2015年中考特殊平行四邊形證明與計(jì)算經(jīng)典習(xí)題與答案

1、2015 年初中數(shù)學(xué)中考特殊四邊形證明及計(jì)算組卷參考答案與試題解析學(xué)號(hào)30 小題)(1 )如圖，？ABCD 的對(duì)角線 AC, BD 交于點(diǎn) O,直線 EF 過(guò)點(diǎn) O,分別交 AD，BC 于點(diǎn) E, F.? ABCD (紙片)沿過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O 的直線 EF 折疊，點(diǎn) A 落在點(diǎn) A1處，點(diǎn) B 落在點(diǎn) B1處，設(shè)FB1交 CD 于點(diǎn) G, A1B1分別交 CD, DE 于點(diǎn) H , I.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換(折疊問(wèn)題)分析：(1 )由四邊形 ABCD 是平行四邊形，可得 AD / BC, OA=OC，又由平行線的性質(zhì)，可得/1 = / 2,繼而利用 ASA，即

2、可證得 AOECOF,則可證得 AE=CF .(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì)，易得A1E=CF，/ A1= / A= / C,ZB1=ZB= / D，繼而可證得厶 A1IECGF，即可證得 EI=FG .解答：證明：(1 )四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD / BC, OA=OC ,/1 =/2,在厶 AOE 和厶 COF 中，,AOECOF (ASA ), AE=CF ;(2)四邊形 ABCD 是平行四邊形，/ A= / C,ZB= / D，由(1 )得 AE=CF , 由折疊的性質(zhì)可得： AE=A1E,ZA 仁/A，/ B 仁/ B,- A1E=CF，/ A 仁/ A= / C

3、 ,ZB 仁 / B= / D，又 1 = / 2 ,3= / 4 ,5= / 3，/ 4= / 6 , /5=Z6,在厶 A1IE 與厶 CGF 中，點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意掌握 折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.(2011?)閱讀一解答題(共1. (2012?威海)求證：AE=CF .(2)如圖，將在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P ( X1, y1)、Q ( x2, y2)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.運(yùn)用(1)如圖，矩形 ONEF 的對(duì)角線相交于點(diǎn) M , ON、OF 分別在 x 軸和 y 軸上，0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，

4、點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(4, 3),則點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2，1.5).(2) 在直角坐標(biāo)系中，有 A (- 1 , 2), B ( 3, 1), C (1, 4)三點(diǎn)，另有一點(diǎn) D 與點(diǎn) A、B、C 構(gòu)成平行四邊形 的頂點(diǎn)，求點(diǎn) D 的坐標(biāo).考占：n 八、平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；矩形的性質(zhì).專題： 幾何綜合題.分析： (1)根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分及點(diǎn)E 的坐標(biāo)即可得出答案.(2)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后可找到點(diǎn)D 的坐標(biāo).解答：解: ( 1) M (,),即 M (2, 1.5).(2)如圖所示：根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得：設(shè) D 點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y),以點(diǎn) A、B、C、D 構(gòu)成

5、的四邊形是平行四邊形，1當(dāng) AB 為對(duì)角線時(shí)，/A (- 1 ,2), B (3 , 1), C (1 ,4), BC=, AD= , - 1+3- 1=1 , 2+1 - 4=- 1, D 點(diǎn)坐標(biāo)為(1,- 1),2當(dāng) BC 為對(duì)角線時(shí)，TA (- 1,2), B (3 , 1), C (1,4), AC=2 , BD=2 ,D 點(diǎn)坐標(biāo)為(5 , 3).3當(dāng) AC 為對(duì)角線時(shí)，/ A (- 1, 2), B (3 , 1) , C (1 , 4) , AB= , CD= , D 點(diǎn)坐標(biāo)為：(-3 , 5), 綜上所述,符合要求的點(diǎn)有：D (1, - 1), D(- 3 , 5), D( 5

6、, 3).占評(píng)： 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握已知兩點(diǎn)求其中點(diǎn)坐標(biāo)的方法.3.(2007?)在厶 ABC 中，AB=AC，點(diǎn) P ABC 所在平面一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 分別作 PE / AC 交 AB 于點(diǎn) E, PF/ AB 交 BC 于點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn) F.若點(diǎn) P 在 BC 邊上(如圖 1),此時(shí) PD=0,可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB .請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn) P 分別在 ABC (如圖 2), ABC 外(如圖 3)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，PD, PE, PF 與 AB 之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需要

7、證A.A明.圖1圖？圖 m考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì).專題：探究型.分析：在圖 2 中，因?yàn)樗倪呅?PEAF 為平行四邊形，所以 PE=AF，又三角形 FDC 為等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即 PE+PD+PF=AC=AB ，在圖 3 中，PE=AF 可證，F(xiàn)D=PF - PD=CF，即 PF- PD+PE=AC=AB .解答：解：圖 2 結(jié)論：PD+PE+PF=AB .證明：過(guò)點(diǎn) P 作 MN / BC 分別交 AB , AC 于 M , N 兩點(diǎn),/ PE/ AC , PF/ AB ,四邊形 AEPF 是平行四邊形，/ MN / BC, PF / AB四邊形 BDPM 是平行四邊形

8、， AE=PF，/ EPM= / ANM= / C,/ AB=AC , / EMP= / B , / EMP= / EPM , PE=EM , PE+PF=AE+EM=AM .四邊形 BDPM 是平行四邊形， MB=PD . PD+PE+PF=MB+AM=AB ,即 PD+PE+PF=AB .圖 3 結(jié)論：PE+PF - PD=AB .點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，難易程度適中，讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵.4.(2006?)如圖，矩形 ABCD 的對(duì)角線交于點(diǎn) O, AE 丄 BD , CF 丄 BD，垂足分別為 E, F,連接 AF , CE.(1) 求證：四邊形 AECF 是平

