2015年中考特殊平行四邊形證明與計算經(jīng)典習(xí)題與答案_第1頁
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文檔簡介

1、2015 年初中數(shù)學(xué)中考特殊四邊形證明及計算組卷參考答案與試題解析學(xué)號30 小題)(1 )如圖,?ABCD 的對角線 AC, BD 交于點 O,直線 EF 過點 O,分別交 AD,BC 于點 E, F.? ABCD (紙片)沿過對角線交點O 的直線 EF 折疊,點 A 落在點 A1處,點 B 落在點 B1處,設(shè)FB1交 CD 于點 G, A1B1分別交 CD, DE 于點 H , I.考點:平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);翻折變換(折疊問題)分析:(1 )由四邊形 ABCD 是平行四邊形,可得 AD / BC, OA=OC,又由平行線的性質(zhì),可得/1 = / 2,繼而利用 ASA,即

2、可證得 AOECOF,則可證得 AE=CF .(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì),易得A1E=CF,/ A1= / A= / C,ZB1=ZB= / D,繼而可證得厶 A1IECGF,即可證得 EI=FG .解答:證明:(1 )四邊形 ABCD 是平行四邊形, AD / BC, OA=OC ,/1 =/2,在厶 AOE 和厶 COF 中,,AOECOF (ASA ), AE=CF ;(2)四邊形 ABCD 是平行四邊形,/ A= / C,ZB= / D,由(1 )得 AE=CF , 由折疊的性質(zhì)可得: AE=A1E,ZA 仁/A,/ B 仁/ B,- A1E=CF,/ A 仁/ A= / C

3、 ,ZB 仁 / B= / D,又 1 = / 2 ,3= / 4 ,5= / 3,/ 4= / 6 , /5=Z6,在厶 A1IE 與厶 CGF 中,點評:此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中,注意掌握 折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.(2011?)閱讀一解答題(共1. (2012?威海)求證:AE=CF .(2)如圖,將在平面直角坐標(biāo)系中,以任意兩點P ( X1, y1)、Q ( x2, y2)為端點的線段中點坐標(biāo)為.運用(1)如圖,矩形 ONEF 的對角線相交于點 M , ON、OF 分別在 x 軸和 y 軸上,0 為坐標(biāo)原點,

4、點 E 的坐標(biāo)為(4, 3),則點 M 的坐標(biāo)為(2,1.5).(2) 在直角坐標(biāo)系中,有 A (- 1 , 2), B ( 3, 1), C (1, 4)三點,另有一點 D 與點 A、B、C 構(gòu)成平行四邊形 的頂點,求點 D 的坐標(biāo).考占:n 八、平行四邊形的性質(zhì);坐標(biāo)與圖形性質(zhì);矩形的性質(zhì).專題: 幾何綜合題.分析: (1)根據(jù)矩形的對角線互相平分及點E 的坐標(biāo)即可得出答案.(2)根據(jù)題意畫出圖形,然后可找到點D 的坐標(biāo).解答:解: ( 1) M (,),即 M (2, 1.5).(2)如圖所示:根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得:設(shè) D 點的坐標(biāo)為(x, y),以點 A、B、C、D 構(gòu)成

5、的四邊形是平行四邊形,1當(dāng) AB 為對角線時,/A (- 1 ,2), B (3 , 1), C (1 ,4), BC=, AD= , - 1+3- 1=1 , 2+1 - 4=- 1, D 點坐標(biāo)為(1,- 1),2當(dāng) BC 為對角線時,TA (- 1,2), B (3 , 1), C (1,4), AC=2 , BD=2 ,D 點坐標(biāo)為(5 , 3).3當(dāng) AC 為對角線時,/ A (- 1, 2), B (3 , 1) , C (1 , 4) , AB= , CD= , D 點坐標(biāo)為:(-3 , 5), 綜上所述,符合要求的點有:D (1, - 1), D(- 3 , 5), D( 5

6、, 3).占評: 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì),關(guān)鍵是掌握已知兩點求其中點坐標(biāo)的方法.3.(2007?)在厶 ABC 中,AB=AC,點 P ABC 所在平面一點,過點 P 分別作 PE / AC 交 AB 于點 E, PF/ AB 交 BC 于點 D,交 AC 于點 F.若點 P 在 BC 邊上(如圖 1),此時 PD=0,可得結(jié)論:PD+PE+PF=AB .請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題:當(dāng)點 P 分別在 ABC (如圖 2), ABC 外(如圖 3)時,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,PD, PE, PF 與 AB 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請寫出你的猜想,不需要

7、證A.A明.圖1圖?圖 m考點:平行四邊形的性質(zhì).專題:探究型.分析:在圖 2 中,因為四邊形 PEAF 為平行四邊形,所以 PE=AF,又三角形 FDC 為等腰三角形,所以FD=PF+PD=FC,即 PE+PD+PF=AC=AB ,在圖 3 中,PE=AF 可證,F(xiàn)D=PF - PD=CF,即 PF- PD+PE=AC=AB .解答:解:圖 2 結(jié)論:PD+PE+PF=AB .證明:過點 P 作 MN / BC 分別交 AB , AC 于 M , N 兩點,/ PE/ AC , PF/ AB ,四邊形 AEPF 是平行四邊形,/ MN / BC, PF / AB四邊形 BDPM 是平行四邊形

