41,31,51則此密碼能被譯出的概率為 5設(shè) BA,是兩個(gè)事件， , 2 . 0)(, 5 . 0)(BAPAP則 )(ABP6設(shè) BA,是隨機(jī)事件， ,85. 0)(,93. 0)(,92. 0)(ABPBPAP則 )(BAP)(BAP0.6 0.70.8290.988 8三臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)。設(shè)第一、二、三臺(tái)機(jī)器不發(fā)生故障的概率依次為 0.9，0.8，0.7，則這三臺(tái)機(jī)器中至少有一臺(tái)發(fā)生故障的概率為 0.496投三次，則甲比乙進(jìn)球多的概率為 0.436240 7甲、乙二人投籃，命中率分別為 0.7，0.6，每人 解答1 因 ),(1)(1)(ABPBAPBAP以及),()()()()(BAPABPBAABPAABPBP得. 4 . 0)(ABP 6 . 04 . 01)(BAP 85. 0,65. 0, 5 . 0BAPBPAP 3 . 085. 065. 05 . 0BAPBPAPABP2. 設(shè)A=“住戶訂日?qǐng)?bào)”，B=“住戶訂晚報(bào)”,則 6 , 6,2 , 1,1 , 1 4 , 6,5 , 5,6 , 4A 5 , 6, 4 , 6, 3 , 6, 2 , 6, 1 , 6, 4 , 5, 3 , 5, 2 , 5, 1 , 5, 3 , 4