9、行四邊形；(2) 若/ BAD 的平分線與 FC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G,則 ACG 是等腰三角形嗎？并說(shuō)明理由.平行四邊形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì).證明題；幾何綜合題；探究型.(1 )根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：AB=CD，/ ABE= / CDF，/ AEB= / CFD=90，得到ABE CDF ,所以 AE / CF, AE=CF，可證四邊形 AECF 為平行四邊形；(2)因?yàn)?AE / FG,得到/ G= / GAE .利用 AG 平分/ BAD，得到/ BAG= / DAG，從而求得 / ODA= / DAO .所以/CAG= / G,可得CAG 是等腰三角形.(

10、1)證明：矩形 ABCD , AB / CD, AB=CD . / ABE= / CDF，又/ AEB= / CFD=90 , AE / CF, ABECDF , AE=CF .四邊形 AECF 為平行四邊形.(2) 解：ACG 是等腰三角形.理由如下： AE / FG,/ G= / GAE ./ AG 平分/ BAD ,/ BAG= / DAG .又 OA=AC=BD=OD ,/ ODA= / DAO ./ BAE 與/ ABE 互余，/ ADB 與/ ABD 互余，/ BAE= / ADE ./ BAE= / DAO ,/ EAG= / CAG，/ CAG= / G, CAG 是等腰三角形

11、.點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及等腰三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL .判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再 根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.5.(2006?)如圖，在 Rt ABC 中，/ BAC=90 , E, F 分別是 BC, AC 的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BA 到點(diǎn) D，使 AD=AB .連 接DE, DF .(1) 求證：AF 與 DE 互相平分；(2) 若 BC=4，求 DF 的長(zhǎng).考點(diǎn)：平行四邊形的判定.專題：計(jì)算題；證明題.分析：(1)連接 EF、AE，證四邊形 AEFD 是平行

12、四邊形即可.(2)注意應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相 等，求得 AE長(zhǎng)即可.解答：(1)證明：連接 EF , AE .點(diǎn) E, F 分別為 BC, AC 的中點(diǎn)， EF / AB , EF=AB .又 AD=AB , EF=AD .又 EF / AD ,四邊形 AEFD 是平行四邊形. AF 與 DE 互相平分.(2)解：在 Rt ABC 中， E 為 BC 的中點(diǎn)，BC=4 , AE=BC=2 .又四邊形 AEFD 是平行四邊形， DF=AE=2 .點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，有中點(diǎn)時(shí)需考慮運(yùn)用三角形的中位線定理或者直角三角形斜邊上的 中

13、線等于斜邊的一半.6.如圖，以ABC 三邊為邊在 BC 同側(cè)作三個(gè)等邊ABD、 BCE、 ACF . 請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1) 求證：四邊形 ADEF 是平行四邊形；(2) 當(dāng) ABC 滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADEF 是矩形.考點(diǎn)：平行四邊形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的判定. 專題：證明題；探究型.分析：1、本題可根據(jù)三角形全等證得DE=AF , AD=EF，即可知四邊形 ADEF 是平行四邊形2、要使四邊形 ADEF 是矩形，必須讓/ FAD=90 ,則/ BAC=360 - 90 - 60 - 60 150證明：(1)v等邊 ABD、 BCE、 ACF , DB=AB , BE=BC

14、.又/ DBE=60 -/ EBA，/ ABC=60 -/ EBA , / DBE= / ABC . DBECBA . DE=AC .又 AC=AF , AF=DE .同理可證：ABCFCE，證得 EF=AD .四邊形 ADEF 是平行四邊形.(2)假設(shè)四邊形 ABCD 是矩形，四邊形 ADEF 是矩形，/ DAF=90 . 又等邊ABD、 BCE、 ACF，/ DAB=/ FAC=60 ./BAC=360-ZDAF-/FAC-/DAB=150.當(dāng)厶 ABC 滿足ZBAC=150 時(shí)，四邊形 ADEF 是矩形.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定.7.(2010?)如圖，AB

15、C 是等邊三角形，點(diǎn) D 是邊 BC 上的一點(diǎn)，以 AD 為邊作等邊ADE，過(guò)點(diǎn) C 作 CF / DE 交 AB于點(diǎn) F.(1)若點(diǎn) D 是 BC 邊的中點(diǎn)(如圖)，求證：EF=CD ；(2)在(1)的條件下直接寫(xiě)出AEF 和厶 ABC 的面積比；(3)若點(diǎn) D 是 BC 邊上的任意一點(diǎn)(除 B、C 外如圖)，那么(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證:證明題.(1)根據(jù)ABC 和厶AED 是等邊三角形， D 是 BC 的中點(diǎn)，ED / CF，求證 ABDCAF，進(jìn) 而求證四邊形 EDCF 是平行四邊形即可；(2) 在(1)的條件下可直接寫(xiě)出AEF 和厶 ABC 的面積比；(3) 根據(jù)

16、 ED / FC,結(jié)合ZACB=60，得出ZACF=ZBAD，求證ABDCAF，得出 ED=CF ,進(jìn)而求證四邊形 EDCF 是平行四邊形，即可證明EF=DC .解cBC圖明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.:平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì). AD 丄 BC,且/ BAD= / BAC=30 ,AED 是等邊三角形， AD=AE，/ADE=60,/EDB=90-ZADE=90-60=30,-ED/CF,ZFCB=ZEDB=30 ,vZACB=60 ,.ZACF=ZACB-ZFCB=30 , Z ACF=ZBAD=30，在 ABD 和厶 CAF 中，ABDCAF (ASA