8、, AE=PF,/ EPM= / ANM= / C,/ AB=AC , / EMP= / B , / EMP= / EPM , PE=EM , PE+PF=AE+EM=AM .四邊形 BDPM 是平行四邊形, MB=PD . PD+PE+PF=MB+AM=AB ,即 PD+PE+PF=AB .圖 3 結(jié)論:PE+PF - PD=AB .點評:此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),難易程度適中,讀懂信息,把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵.4.(2006?)如圖,矩形 ABCD 的對角線交于點 O, AE 丄 BD , CF 丄 BD,垂足分別為 E, F,連接 AF , CE.(1) 求證:四邊形 AECF 是平

9、行四邊形;(2) 若/ BAD 的平分線與 FC 的延長線交于點 G,則 ACG 是等腰三角形嗎?并說明理由.平行四邊形的判定;全等三角形的判定;等腰三角形的判定;矩形的性質(zhì).證明題;幾何綜合題;探究型.(1 )根據(jù)矩形的性質(zhì)可知:AB=CD,/ ABE= / CDF,/ AEB= / CFD=90,得到ABE CDF ,所以 AE / CF, AE=CF,可證四邊形 AECF 為平行四邊形;(2)因為 AE / FG,得到/ G= / GAE .利用 AG 平分/ BAD,得到/ BAG= / DAG,從而求得 / ODA= / DAO .所以/CAG= / G,可得CAG 是等腰三角形.(

10、1)證明:矩形 ABCD , AB / CD, AB=CD . / ABE= / CDF,又/ AEB= / CFD=90 , AE / CF, ABECDF , AE=CF .四邊形 AECF 為平行四邊形.(2) 解:ACG 是等腰三角形.理由如下: AE / FG,/ G= / GAE ./ AG 平分/ BAD ,/ BAG= / DAG .又 OA=AC=BD=OD ,/ ODA= / DAO ./ BAE 與/ ABE 互余,/ ADB 與/ ABD 互余,/ BAE= / ADE ./ BAE= / DAO ,/ EAG= / CAG,/ CAG= / G, CAG 是等腰三角形

11、.點評:本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及等腰三角形的判定,判定兩個三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL .判定兩個三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再 根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.5.(2006?)如圖,在 Rt ABC 中,/ BAC=90 , E, F 分別是 BC, AC 的中點,延長 BA 到點 D,使 AD=AB .連 接DE, DF .(1) 求證:AF 與 DE 互相平分;(2) 若 BC=4,求 DF 的長.考點:平行四邊形的判定.專題:計算題;證明題.分析:(1)連接 EF、AE,證四邊形 AEFD 是平行

12、四邊形即可.(2)注意應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平行四邊形的性質(zhì):平行四邊形的對邊相 等,求得 AE長即可.解答:(1)證明:連接 EF , AE .點 E, F 分別為 BC, AC 的中點, EF / AB , EF=AB .又 AD=AB , EF=AD .又 EF / AD ,四邊形 AEFD 是平行四邊形. AF 與 DE 互相平分.(2)解:在 Rt ABC 中, E 為 BC 的中點,BC=4 , AE=BC=2 .又四邊形 AEFD 是平行四邊形, DF=AE=2 .點評:本題考查了平行四邊形的判定,有中點時需考慮運用三角形的中位線定理或者直角三角形斜邊上的 中

13、線等于斜邊的一半.6.如圖,以ABC 三邊為邊在 BC 同側(cè)作三個等邊ABD、 BCE、 ACF . 請回答下列問題:(1) 求證:四邊形 ADEF 是平行四邊形;(2) 當(dāng) ABC 滿足什么條件時,四邊形 ADEF 是矩形.考點:平行四邊形的判定;等邊三角形的性質(zhì);矩形的判定. 專題:證明題;探究型.分析:1、本題可根據(jù)三角形全等證得DE=AF , AD=EF,即可知四邊形 ADEF 是平行四邊形2、要使四邊形 ADEF 是矩形,必須讓/ FAD=90 ,則/ BAC=360 - 90 - 60 - 60 150證明:(1)v等邊 ABD、 BCE、 ACF , DB=AB , BE=BC

14、.又/ DBE=60 -/ EBA,/ ABC=60 -/ EBA , / DBE= / ABC . DBECBA . DE=AC .又 AC=AF , AF=DE .同理可證:ABCFCE,證得 EF=AD .四邊形 ADEF 是平行四邊形.(2)假設(shè)四邊形 ABCD 是矩形,四邊形 ADEF 是矩形,/ DAF=90 . 又等邊ABD、 BCE、 ACF,/ DAB=/ FAC=60 ./BAC=360-ZDAF-/FAC-/DAB=150.當(dāng)厶 ABC 滿足ZBAC=150 時,四邊形 ADEF 是矩形.點評:此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定.7.(2010?)如圖,AB

15、C 是等邊三角形,點 D 是邊 BC 上的一點,以 AD 為邊作等邊ADE,過點 C 作 CF / DE 交 AB于點 F.(1)若點 D 是 BC 邊的中點(如圖),求證:EF=CD ;(2)在(1)的條件下直接寫出AEF 和厶 ABC 的面積比;(3)若點 D 是 BC 邊上的任意一點(除 B、C 外如圖),那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證:證明題.(1)根據(jù)ABC 和厶AED 是等邊三角形, D 是 BC 的中點,ED / CF,求證 ABDCAF,進 而求證四邊形 EDCF 是平行四邊形即可;(2) 在(1)的條件下可直接寫出AEF 和厶 ABC 的面積比;(3) 根據(jù)

16、 ED / FC,結(jié)合ZACB=60,得出ZACF=ZBAD,求證ABDCAF,得出 ED=CF ,進而求證四邊形 EDCF 是平行四邊形,即可證明EF=DC .解cBC圖明;若不成立,請說明理由.:平行四邊形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì). AD 丄 BC,且/ BAD= / BAC=30 ,AED 是等邊三角形, AD=AE,/ADE=60,/EDB=90-ZADE=90-60=30,-ED/CF,ZFCB=ZEDB=30 ,vZACB=60 ,.ZACF=ZACB-ZFCB=30 , Z ACF=ZBAD=30,在 ABD 和厶 CAF 中,ABDCAF (ASA

