利用最小二乘法求解擬合曲線

1、實(shí)驗(yàn)三函數(shù)逼近實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)1. 掌握數(shù)據(jù)多項(xiàng)式擬合的最小二乘法。2. 會(huì)求函數(shù)的插值三角多項(xiàng)式。、實(shí)驗(yàn)問題1由實(shí)驗(yàn)得到以下數(shù)據(jù)Xj0.00.10.20.30.8yj0.410.500.610.912.02試對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合。2求函數(shù)f x X2 COSX在區(qū)間,上的插值三角多項(xiàng)式。三、實(shí)驗(yàn)要求1. 利用最小二乘法求問題1所給數(shù)據(jù)的3次、4次擬合多項(xiàng)式，畫出擬合曲線。22. 求函數(shù)f X X COSX在區(qū)間,上的16次插值三角多項(xiàng)式，并畫出插值多項(xiàng) 式的圖形，與f X的圖形比擬。23. 對(duì)函數(shù)f X X COSX，在區(qū)間,上的取假設(shè)干點(diǎn)，將函數(shù)值作為數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)次數(shù)的最小二乘多項(xiàng)式擬合，并計(jì)算

2、誤差，與上題中的16次插值三角多項(xiàng)式的結(jié)果進(jìn)行比較。3次、4次擬合多項(xiàng)式，畫出擬合曲線【實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】(1) 加深對(duì)用最小二乘法求擬合多項(xiàng)式的理解(2) 學(xué)會(huì)編寫最小二乘法的數(shù)值計(jì)算的程序；【理論概述與算法描述】在函數(shù)的最正確平方逼近中f (x) Ca,b,如果f (x)只在一組離散點(diǎn)集xj 0,1,m上給出，這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常見到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線擬合，這里yif(xj,i 0,1, ,m，要求一個(gè)函數(shù)y S (x )與所給數(shù)據(jù)(X,yJ,i 0,1, ,m擬合，假設(shè)記誤差 iS*(xi) yi(i 0,1, ,m),o(x), 1(x), n(x)是 Ca,b上的線性無(wú)關(guān)函數(shù)族span 0(x)

3、, 1(x), n(x)中找一個(gè)函數(shù)S*(x)，使誤差平方和m2 2Il II2 ii 0mS*(xJi 0yimmn i0S(x)2yi這里|S(x) a。0(x) a1 1(x)an n(x)(n m)這就是一般的最小二乘逼近，用幾何語(yǔ)言說，就稱為曲線擬合的最小二乘法。 通常在最小二乘法中考慮加權(quán)平方和有m(j, k)(Xi) j(x) k(x)，i 0 m(f, k)(Xi)f(Xi) k(x) dk,k 0,1, ,ni 0上式可改寫為(k, j)aj dk,k 0,1, ,n。j 0這個(gè)線性方程組稱為法方程，可將其寫成矩陣形式Ga d,其中 a (a。©, ,an)T,d

4、(dod ,dn)T(0,0),( 0, 1),(0, n)(1,0),( 0, 1),(0, 1)G(n,1 ),( n,1),(n,1)求出a0,a1,an那么擬合函數(shù)S* (x)a02a1x a2xanxa=i nv(G)*d【實(shí)驗(yàn)問題】由實(shí)驗(yàn)得到以下數(shù)據(jù)Xj0.00.10.20.30.8yj0.410.500.610.912.02試對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合。利用最小二乘法求所給數(shù)據(jù)的2次、3次、4次擬合多項(xiàng)式，畫出擬合曲線?！緦?shí)驗(yàn)過程與結(jié)果】編寫程序后運(yùn)行，n二分別計(jì)算，得出結(jié)果和圖像【結(jié)果分析、討論與結(jié)論】(1)n=2 時(shí)x=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0

5、9;y=1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46' n=2p=leastsq(x,y,n)I=lsp(p,t) 回車得到結(jié)果p =所以擬合多項(xiàng)式為 I =t*(18733*t)/5982 - 74179/59820) +73337/99700(2)n=3 時(shí)x=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0'y=1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46' n=3Apleastsq(x,y,n)I=lsp(p,t)回車得到結(jié)果所以擬合多項(xiàng)式為 I= t+3tA2+tA3;(3)n=4 時(shí)x=0.0 0.1 0.2

6、 0.3 0.5 0.8 1.0'y=1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46' n=4p=leastsg(x,y,n)I=lsq(p,t) 回車得到結(jié)果A=附程序x=0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0'y=1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46'syms tn=2 p=leastsq(x,y,n)c=lsp(p,t)plot(x,y,'*')2.function p=leastsq(x,y,n) m=length(x); G=zeros(n+1,n+1); b=zeros(n+1,1);for i=0:nfor j=0:nG(i+1,j+1)=(x.Ai)'*(x.Aj);endendfor k=0:nb(k+1,1)=(