17、 ), / AD=CF，: AD=ED , ED=CF，又vED / CF，四邊形 EDCF 是平行四邊形， EF=CD .3 D C(3)解：成立.理由如下：vED / FC,ZEDB=ZFCB,vZAFC=ZB+ZBCF=60 +ZBCF, ZBDA=ZADE+ZEDB=60 +ZEDBZAFC=ZBDA,在厶 ABD 和厶 CAF 中， ABDCAF (AAS ), AD=FC ,vAD=ED, ED=CF,又vED/CF,四邊形 EDCF 是平行四邊形， EF=DC.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理 解和掌握.此題涉及到的知識(shí)

18、點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大.& (2011?)如圖，在菱形 ABCD 中，ZA=60 ,點(diǎn) P、Q 分別在邊 AB、BC 上，且 AP=BQ .解答:(2)解：AEF 和厶 ABC 的面積比為：1 : 4;(1) 求證：BDQADP ;(2) 已知 AD=3 , AP=2，求 cosZBPQ 的值(結(jié)果保留根號(hào)).(1)證明：四邊形 ABCD 是菱形， AD=AB , / ABD= / CBD= / ABC , AD / BC, /A=60 ,ABD 是等邊三角形，/ABC=120 , AD=BD , / CBD= / A=60 , AP=BQ ,BDQ 也厶 ADP ( SAS);

19、(2)解：過(guò)點(diǎn) Q 作 QE 丄 AB，交 AB 的延長(zhǎng)線于 E,-BQ=AP=2 ,-AD / BC,/QBE=60 , QE=QB?si n60 =2X=BE=QB?cos6=2X=1,AB=AD=3 , PB=AB - AP=3 - 2=1,PE=PB+BE=2 ,在 Rt PQE 中，PQ=,-cos/ BPQ=.此題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想 的應(yīng)用.10. (2007?)如圖 1,已知四邊形 ABCD 是菱形，G 是線段 CD 上的任意一點(diǎn)時(shí)，連接 BG 交 AC 于 F，過(guò) F 作 FH / CD 交 BC于 H，可以證明結(jié)論

20、成立.(考生不必證明)(1) 探究：如圖 2, 上述條件中，若 G 在 CD 的延長(zhǎng)線上，其它條件不變時(shí)，其結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出 證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2) 計(jì)算：若菱形 ABCD 中 AB=6 , / ADC=60 , G 在直線 CD 上，且 CG=16，連接 BG 交 AC 所在的直線于 F, 過(guò) F 作 FH/ CD 交 BC 所在的直線于 H，求 BG 與 FG 的長(zhǎng).(3)發(fā)現(xiàn)：通過(guò)上述過(guò)程，你發(fā)現(xiàn) G 在直線 CD 上時(shí)，結(jié)論還成立嗎？E 1圖2考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理；平行線分線段成比例.專題：綜合題；壓軸題.分析：(1)借助中間比進(jìn)行證明，根據(jù)平行線分線段成

21、比例定理分別證明兩個(gè)比都等于即可；(2)首先應(yīng)畫(huà)出兩個(gè)不同的圖形進(jìn)行分析.構(gòu)造30的直角三角形，然后計(jì)算兩條直角邊的長(zhǎng)，在兩種情況中，GQ=16+3=19 或 16- 3=13，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算 BG 的長(zhǎng)，進(jìn)一步根據(jù)比例式求 得 FG 的長(zhǎng)；考占：P 八、專題：分析:菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.幾何綜合題.(1) 由四邊形 ABCD 是菱形，可證得 AD=AB , / ABD= / CBD= / ABC , AD / BC,又由/ A=60 , 易得 ABD 是等邊三角形，然后由 SAS 即可證得BDQ ADP ;(2)首先過(guò)點(diǎn) Q作 QE 丄 AB，交 AB 的延

22、長(zhǎng)線于 E,然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PE 與 QE的長(zhǎng)，又由勾股定理，即可求得PQ 的長(zhǎng)，則可求得 cos/ BPQ 的值.解答:點(diǎn)評(píng):(3)成立，根據(jù)(2 )中的過(guò)程，可以分別求得左右兩個(gè)比，從而證明結(jié)論. 解答：解：(1 )結(jié)論成立證明：由已知易得 FH / AB ,/ FH / GC,(2)vG 在直線 CD 上，分兩種情況討論如下：1G 在 CD 的延長(zhǎng)線上時(shí)， DG=10 , 如圖 1，過(guò) B 作 BQ 丄 CD 于 Q,由于四邊形 ABCD 是菱形，/ ADC=60 , BC=AB=6，/ BCQ=60 ,-BQ=3 , CQ=3 , BG=.又由 FH / GC,可得，而厶

23、 CFH 是等邊三角形， BH=BC - HC=BC - FH=6 - FH , , FH=,由(1)知, FG=.2G 在 DC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，CG=16 , 如圖 2，過(guò) B 作 BQ 丄 CG 于 Q,四邊形 ABCD 是菱形，/ ADC=60 , BC=AB=6，/ BCQ=60 .-BQ=3 , CQ=3 . BG=14 .又由 FH / CG,可得，/BH=HC - BC=FH - BC=FH - 6, FH=./FH / CG , BF=14X -16=. FG=14+ .(3) G 在 DC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，成立.結(jié)合上述過(guò)程，發(fā)現(xiàn) G 在直線 CD 上時(shí)，結(jié)論還成立.點(diǎn)評(píng)：證明