17、 ), / AD=CF,: AD=ED , ED=CF,又vED / CF,四邊形 EDCF 是平行四邊形, EF=CD .3 D C(3)解:成立.理由如下:vED / FC,ZEDB=ZFCB,vZAFC=ZB+ZBCF=60 +ZBCF, ZBDA=ZADE+ZEDB=60 +ZEDBZAFC=ZBDA,在厶 ABD 和厶 CAF 中, ABDCAF (AAS ), AD=FC ,vAD=ED, ED=CF,又vED/CF,四邊形 EDCF 是平行四邊形, EF=DC.點評:此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理 解和掌握.此題涉及到的知識

18、點較多,綜合性較強,難度較大.& (2011?)如圖,在菱形 ABCD 中,ZA=60 ,點 P、Q 分別在邊 AB、BC 上,且 AP=BQ .解答:(2)解:AEF 和厶 ABC 的面積比為:1 : 4;(1) 求證:BDQADP ;(2) 已知 AD=3 , AP=2,求 cosZBPQ 的值(結(jié)果保留根號).(1)證明:四邊形 ABCD 是菱形, AD=AB , / ABD= / CBD= / ABC , AD / BC, /A=60 ,ABD 是等邊三角形,/ABC=120 , AD=BD , / CBD= / A=60 , AP=BQ ,BDQ 也厶 ADP ( SAS);

19、(2)解:過點 Q 作 QE 丄 AB,交 AB 的延長線于 E,-BQ=AP=2 ,-AD / BC,/QBE=60 , QE=QB?si n60 =2X=BE=QB?cos6=2X=1,AB=AD=3 , PB=AB - AP=3 - 2=1,PE=PB+BE=2 ,在 Rt PQE 中,PQ=,-cos/ BPQ=.此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中,解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想 的應(yīng)用.10. (2007?)如圖 1,已知四邊形 ABCD 是菱形,G 是線段 CD 上的任意一點時,連接 BG 交 AC 于 F,過 F 作 FH / CD 交 BC于 H,可以證明結(jié)論

20、成立.(考生不必證明)(1) 探究:如圖 2, 上述條件中,若 G 在 CD 的延長線上,其它條件不變時,其結(jié)論是否成立?若成立,請給出 證明;若不成立,請說明理由;(2) 計算:若菱形 ABCD 中 AB=6 , / ADC=60 , G 在直線 CD 上,且 CG=16,連接 BG 交 AC 所在的直線于 F, 過 F 作 FH/ CD 交 BC 所在的直線于 H,求 BG 與 FG 的長.(3)發(fā)現(xiàn):通過上述過程,你發(fā)現(xiàn) G 在直線 CD 上時,結(jié)論還成立嗎?E 1圖2考點:菱形的性質(zhì);勾股定理;平行線分線段成比例.專題:綜合題;壓軸題.分析:(1)借助中間比進行證明,根據(jù)平行線分線段成

21、比例定理分別證明兩個比都等于即可;(2)首先應(yīng)畫出兩個不同的圖形進行分析.構(gòu)造30的直角三角形,然后計算兩條直角邊的長,在兩種情況中,GQ=16+3=19 或 16- 3=13,然后根據(jù)勾股定理計算 BG 的長,進一步根據(jù)比例式求 得 FG 的長;考占:P 八、專題:分析:菱形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);解直角三角形.幾何綜合題.(1) 由四邊形 ABCD 是菱形,可證得 AD=AB , / ABD= / CBD= / ABC , AD / BC,又由/ A=60 , 易得 ABD 是等邊三角形,然后由 SAS 即可證得BDQ ADP ;(2)首先過點 Q作 QE 丄 AB,交 AB 的延

22、長線于 E,然后由三角函數(shù)的性質(zhì),即可求得PE 與 QE的長,又由勾股定理,即可求得PQ 的長,則可求得 cos/ BPQ 的值.解答:點評:(3)成立,根據(jù)(2 )中的過程,可以分別求得左右兩個比,從而證明結(jié)論. 解答:解:(1 )結(jié)論成立證明:由已知易得 FH / AB ,/ FH / GC,(2)vG 在直線 CD 上,分兩種情況討論如下:1G 在 CD 的延長線上時, DG=10 , 如圖 1,過 B 作 BQ 丄 CD 于 Q,由于四邊形 ABCD 是菱形,/ ADC=60 , BC=AB=6,/ BCQ=60 ,-BQ=3 , CQ=3 , BG=.又由 FH / GC,可得,而厶

23、 CFH 是等邊三角形, BH=BC - HC=BC - FH=6 - FH , , FH=,由(1)知, FG=.2G 在 DC 的延長線上時,CG=16 , 如圖 2,過 B 作 BQ 丄 CG 于 Q,四邊形 ABCD 是菱形,/ ADC=60 , BC=AB=6,/ BCQ=60 .-BQ=3 , CQ=3 . BG=14 .又由 FH / CG,可得,/BH=HC - BC=FH - BC=FH - 6, FH=./FH / CG , BF=14X -16=. FG=14+ .(3) G 在 DC 的延長線上時,成立.結(jié)合上述過程,發(fā)現(xiàn) G 在直線 CD 上時,結(jié)論還成立.點評:證明