24、比例式的時(shí)候，可以利用相似或利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行證明.11.(2001?)如圖，在菱形 ABCD 中，AB=10,/ BAD=60 度.點(diǎn) M 從點(diǎn) A 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著 AD 邊 向點(diǎn) D 移動(dòng)；設(shè)點(diǎn) M 移動(dòng)的時(shí)間為 t 秒(0Wt 2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著射線 BC 方向(可以超越 C 點(diǎn)) 移動(dòng)，過(guò)點(diǎn) M作 MP / AB，交 BC 于點(diǎn) P.當(dāng) MPNABC 時(shí)，設(shè) MPN 與菱形 ABCD 重疊部分的面積為 S, 求出用 t 表示 S 的關(guān)系式，井求當(dāng) S=0 時(shí)的值.考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：(1)菱形被分割成面積

25、相等的兩部分，那么分成的兩個(gè)梯形的面積相等，而兩個(gè)梯形的高相等，只需上下底的和相等即可.(2) 易得菱形的高，那么用 t 表示出梯形的面積，用 t 的最值即可求得梯形的最大面積.(3)易得 MNP 的面積為菱形面積的一半，求得不重合部分的面積，讓菱形面積的一半減去即可.解答：解：(1)設(shè)：BN=a , CN=10 - a (0a 1)0因?yàn)?，點(diǎn) M 從點(diǎn) A 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著 AD 邊向點(diǎn) D 移動(dòng)，點(diǎn) M 移動(dòng)的時(shí)間為 t 秒(OWt 10所以，AM=Kt=t ( 0 t 10 MD=1O - t (O t 菱形高吃=(t+a)X菱形高吃；梯形 MNCD 的面積=(MD+NC

26、)X菱形高 吃=(10-t) + (10- a) X菱形高 吃當(dāng)梯形 AMNB 的面積=梯形 MNCD 的面積時(shí)，即 t+a=10, (0 t 10 (0 a 1)所以，當(dāng) t+a=10, (0 t 10 (0 a 10 時(shí)，可出現(xiàn)線段 MN 定可以將菱形分割成面積相等的兩 部分.(2)點(diǎn) N 從點(diǎn) B 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著 BC 邊向點(diǎn) C 移動(dòng)，設(shè)點(diǎn) N 移動(dòng)的時(shí)間為 t，可知0t5因?yàn)?AB=10,ZBAD=60，所以菱形高=5,AM=1Xt=t,BN=2Xt=2t.所以梯形 ABNM 的面積=(AM+BN )X菱形高吃=3tX5X=t (0 t6=24 . (10 分)點(diǎn)評(píng)：

27、考查菱形的判定及相關(guān)性質(zhì)；把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的規(guī)則圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵.16.(2011?)如圖，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 邊上的點(diǎn)，AE=BC , DF 丄 AE，垂足為 F,連接 DE .(1) 求證：AB=DF ;(2) 若 AD=10 , AB=6，求 tan/ EDF 的值.考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義.專題：幾何綜合題.分析：(1)根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等得到 AD=BC=AE , / DAF= / EAB 再結(jié)合一對(duì)直角相等即可證明ABEDFA ;然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明AB=DF ;(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)

28、邊相等以及勾股定理，可以求得DF , EF 的長(zhǎng)；再根據(jù)勾股定理求得DE 的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解.解答：(1)證明：在矩形 ABCD 中，BC=AD , AD / BC，/ B=90 , / DAF= / AEB ./ DF 丄 AE , AE=BC , / AFD=90 , AE=AD . ABEDFA ； AB=DF ；(2)解：由(1)知厶 ABEDFA . AB=DF=6 .在 Rt ADF 中，AF=, EF=AE - AF=AD - AF=2 . tan/ EDF=.點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義.熟練運(yùn)用矩形的性 質(zhì)和判定，能夠找到

29、證明全等三角形的有關(guān)條件；運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求得三角形中的邊，再根 據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解.17.(2010?)已知：如圖，正方形 ABCD 與矩形 DEFG 的邊 AD、DE 在同一直線 l 上，點(diǎn) G 在 CD 上.正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 a,矩形 DEFG 的長(zhǎng) DE 為 b，寬 DG 為 3 (其中 ab3).若矩形 DEFG 沿直線 l 向左以每秒 1 個(gè) 單位的長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) D、E 始終在直線 l 上).若矩形 DEFG 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與正方形 ABCD 的重疊部分的面 積記作 S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為 t 秒(OWtW)其中 S與 t 的函數(shù)圖象如圖所示.矩形 DEFG 的頂

30、點(diǎn)經(jīng)運(yùn)動(dòng)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 分別記作 D、E、F、G.(1) 根據(jù)題目所提供的信息，可求得 b= 4, a= 5, m= 9；(2)連接 AG、CF ,設(shè)以 AG 和 CF 為邊的兩個(gè)正方形的面積之和為y,求當(dāng) OWtW時(shí)， y 與時(shí)間 t 之間的函數(shù)關(guān) 系式，并求出 y 的最小值以及 y 取最小值時(shí) t 的值；(3) 如圖，這是在矩形 DEFG 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直線 AG 第一次與直線 CF垂直的情形，求此時(shí) t 的值.并探究：在 矩形 DEFG繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線 AG 與直線 CF 是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并 求出 t 的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.所以 AG 與 CF 不可