24、比例式的時候,可以利用相似或利用平行線分線段成比例定理進行證明.11.(2001?)如圖,在菱形 ABCD 中,AB=10,/ BAD=60 度.點 M 從點 A 以每秒 1 個單位長的速度沿著 AD 邊 向點 D 移動;設(shè)點 M 移動的時間為 t 秒(0Wt 2個單位長的速度沿著射線 BC 方向(可以超越 C 點) 移動,過點 M作 MP / AB,交 BC 于點 P.當(dāng) MPNABC 時,設(shè) MPN 與菱形 ABCD 重疊部分的面積為 S, 求出用 t 表示 S 的關(guān)系式,井求當(dāng) S=0 時的值.考點:菱形的性質(zhì);二次函數(shù)的最值;全等三角形的性質(zhì).專題:壓軸題.分析:(1)菱形被分割成面積

25、相等的兩部分,那么分成的兩個梯形的面積相等,而兩個梯形的高相等,只需上下底的和相等即可.(2) 易得菱形的高,那么用 t 表示出梯形的面積,用 t 的最值即可求得梯形的最大面積.(3)易得 MNP 的面積為菱形面積的一半,求得不重合部分的面積,讓菱形面積的一半減去即可.解答:解:(1)設(shè):BN=a , CN=10 - a (0a 1)0因為,點 M 從點 A 以每秒 1 個單位長的速度沿著 AD 邊向點 D 移動,點 M 移動的時間為 t 秒(OWt 10所以,AM=Kt=t ( 0 t 10 MD=1O - t (O t 菱形高吃=(t+a)X菱形高吃;梯形 MNCD 的面積=(MD+NC

26、)X菱形高 吃=(10-t) + (10- a) X菱形高 吃當(dāng)梯形 AMNB 的面積=梯形 MNCD 的面積時,即 t+a=10, (0 t 10 (0 a 1)所以,當(dāng) t+a=10, (0 t 10 (0 a 10 時,可出現(xiàn)線段 MN 定可以將菱形分割成面積相等的兩 部分.(2)點 N 從點 B 以每秒 2 個單位長的速度沿著 BC 邊向點 C 移動,設(shè)點 N 移動的時間為 t,可知0t5因為 AB=10,ZBAD=60,所以菱形高=5,AM=1Xt=t,BN=2Xt=2t.所以梯形 ABNM 的面積=(AM+BN )X菱形高吃=3tX5X=t (0 t6=24 . (10 分)點評:

27、考查菱形的判定及相關(guān)性質(zhì);把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為較簡單的規(guī)則圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵.16.(2011?)如圖,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 邊上的點,AE=BC , DF 丄 AE,垂足為 F,連接 DE .(1) 求證:AB=DF ;(2) 若 AD=10 , AB=6,求 tan/ EDF 的值.考點:矩形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);銳角三角函數(shù)的定義.專題:幾何綜合題.分析:(1)根據(jù)矩形的對邊平行且相等得到 AD=BC=AE , / DAF= / EAB 再結(jié)合一對直角相等即可證明ABEDFA ;然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明AB=DF ;(2)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)

28、邊相等以及勾股定理,可以求得DF , EF 的長;再根據(jù)勾股定理求得DE 的長,運用三角函數(shù)定義求解.解答:(1)證明:在矩形 ABCD 中,BC=AD , AD / BC,/ B=90 , / DAF= / AEB ./ DF 丄 AE , AE=BC , / AFD=90 , AE=AD . ABEDFA ; AB=DF ;(2)解:由(1)知厶 ABEDFA . AB=DF=6 .在 Rt ADF 中,AF=, EF=AE - AF=AD - AF=2 . tan/ EDF=.點評:本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義.熟練運用矩形的性 質(zhì)和判定,能夠找到

29、證明全等三角形的有關(guān)條件;運用全等三角形的性質(zhì)求得三角形中的邊,再根 據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解.17.(2010?)已知:如圖,正方形 ABCD 與矩形 DEFG 的邊 AD、DE 在同一直線 l 上,點 G 在 CD 上.正方形 ABCD 的邊長為 a,矩形 DEFG 的長 DE 為 b,寬 DG 為 3 (其中 ab3).若矩形 DEFG 沿直線 l 向左以每秒 1 個 單位的長度的速度運動(點 D、E 始終在直線 l 上).若矩形 DEFG 在運動過程中與正方形 ABCD 的重疊部分的面 積記作 S,運動時間記為 t 秒(OWtW)其中 S與 t 的函數(shù)圖象如圖所示.矩形 DEFG 的頂

30、點經(jīng)運動后的對應(yīng)點 分別記作 D、E、F、G.(1) 根據(jù)題目所提供的信息,可求得 b= 4, a= 5, m= 9;(2)連接 AG、CF ,設(shè)以 AG 和 CF 為邊的兩個正方形的面積之和為y,求當(dāng) OWtW時, y 與時間 t 之間的函數(shù)關(guān) 系式,并求出 y 的最小值以及 y 取最小值時 t 的值;(3) 如圖,這是在矩形 DEFG 運動過程中,直線 AG 第一次與直線 CF垂直的情形,求此時 t 的值.并探究:在 矩形 DEFG繼續(xù)運動的過程中,直線 AG 與直線 CF 是否存在平行或再次垂直的情形?如果存在,請畫出圖形,并 求出 t 的值;否則,請說明理由.所以 AG 與 CF 不可

31、能平行. 設(shè) AG 與 FC勺延長線交于點 H ,當(dāng)/G AD= PCF 時,直線 AG 丄 CF ;考占:P 八、專題:分矩形的性質(zhì);二次函數(shù)的最值;正方形的性質(zhì).代數(shù)幾何綜合題.(1) 由圖的函數(shù)圖象知:從第 4 -5 秒,S 的值恒為 12,即此時矩形全部落在正方形的部,由此可求得兩個條件:矩形的面積為12,正方形的邊長為 1+DE,根據(jù)這兩個條件求解即可.(2) 當(dāng) OWtW時,矩形在直線 AB 的左側(cè),可用 t 表示出 AD、PF的長,易求得 DGCP 的長, 即可用勾股定理求得 AG2、CF2的值,即可得到 y、t 的函數(shù)關(guān)系式.(3) 此題要分五種情況討論:1當(dāng)OWV4 時,點

32、E在 D 點右側(cè);由于/ HG F、/ HF G 都是銳角,顯然直線 AG 與 CF 不可能平 行;當(dāng)兩條直線垂直時, G HF 是直角三角形,易證得 AD GsCPF,根據(jù)相似三角形得到的 比例線段即可求得 t 的值;2當(dāng) t=4 時,D、E重合,此時直線 DC 與 E 重合,顯然此時 AG 與 CF 既不平行也不垂直,因為 過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行或垂直;3當(dāng) 4VtV5 時,矩形在正方形的部,延長G F 交 BC 于 P,延長 AG 交 CD 于 Q,此時/ CF P 是銳角,所以/ CF G是鈍角,顯然 AG 與 CF 不可能垂直;當(dāng)兩直線平行時,可證得AD GsF

33、 PC 進而可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求得t 的值;4當(dāng) t=5 時,此種情況與相同;5當(dāng) 5VtV9 時,此時/ QG F 與/ CF G 都是鈍角,顯然 AG 與 CF不可能平行;當(dāng)兩直線垂直時, 可延長CF與 AG 相交于點 M,延長 G F 與 CD 相交于點 P,通過證AD GsCPF 來求得此時 t 的值.解答:解:(1)由圖知:從第 4 到第 5 秒時,S 的值恒為 12,此時矩形全部落在正方形的部, 那么矩形的面積為 12,即可求得 DE=4 ;這個過程持續(xù)了 1 秒,說明正方形的邊長為:DE+仁 5 ;由于矩形的速度恒定,所以5m 也應(yīng)該用 4 秒的時間,故 m=5+4=

34、9 ;即:b=4, a=5, m=9.(2)如圖,當(dāng) OWtw時,/ AD =5- t, D G=3 PF =4-1, CP=2,2 2 y=9+ ( 5 - t) +4+ (4 - t),2 y=2 (t-)2+,當(dāng) t=時,y 有最小值, y最小值=.(3)當(dāng) OWH4 時,分別延長 AG 和 FC如圖,由于/ 1 和/2 都是銳角,所以/ 1 +Z2V180CGC 少D/E)AD GsCPF,解得 tl=2, t2=7 (不合題意,舍去).2當(dāng) t=4 時,由于點 F在 CD 上,而點G不在直線 AD 上, 因為 AD 丄 CD,所以 AG 不可能也垂直于 CD(因為過直線外一點有且只有

35、一條直線與已知直線垂直).同樣,由于 AB / CD,而點 G 不在直線 AB 上, 所以 t=4 時,AG 也不可能平行于 CD ( CF )(因為過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行)34vtv5 時,延長 G F 交 PC 于 P,延長 AG 交 CD 于 Q, 由于/ CF P 是銳角,所以/ CF G 是鈍角,所以/ CF G+ZQGF 工 90;所以 AG 與 CF不可能垂直; 當(dāng)/ G AD = CF P 時,AG / CF , 易得AD GsFPC解得 t=4.4 .4當(dāng) t=5 時,AG 與 CF 既不可能垂直也不可能平行,理由同.5當(dāng) 5vtv9 時,因為/ QG

36、F 與/ CF G 都是鈍角,所以/ QG F ZCF GS180所以 AG 與 CF 不可能平行.延長 CF 與 AG 相交于點 M,延長 G F 與 CD 相交于點 P;當(dāng)ZMG F ZMF G =9(時,AG 丄 CF ;又/ AG DZAG F=90ZMF GZCFP,ZAG DZCFP又ZAD GZFPCAD GsCPF 即;解得:ti=2 (不合題意,舍去) t2=7;所以,綜上所述,當(dāng) t=2 或 t=7 時,直線 AG 與直線 CF 垂直,當(dāng) t=4.4 時,直線 AG 與直線 CF平 行.點評:此題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì)以及分段函數(shù)的應(yīng)

37、用等 知識,同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想,難度較大.18.(2005?) 已知: 平行四邊形 ABCD 的對角線交點為 O,點 E、 F 分別在邊 AB、 CD 上, 分別沿 DE、 BF 折疊四 邊形 ABCD A、C 兩點恰好都落在 O 點處,且四邊形 DEBF 為菱形(如圖).(1)求證:四邊形 ABCD 是矩形;(2)在四邊形 ABCD 中,求的值.考點:矩形的判定.專題:計算題;證明題.分析:(1)根據(jù)矩形的判定定理,先證DE=BE,再證/ DOE=90,則可證.(2)根據(jù)已知條件和(1)的結(jié)論,先求得 AD : AB,易求解的值.解答:(1) 證明:連接 0E,四邊形 ABCD

38、是平行四邊形, DO=OB ,四邊形 DEBF 是菱形, DE=BE , E0 丄 BD, / DOE=90 , 即/ DAE=90 ,又四邊形 ABCD 是平行四邊形,四邊形 ABCD 是矩形.(2) 解:四邊形 DEBF 是菱形, / FDB= / EDB ,又由題意知/ EDB= / EDA , 由(1 )知四邊形 ABCD 是矩形, / ADF=90,即/ FDB+ / EDB+ / ADE=90 , 則/ ADB=60 ,在 Rt ADB 中,有 AD : AB=1 :, 又 BC=AD ,則.說明:其他解法酌情給分點評: 本題考查矩形的判定定理及相關(guān)性質(zhì),直角三角形的性質(zhì)等,難度偏