31、能平行. 設(shè) AG 與 FC勺延長(zhǎng)線交于點(diǎn) H ,當(dāng)/G AD= PCF 時(shí)，直線 AG 丄 CF ;考占：P 八、專題：分矩形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì).代數(shù)幾何綜合題.(1) 由圖的函數(shù)圖象知：從第 4 -5 秒，S 的值恒為 12,即此時(shí)矩形全部落在正方形的部，由此可求得兩個(gè)條件：矩形的面積為12，正方形的邊長(zhǎng)為 1+DE，根據(jù)這兩個(gè)條件求解即可.(2) 當(dāng) OWtW時(shí)，矩形在直線 AB 的左側(cè)，可用 t 表示出 AD、PF的長(zhǎng)，易求得 DGCP 的長(zhǎng)， 即可用勾股定理求得 AG2、CF2的值，即可得到 y、t 的函數(shù)關(guān)系式.(3) 此題要分五種情況討論：1當(dāng)OWV4 時(shí)，點(diǎn)

32、E在 D 點(diǎn)右側(cè)；由于/ HG F、/ HF G 都是銳角，顯然直線 AG 與 CF 不可能平 行；當(dāng)兩條直線垂直時(shí)， G HF 是直角三角形，易證得 AD GsCPF，根據(jù)相似三角形得到的 比例線段即可求得 t 的值；2當(dāng) t=4 時(shí)，D、E重合，此時(shí)直線 DC 與 E 重合，顯然此時(shí) AG 與 CF 既不平行也不垂直，因?yàn)?過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行或垂直；3當(dāng) 4VtV5 時(shí)，矩形在正方形的部，延長(zhǎng)G F 交 BC 于 P，延長(zhǎng) AG 交 CD 于 Q，此時(shí)/ CF P 是銳角，所以/ CF G是鈍角，顯然 AG 與 CF 不可能垂直；當(dāng)兩直線平行時(shí)，可證得AD GsF

33、 PC 進(jìn)而可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求得t 的值；4當(dāng) t=5 時(shí)，此種情況與相同；5當(dāng) 5VtV9 時(shí)，此時(shí)/ QG F 與/ CF G 都是鈍角，顯然 AG 與 CF不可能平行；當(dāng)兩直線垂直時(shí)， 可延長(zhǎng)CF與 AG 相交于點(diǎn) M，延長(zhǎng) G F 與 CD 相交于點(diǎn) P，通過(guò)證AD GsCPF 來(lái)求得此時(shí) t 的值.解答：解：(1)由圖知：從第 4 到第 5 秒時(shí)，S 的值恒為 12，此時(shí)矩形全部落在正方形的部, 那么矩形的面積為 12，即可求得 DE=4 ;這個(gè)過(guò)程持續(xù)了 1 秒，說(shuō)明正方形的邊長(zhǎng)為：DE+仁 5 ;由于矩形的速度恒定，所以5m 也應(yīng)該用 4 秒的時(shí)間，故 m=5+4=

34、9 ;即：b=4, a=5, m=9.(2)如圖，當(dāng) OWtw時(shí)，/ AD =5- t, D G=3 PF =4-1, CP=2,2 2 y=9+ ( 5 - t) +4+ (4 - t),2 y=2 (t-)2+,當(dāng) t=時(shí)，y 有最小值， y最小值=.(3)當(dāng) OWH4 時(shí)，分別延長(zhǎng) AG 和 FC如圖，由于/ 1 和/2 都是銳角，所以/ 1 +Z2V180CGC 少D/E)AD GsCPF,解得 tl=2, t2=7 （不合題意，舍去）.2當(dāng) t=4 時(shí)，由于點(diǎn) F在 CD 上，而點(diǎn)G不在直線 AD 上, 因?yàn)?AD 丄 CD，所以 AG 不可能也垂直于 CD（因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)有且只有

35、一條直線與已知直線垂直）.同樣，由于 AB / CD，而點(diǎn) G 不在直線 AB 上， 所以 t=4 時(shí)，AG 也不可能平行于 CD （ CF ）（因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行）34vtv5 時(shí)，延長(zhǎng) G F 交 PC 于 P,延長(zhǎng) AG 交 CD 于 Q, 由于/ CF P 是銳角，所以/ CF G 是鈍角，所以/ CF G+ZQGF 工 90；所以 AG 與 CF不可能垂直； 當(dāng)/ G AD = CF P 時(shí)，AG / CF , 易得AD GsFPC解得 t=4.4 .4當(dāng) t=5 時(shí)，AG 與 CF 既不可能垂直也不可能平行，理由同.5當(dāng) 5vtv9 時(shí)，因?yàn)? QG

36、F 與/ CF G 都是鈍角，所以/ QG F ZCF GS180所以 AG 與 CF 不可能平行.延長(zhǎng) CF 與 AG 相交于點(diǎn) M，延長(zhǎng) G F 與 CD 相交于點(diǎn) P;當(dāng)ZMG F ZMF G =9（時(shí)，AG 丄 CF ;又/ AG DZAG F=90ZMF GZCFP,ZAG DZCFP又ZAD GZFPCAD GsCPF 即；解得：ti=2 （不合題意，舍去） t2=7;所以，綜上所述，當(dāng) t=2 或 t=7 時(shí)，直線 AG 與直線 CF 垂直，當(dāng) t=4.4 時(shí)，直線 AG 與直線 CF平 行.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以及分段函數(shù)的應(yīng)

37、用等 知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大.18.（2005?） 已知： 平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線交點(diǎn)為 O,點(diǎn) E、 F 分別在邊 AB、 CD 上， 分別沿 DE、 BF 折疊四 邊形 ABCD A、C 兩點(diǎn)恰好都落在 O 點(diǎn)處，且四邊形 DEBF 為菱形（如圖）.（1）求證：四邊形 ABCD 是矩形；（2）在四邊形 ABCD 中，求的值.考點(diǎn)：矩形的判定.專題：計(jì)算題；證明題.分析：(1)根據(jù)矩形的判定定理，先證DE=BE，再證/ DOE=90，則可證.(2)根據(jù)已知條件和(1)的結(jié)論，先求得 AD : AB，易求解的值.解答：(1) 證明：連接 0E,四邊形 ABCD