39、難.19 .如圖,已知矩形 ABCD , AD=4 , CD=10 , P 是 AB 上一動點,M、N、E 分別是 PD、PC、CD 的中點.(1) 求證:四邊形 PMEN 是平行四邊形;(2) 請直接寫出當(dāng) AP 為何值時,四邊形 PMEN 是菱形;(3)四邊形 PMEN 有可能是矩形嗎?若有可能,求出AP 的長;若不可能,請說明理由.考點:矩形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定;菱形的判定. 分析:(1)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理可證明.(2) 當(dāng) DP=CP 時,四邊形 PMEN 是菱形,P 是 AB 的中點,所以可求出 AP 的值.(3) 四邊形 PMEN 是矩形的話,

40、/ DPC 必需為 90判斷一下 DPC 是不是直角三角形就行. 解答:解:(1 ) M、N、E 分別是 PD、PC、CD 的中點, ME / PC, EN / PD,四邊形 PMEN 是平行四邊形;(2 )當(dāng) AP=5 時,PA=PB=5 , AD=BC,/ A= / B=90 , PADPBC, PD=PC,/ M、N、E 分別是 PD、PC、CD 的中點, NE=PMPD , ME=PN=PC , PM=ME=EN=PN ,四邊形 PMEN 是菱形;(3)假設(shè)DPC 為直角三角形.設(shè) PA=x, PB=10 - x,DP=, CP=.2 2 2DP +CP =DC2 2 216+X2+1

41、6+(10 - x)2=102x2- 10 x+16=0 x=2 或 x=8.故當(dāng) AP=2 或 AP=8 時,能夠構(gòu)成直角三角形.點評:本題考查平行四邊形的判定,菱形的判定定理,以及矩形的判定定理和性質(zhì),知道矩形的四個角都 是直角,對邊相等等性質(zhì).20.如圖:矩形 ABCD 中,AB=2 , BC=5 , E、P 分別在 AD、BC 上,且 DE=BP=1 .(1) 判斷 BEC 的形狀,并說明理由?(2) 判斷四邊形 EFPH 是什么特殊四邊形?并證明你的判斷;(3) 求四邊形 EFPH 的面積.考點:-矩形的判定與性質(zhì);三角形的面積;勾股定理;勾股定理的逆定理;平行四邊形的判定與性質(zhì).專

42、題:分析:計算題;證明題.(1)根據(jù)矩形性質(zhì)得出 CD=2,根據(jù)勾股定理求出 CE 和 BE,求出 CE2+BE2的值,求出 BC2,根據(jù) 勾股定理的逆定理求出即可;(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定,推出平行四邊形 DEBP和 AECP ,推出 EH / FP, EF / HP, 推出平行四邊形 EFPH,根據(jù)矩形的判定推出即可;(2)根據(jù)三角形的面積公式求出CF,求出 EF,根據(jù)勾股定理求出 PF,根據(jù)面積公式求出即可.解答:(1) BEC 是直角三角形,理由是:矩形 ABCD ,/ ADC= / ABP=90 , AD=BC=5 , AB=CD=2 , 由勾股定理得:CE=,同理 B

43、E=2 ,2 2- CE +BE =5+20=25 , BC2=52=25,2 2 2 BE +CE =BC , / BEC=90 , BEC 是直角三角形.(2) 解:四邊形 EFPH 為矩形, 證明:矩形 ABCD , AD=BC , AD / BC ,/DE=BP ,四邊形 DEBP 是平行四邊形, BE / DP ,/AD=BC , AD / BC , DE=BP , AE=CP,四邊形 AECP 是平行四邊形, AP / CE ,四邊形 EFPH 是平行四邊形,/ BEC=90 ,平行四邊形 EFPH 是矩形.(3)解:在 RT PCD 中/ FC 丄 PD ,由三角形的面積公式得:

44、PD?CF=PC?CD, CF=, EF=CE - CF=-=,/ PF=,- S矩形EFPH=EF?PF=,答:四邊形 EFPH 的面積是.點評:本題綜合考查了勾股定理及逆定理,矩形、平行四邊形的性質(zhì)和判定,三角形的面積等知識點的運用,主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,此題綜合性比較強,題型較好,難度也適中.21 . (2012?)在厶 ABC 中,/ BAC=90 , AB=AC,若點 D 在線段 BC 上,以 AD 為邊長作正方形 ADEF,如圖 1, 易證:/ AFC=/ ACB+ / DAC ;(1) 若點 D 在 BC 延長線上,其他條件不變,寫出/ AFC、/ ACB、/ D

45、AC 的關(guān)系,并結(jié)合圖 2 給出證明;(2)若點 D 在 CB 延長線上,其他條件不變,直接寫出/AFC、/ ACB、/ DAC 的關(guān)系式.考點:正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).專題:幾何綜合題.分析: (1)/ AFC、/ ACB、/ DAC 的關(guān)系為:/ AFC= / ACB -/ DAC,理由為:由四邊形 ADEF 為正方 形,得到 AD=AF,且/ FAD 為直角,得到/ BAC= / FAD,等式左右兩邊都加上/ CAD 得到/ BAD= / CAF,再由 AB=AC , AD=AF,利用 SAS 可得出三角形 ABD 與三角形 ACF 全等,根據(jù)全等 三角形