38、是平行四邊形， DO=OB ,四邊形 DEBF 是菱形， DE=BE , E0 丄 BD, / DOE=90 , 即/ DAE=90 ,又四邊形 ABCD 是平行四邊形，四邊形 ABCD 是矩形.(2) 解：四邊形 DEBF 是菱形， / FDB= / EDB ,又由題意知/ EDB= / EDA , 由(1 )知四邊形 ABCD 是矩形， / ADF=90，即/ FDB+ / EDB+ / ADE=90 , 則/ ADB=60 ,在 Rt ADB 中，有 AD : AB=1 :, 又 BC=AD ,則.說(shuō)明：其他解法酌情給分點(diǎn)評(píng)： 本題考查矩形的判定定理及相關(guān)性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，難度偏

39、難.19 .如圖，已知矩形 ABCD , AD=4 , CD=10 , P 是 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E 分別是 PD、PC、CD 的中點(diǎn).(1) 求證：四邊形 PMEN 是平行四邊形；(2) 請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng) AP 為何值時(shí)，四邊形 PMEN 是菱形；(3)四邊形 PMEN 有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP 的長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定. 分析：(1)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理可證明.(2) 當(dāng) DP=CP 時(shí)，四邊形 PMEN 是菱形，P 是 AB 的中點(diǎn)，所以可求出 AP 的值.(3) 四邊形 PMEN 是矩形的話，

40、/ DPC 必需為 90判斷一下 DPC 是不是直角三角形就行. 解答：解：(1 ) M、N、E 分別是 PD、PC、CD 的中點(diǎn)， ME / PC, EN / PD,四邊形 PMEN 是平行四邊形；(2 )當(dāng) AP=5 時(shí)，PA=PB=5 , AD=BC，/ A= / B=90 , PADPBC, PD=PC,/ M、N、E 分別是 PD、PC、CD 的中點(diǎn)， NE=PMPD , ME=PN=PC , PM=ME=EN=PN ,四邊形 PMEN 是菱形；(3)假設(shè)DPC 為直角三角形.設(shè) PA=x, PB=10 - x,DP=, CP=.2 2 2DP +CP =DC2 2 216+X2+1

41、6+(10 - x)2=102x2- 10 x+16=0 x=2 或 x=8.故當(dāng) AP=2 或 AP=8 時(shí)，能夠構(gòu)成直角三角形.點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性質(zhì)，知道矩形的四個(gè)角都 是直角，對(duì)邊相等等性質(zhì).20.如圖：矩形 ABCD 中，AB=2 , BC=5 , E、P 分別在 AD、BC 上，且 DE=BP=1 .(1) 判斷 BEC 的形狀，并說(shuō)明理由？(2) 判斷四邊形 EFPH 是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；(3) 求四邊形 EFPH 的面積.考點(diǎn)：-矩形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四邊形的判定與性質(zhì).專

42、題：分析：計(jì)算題；證明題.(1)根據(jù)矩形性質(zhì)得出 CD=2，根據(jù)勾股定理求出 CE 和 BE,求出 CE2+BE2的值，求出 BC2，根據(jù) 勾股定理的逆定理求出即可；(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出平行四邊形 DEBP和 AECP ,推出 EH / FP, EF / HP, 推出平行四邊形 EFPH，根據(jù)矩形的判定推出即可；(2)根據(jù)三角形的面積公式求出CF,求出 EF,根據(jù)勾股定理求出 PF,根據(jù)面積公式求出即可.解答：(1) BEC 是直角三角形，理由是：矩形 ABCD ,/ ADC= / ABP=90 , AD=BC=5 , AB=CD=2 , 由勾股定理得：CE=,同理 B

43、E=2 ,2 2- CE +BE =5+20=25 , BC2=52=25,2 2 2 BE +CE =BC , / BEC=90 , BEC 是直角三角形.(2) 解：四邊形 EFPH 為矩形， 證明：矩形 ABCD , AD=BC , AD / BC ,/DE=BP ,四邊形 DEBP 是平行四邊形， BE / DP ,/AD=BC , AD / BC , DE=BP , AE=CP,四邊形 AECP 是平行四邊形， AP / CE ,四邊形 EFPH 是平行四邊形，/ BEC=90 ,平行四邊形 EFPH 是矩形.(3)解：在 RT PCD 中/ FC 丄 PD ,由三角形的面積公式得：

44、PD?CF=PC?CD, CF=, EF=CE - CF=-=,/ PF=,- S矩形EFPH=EF?PF=,答：四邊形 EFPH 的面積是.點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用,主要培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，此題綜合性比較強(qiáng)，題型較好，難度也適中.21 . (2012?)在厶 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC，若點(diǎn) D 在線段 BC 上，以 AD 為邊長(zhǎng)作正方形 ADEF，如圖 1, 易證：/ AFC=/ ACB+ / DAC ;(1) 若點(diǎn) D 在 BC 延長(zhǎng)線上，其他條件不變，寫(xiě)出/ AFC、/ ACB、/ D

45、AC 的關(guān)系，并結(jié)合圖 2 給出證明;(2)若點(diǎn) D 在 CB 延長(zhǎng)線上，其他條件不變，直接寫(xiě)出/AFC、/ ACB、/ DAC 的關(guān)系式.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析： (1)/ AFC、/ ACB、/ DAC 的關(guān)系為：/ AFC= / ACB -/ DAC，理由為：由四邊形 ADEF 為正方 形，得到 AD=AF，且/ FAD 為直角，得到/ BAC= / FAD，等式左右兩邊都加上/ CAD 得到/ BAD= / CAF，再由 AB=AC , AD=AF，利用 SAS 可得出三角形 ABD 與三角形 ACF 全等，根據(jù)全等 三角形

46、的對(duì)應(yīng)角相等可得出/ AFC= / ADB，又/ ACB 為三角形 ACD 的外角，利用外角的性質(zhì)得到 / ACB= / ADB+ / DAC ,變形后等量代換即可得證；(2) / AFC、/ ACB、/ DAC 的關(guān)系式是/ AFC+ / ACB+ / DAC=180，可以根據(jù)/ DAF= / BAC=90 , 等號(hào)兩邊都減去/ BAF，可得出/ DAB= / FAC，再由 AD=AF , AB=AC，利用 SAS 證明三角形 ABD 與三角形 AFC 全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出/AFC= / ADB，根據(jù)三角形 ADC 的角和為180 ，等量代換可得證.解答： 解：(1)關(guān)系：/

47、 AFC= / ACB -/ DAC ,(2 分)證明：四邊形 ADEF 為正方形， AD=AF , / FAD=90 ,/ BAC=90 , / FAD=90 ,BAC+ / CAD= / FAD+ / CAD，即/ BAD= / CAF ,(3 分)在厶 ABD 和厶 ACF 中，b ABDACF (SAS ),(4 分)AFC= / ADB ,/ ACB 是厶 ACD 的一個(gè)外角，ACB= / ADB+ / DAC ,(5 分):丄ADB=/ACB-ZDAC,/ADB=ZAFC,ZAFC=ZACB-ZDAC ;(6 分)(2)ZAFC、ZACB、ZDAC 滿足的關(guān)系式為：ZAFC+ZDA

48、C+ZACB=180 ,(8 分)證明：四邊形 ADEF 為正方形，ZDAF=90，AD=AF,又ZBAC=90,ZDAF=ZBAC,ZDAF-ZBAF=ZBAC-ZBAF，即ZDAB=ZFAC, 在厶 ABD 和厶 ACF 中， ABDACF (SAS ),ZADB=ZAFC,在厶 ADC 中，ZADB+ZACB+ZDAC=180 , 則ZAFC+ZACB+ZDAC=180 .點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握判定及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.22.(2012?)已知四邊形 ABCD 是正方形，O 為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn) P

49、從 B 開(kāi)始，沿射線 BC 運(yùn)動(dòng)，連接 DP,作 CN丄 DP 于點(diǎn) M，且交直線 AB 于點(diǎn) N，連接 OP, ON .(當(dāng) P 在線段 BC 上時(shí)，如圖 1:當(dāng) P 在 BC 的延 長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2)(1) 請(qǐng)從圖 1，圖 2 中任選一圖證明下面結(jié)論： BN=CP :OP=ON，且 OP 丄 ON;(2) 設(shè) AB=4 , BP=x，試確定以 O、P、B、N 為頂點(diǎn)的四邊形的面積 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系.考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；分段函數(shù)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì).專題： 代數(shù)幾何綜合題.分析：(1 )根據(jù)正方形的性質(zhì)得出 DC=BC ,ZDCB=ZCBN=90，求出ZCPD=Z

50、DCN=ZCNB，證 DCPCBN，求出 CP=BN，證 OBNOCP，推出 ON=OP ,ZBON=ZCOP，求出ZPON=ZCOB 即可；(2)同法可證圖 2 時(shí)，OP=ON , OP 丄 ON，圖 1 中，S四邊形OPBN=SOBN+SABOP，代入求出即可；圖2 中，S四邊形OBNP=SPOB+SAPBN,代入求出即可.解答：(1)證明：如圖 1,正方形 ABCD ,OC=OB,DC=BC, ZDCB=ZCBA=90, ZOCB=ZOBA=45, ZDOC=90,DC/AB,/DP 丄 CN , ZCMD=ZDOC=90, ZBCN+ZCPD=90, ZPCN+ZDCN=90, ZCP

51、D=ZCNB,/DC/AB,/ DCN= / CNB= / CPD ,在 DCP 和厶 CBN 中 DCPCBN , CP=BN,在 OBN 和厶 OCP 中 OBNOCP, ON=OP，/ BON= / COP,/ BON+ / BOP= / COP+ / BOP ,即/ NOP= / BOC=90 , ON 丄 OP,即 ON=OP , ON 丄 OP.(2)解：TAB=4，四邊形 ABCD 是正方形， O 到 BC 邊的距離是 2,圖 1 中，S四邊形OPBN=SAOBN+SABOP,=X (4-x)疋+ $2,=4(0VxV4),圖 2 中，S四邊形OBNP=SAPOB+SAPBN=/

52、2+X (x-4)2=x - X (x 4),即以 O、P、B、N 為頂點(diǎn)的四邊形的面積 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系是：.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，分段函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解(1)小題的關(guān)鍵是能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，解(2)的關(guān)鍵是求出符合條件的所有情況，本題具有一定的代表性，是一 道比較好的題目，注意：證明過(guò)程類似.23.(2011?來(lái)賓)已知正方形 ABCD 的對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O,點(diǎn) E、F 分別是 OB、OC 上的動(dòng)點(diǎn)，(1) 如果動(dòng)點(diǎn) E、F 滿足 BE=CF (如圖 1):1寫(xiě)出所有以點(diǎn) E 或 F 為頂點(diǎn)的全等三角形(不得添加輔助線)；2證明：AE