46、的對應(yīng)角相等可得出/ AFC= / ADB,又/ ACB 為三角形 ACD 的外角,利用外角的性質(zhì)得到 / ACB= / ADB+ / DAC ,變形后等量代換即可得證;(2) / AFC、/ ACB、/ DAC 的關(guān)系式是/ AFC+ / ACB+ / DAC=180,可以根據(jù)/ DAF= / BAC=90 , 等號兩邊都減去/ BAF,可得出/ DAB= / FAC,再由 AD=AF , AB=AC,利用 SAS 證明三角形 ABD 與三角形 AFC 全等,由全等三角形的對應(yīng)角相等可得出/AFC= / ADB,根據(jù)三角形 ADC 的角和為180 ,等量代換可得證.解答: 解:(1)關(guān)系:/

47、 AFC= / ACB -/ DAC ,(2 分)證明:四邊形 ADEF 為正方形, AD=AF , / FAD=90 ,/ BAC=90 , / FAD=90 ,BAC+ / CAD= / FAD+ / CAD,即/ BAD= / CAF ,(3 分)在厶 ABD 和厶 ACF 中,b ABDACF (SAS ),(4 分)AFC= / ADB ,/ ACB 是厶 ACD 的一個外角,ACB= / ADB+ / DAC ,(5 分):丄ADB=/ACB-ZDAC,/ADB=ZAFC,ZAFC=ZACB-ZDAC ;(6 分)(2)ZAFC、ZACB、ZDAC 滿足的關(guān)系式為:ZAFC+ZDA

48、C+ZACB=180 ,(8 分)證明:四邊形 ADEF 為正方形,ZDAF=90,AD=AF,又ZBAC=90,ZDAF=ZBAC,ZDAF-ZBAF=ZBAC-ZBAF,即ZDAB=ZFAC, 在厶 ABD 和厶 ACF 中, ABDACF (SAS ),ZADB=ZAFC,在厶 ADC 中,ZADB+ZACB+ZDAC=180 , 則ZAFC+ZACB+ZDAC=180 .點評:此題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的角和定理,以及三角形的外角性質(zhì),熟練掌握判定及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.22.(2012?)已知四邊形 ABCD 是正方形,O 為正方形對角線的交點,一動點 P

49、從 B 開始,沿射線 BC 運動,連接 DP,作 CN丄 DP 于點 M,且交直線 AB 于點 N,連接 OP, ON .(當(dāng) P 在線段 BC 上時,如圖 1:當(dāng) P 在 BC 的延 長線上時,如圖 2)(1) 請從圖 1,圖 2 中任選一圖證明下面結(jié)論: BN=CP :OP=ON,且 OP 丄 ON;(2) 設(shè) AB=4 , BP=x,試確定以 O、P、B、N 為頂點的四邊形的面積 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系.考點: 正方形的性質(zhì);分段函數(shù);三角形的面積;全等三角形的判定與性質(zhì).專題: 代數(shù)幾何綜合題.分析:(1 )根據(jù)正方形的性質(zhì)得出 DC=BC ,ZDCB=ZCBN=90,求出ZCPD=Z

50、DCN=ZCNB,證 DCPCBN,求出 CP=BN,證 OBNOCP,推出 ON=OP ,ZBON=ZCOP,求出ZPON=ZCOB 即可;(2)同法可證圖 2 時,OP=ON , OP 丄 ON,圖 1 中,S四邊形OPBN=SOBN+SABOP,代入求出即可;圖2 中,S四邊形OBNP=SPOB+SAPBN,代入求出即可.解答:(1)證明:如圖 1,正方形 ABCD ,OC=OB,DC=BC, ZDCB=ZCBA=90, ZOCB=ZOBA=45, ZDOC=90,DC/AB,/DP 丄 CN , ZCMD=ZDOC=90, ZBCN+ZCPD=90, ZPCN+ZDCN=90, ZCP

51、D=ZCNB,/DC/AB,/ DCN= / CNB= / CPD ,在 DCP 和厶 CBN 中 DCPCBN , CP=BN,在 OBN 和厶 OCP 中 OBNOCP, ON=OP,/ BON= / COP,/ BON+ / BOP= / COP+ / BOP ,即/ NOP= / BOC=90 , ON 丄 OP,即 ON=OP , ON 丄 OP.(2)解:TAB=4,四邊形 ABCD 是正方形, O 到 BC 邊的距離是 2,圖 1 中,S四邊形OPBN=SAOBN+SABOP,=X (4-x)疋+ $2,=4(0VxV4),圖 2 中,S四邊形OBNP=SAPOB+SAPBN=/

52、2+X (x-4)2=x - X (x 4),即以 O、P、B、N 為頂點的四邊形的面積 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系是:.點評:本題考查了正方形性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,分段函數(shù)等知識點的應(yīng)用,解(1)小題的關(guān)鍵是能運用性質(zhì)進行推理,解(2)的關(guān)鍵是求出符合條件的所有情況,本題具有一定的代表性,是一 道比較好的題目,注意:證明過程類似.23.(2011?來賓)已知正方形 ABCD 的對角線 AC 與 BD 交于點 O,點 E、F 分別是 OB、OC 上的動點,(1) 如果動點 E、F 滿足 BE=CF (如圖 1):1寫出所有以點 E 或 F 為頂點的全等三角形(不得添加輔助線);2證明:AE

53、 丄 BF ;(2) 如果動點 E、F 滿足 BE=OF (如圖 2),問當(dāng) AE 丄 BF 時,點 E 在什么位置,并證明你的結(jié)論.考點:正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).專題:幾何綜合題.分析:(1)根據(jù)正方形性質(zhì)及BE=CF即可得出全等的三角形,根據(jù)全等三角形及正方形的性質(zhì)即可 得出結(jié)論,(2)根據(jù)正方形性質(zhì)及已知條件得出BEM AEO , BEMBOF,再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可得出答案.解答: 解:(門厶 ABEBCF , AOEBOF , ADEBAF ;證明:根據(jù)正方形的性質(zhì),在厶 BAE 和厶 CBF 中,,BAECBF (SAS),/BAE= /CBF,根據(jù)外角性質(zhì),/

54、AFB= / BCF+ / CBF=45 + / CBF ,又/FAM=45-ZBAE,/AMF=180-(ZFAM+ZAFM)=180-(45ZCBF+45-ZBAE)=90, AE 丄 BF;(2)當(dāng) AE 丄 BF 時,點 E 在 BO 中點.證明如下:延長 AE 交 BF 于點 M,如圖所示:vZBME=ZAOE,ZBEM=ZAEO,BEM AEO,-=,即 AO=,vZMBE=ZOBF, ZBME=ZBOF,BEM BFO,-=,即 BO=,vAO=BO,BE=OF, BE=EO,故當(dāng) AE 丄 BF 時,點 E 在 BO 中點.點評:本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì),相

55、似三角形的判定及性質(zhì),比較綜合,難度較|_大._|24. (2011?)如圖,四邊形 ABCD 是正方形,點 E , K 分別在 BC , AB 上,點 G 在 BA 的延長線上,且 CE=BK=AG(1) 求證: DE=DG ;DE 丄 DG(2)尺規(guī)作圖:以線段 DE , DG 為邊作出正方形 DEFG (要求:只保留作圖痕跡,不寫作法和證明);(3) 連接(2)中的 KF,猜想并寫出四邊形 CEFK 是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想:(4) 當(dāng)時,請直接寫出的值.考點:正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的判定;作圖一復(fù)雜作圖.分析:(1)由已知證明 DE、DG 所在的三角

56、形全等,再通過等量代換證明DE 丄 DG ;(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點 G、E 為圓心以 DG 為半徑畫弧交點 F,得到正方形 DEFG ;(3)由已知首先證四邊形 CKGD 是平行四邊形,然后證明四邊形CEFK 為平行四邊形;(4) 由已知表示出的值.解答:(1)證明:v四邊形 ABCD 是正方形, DC=DA, ZDCE=ZDAG=90.又vCE=AG ,DCEDAG , DE=DG ,ZEDC=ZGDA,又vZADE+ZEDC=90,ZADE+ZGDA=90 DE 丄 DG.(2)解:如圖.(3)解:四邊形 CEFK 為平行四邊形.證明:設(shè) CK、DE 相交于 M 點四邊形 ABCD

57、 和四邊形 DEFG 都是正萬形, AB / CD , AB=CD , EF=DG , EF / DG ,/ BK=AG , KG=AB=CD ,四邊形 CKGD 是平行四邊形, CK=DG=EF , CK / DG , / KME= / GDE= / DEF=90 , / KME+ / DEF=180 , CK / EF,四邊形 CEFK 為平行四邊形.(4 )解: T,設(shè) CE=x , CB=nx , CD=nx ,2 2 2222,2、2-DE =CE +CD =n x +x = (n +1) x ,BC22 2BC = n x ,此題考查的知識點是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

58、平行四邊形的判定及作圖,解題的 關(guān)鍵是先由正方形的性質(zhì)通過證三角形全等得出結(jié)論,此題較復(fù)雜.25.(2011?)如圖,點 P 是正方形 ABCD 對角線 AC 上一動點,點 E 在射線 BC 上,且 PB=PE,連接 PD, O 為 AC 中占I 八、(1) 如圖 1,當(dāng)點 P 在線段 AO 上時,試猜想 PE 與 PD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,不用說明理由;(2) 如圖 2,當(dāng)點 P 在線段 0C 上時,(1)中的猜想還成立嗎?請說明理由;(3)如圖 3,當(dāng)點 P 在 AC 的延長線上時,請你在圖 3 中畫出相應(yīng)的圖形(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法),并判斷(1)中的猜想是否成立?若成立,

59、請直接寫出結(jié)論;若不成立,請說明理由.考點: 正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).分析:(1)根據(jù)點 P 在線段 A0 上時,利用三角形的全等判定可以得出PE 丄 PD, PE=PD ;(2)利用三角形全等得出, BP=PD,由 PB=PE,得出 PE=PD,要證 PE 丄 PD;從三方面分析,當(dāng)點 E 在線段 BC 上(E 與 B、C 不重合)時,當(dāng)點 E 與點 C 重合時,點 P 恰好在 AC 中點處,當(dāng)點 E 在 BC 的延長線上時,分別分析即可得出;(3)利用 PE=PB 得出 P點在 BE 的垂直平分線上,利用垂直平分線的性質(zhì)只要以P 為圓心, PB 為半 徑畫弧

60、即可得出 E 點位置,利用(2)中證明思路即可得出答案.解答:解: (1)當(dāng)點 P 在線段 A0 上時,在厶 ABP 和厶 ADP 中, ABPADP , BP=DP,/ PB=PE, PE=PD,過點 P 做 PM 丄 CD,于點 M,作 PN 丄 BC,于點 N,/ PB=PE, PN 丄 BE, BN=NE ,/ BN=DM , DM=NE ,在 Rt PNE 與 Rt PMD 中,/ PD=PE, NE=DM , Rt PNE 也 Rt PMD ,/ DPM= / EPN ,/ MPN=90 , / DPE=90 ,故 PE 丄 PD,PE 與 PD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為:PE=PD,

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