53、 丄 BF ;(2) 如果動(dòng)點(diǎn) E、F 滿足 BE=OF (如圖 2),問(wèn)當(dāng) AE 丄 BF 時(shí)，點(diǎn) E 在什么位置，并證明你的結(jié)論.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：(1)根據(jù)正方形性質(zhì)及BE=CF即可得出全等的三角形，根據(jù)全等三角形及正方形的性質(zhì)即可 得出結(jié)論，(2)根據(jù)正方形性質(zhì)及已知條件得出BEM AEO , BEMBOF，再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可得出答案.解答： 解：(門(mén)厶 ABEBCF , AOEBOF , ADEBAF ;證明：根據(jù)正方形的性質(zhì)，在厶 BAE 和厶 CBF 中，,BAECBF (SAS),/BAE= /CBF,根據(jù)外角性質(zhì)，/

54、AFB= / BCF+ / CBF=45 + / CBF ,又/FAM=45-ZBAE,/AMF=180-(ZFAM+ZAFM)=180-(45ZCBF+45-ZBAE)=90, AE 丄 BF;(2)當(dāng) AE 丄 BF 時(shí)，點(diǎn) E 在 BO 中點(diǎn).證明如下：延長(zhǎng) AE 交 BF 于點(diǎn) M，如圖所示：vZBME=ZAOE，ZBEM=ZAEO,BEM AEO,-=,即 AO=,vZMBE=ZOBF, ZBME=ZBOF,BEM BFO,-=,即 BO=,vAO=BO,BE=OF, BE=EO,故當(dāng) AE 丄 BF 時(shí)，點(diǎn) E 在 BO 中點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相

55、似三角形的判定及性質(zhì)，比較綜合,難度較|_大._|24. (2011?)如圖，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) E , K 分別在 BC , AB 上,點(diǎn) G 在 BA 的延長(zhǎng)線上，且 CE=BK=AG(1) 求證： DE=DG ;DE 丄 DG(2)尺規(guī)作圖：以線段 DE , DG 為邊作出正方形 DEFG (要求：只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明)；(3) 連接(2)中的 KF，猜想并寫(xiě)出四邊形 CEFK 是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想：(4) 當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；作圖一復(fù)雜作圖.分析：(1)由已知證明 DE、DG 所在的三角

56、形全等，再通過(guò)等量代換證明DE 丄 DG ；(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點(diǎn) G、E 為圓心以 DG 為半徑畫(huà)弧交點(diǎn) F，得到正方形 DEFG ；(3)由已知首先證四邊形 CKGD 是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK 為平行四邊形；(4) 由已知表示出的值.解答：(1)證明：v四邊形 ABCD 是正方形， DC=DA, ZDCE=ZDAG=90.又vCE=AG ,DCEDAG , DE=DG ,ZEDC=ZGDA,又vZADE+ZEDC=90,ZADE+ZGDA=90 DE 丄 DG.(2)解：如圖.(3)解：四邊形 CEFK 為平行四邊形.證明：設(shè) CK、DE 相交于 M 點(diǎn)四邊形 ABCD

57、 和四邊形 DEFG 都是正萬(wàn)形, AB / CD , AB=CD , EF=DG , EF / DG ,/ BK=AG , KG=AB=CD ,四邊形 CKGD 是平行四邊形， CK=DG=EF , CK / DG , / KME= / GDE= / DEF=90 , / KME+ / DEF=180 , CK / EF,四邊形 CEFK 為平行四邊形.(4 )解: T,設(shè) CE=x , CB=nx , CD=nx ,2 2 2222,2、2-DE =CE +CD =n x +x = (n +1) x ,BC22 2BC = n x ,此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

58、平行四邊形的判定及作圖，解題的 關(guān)鍵是先由正方形的性質(zhì)通過(guò)證三角形全等得出結(jié)論，此題較復(fù)雜.25.(2011?)如圖，點(diǎn) P 是正方形 ABCD 對(duì)角線 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E 在射線 BC 上，且 PB=PE，連接 PD, O 為 AC 中占I 八、(1) 如圖 1,當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AO 上時(shí)，試猜想 PE 與 PD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說(shuō)明理由；(2) 如圖 2,當(dāng)點(diǎn) P 在線段 0C 上時(shí)，(1)中的猜想還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖 3,當(dāng)點(diǎn) P 在 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖 3 中畫(huà)出相應(yīng)的圖形(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)，并判斷(1)中的猜想是否成立？若成立，

59、請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).分析：(1)根據(jù)點(diǎn) P 在線段 A0 上時(shí)，利用三角形的全等判定可以得出PE 丄 PD, PE=PD ；(2)利用三角形全等得出， BP=PD，由 PB=PE，得出 PE=PD，要證 PE 丄 PD;從三方面分析，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 BC 上(E 與 B、C 不重合)時(shí)，當(dāng)點(diǎn) E 與點(diǎn) C 重合時(shí)，點(diǎn) P 恰好在 AC 中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別分析即可得出；(3)利用 PE=PB 得出 P點(diǎn)在 BE 的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質(zhì)只要以P 為圓心， PB 為半 徑畫(huà)弧

60、即可得出 E 點(diǎn)位置，利用(2)中證明思路即可得出答案.解答：解: (1)當(dāng)點(diǎn) P 在線段 A0 上時(shí)，在厶 ABP 和厶 ADP 中， ABPADP , BP=DP,/ PB=PE, PE=PD,過(guò)點(diǎn) P 做 PM 丄 CD，于點(diǎn) M，作 PN 丄 BC,于點(diǎn) N,/ PB=PE, PN 丄 BE, BN=NE ,/ BN=DM , DM=NE ,在 Rt PNE 與 Rt PMD 中，/ PD=PE, NE=DM , Rt PNE 也 Rt PMD ,/ DPM= / EPN ,/ MPN=90 , / DPE=90 ,故 PE 丄 PD,PE 與 PD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：PE=PD,