2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習第三章導數(shù)及其表示第3節(jié)定積分與微積分基本定理習題理

1、第3節(jié)定積分與微積分基本定理最新考綱1,了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，幾何意義;2。了解微積分基本定理的含義。知識衍化體驗I5政教材，夯實叢4知識梳理1o定積分的概念與幾何意義（1）定積分的定義如果函數(shù)f在區(qū)間d6上連續(xù)，用分點將區(qū)間3幻等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點4,（/=1,2.，），作和式錯誤!F（J,）、x=匚錯誤!H）,當18時,上述和式無限接近于某個常數(shù)，這/=1個常數(shù)叫做函數(shù)f3在區(qū)間匕，b上的定積分，記作錯誤！Hx）dx,即nAfV（x）dx=lim1-L8i=在錯誤!五（x）dx中，至殳分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,6叫做積分區(qū)

2、間，函數(shù)Hx）叫做被積函數(shù),心叫做積分變量，根分dx叫做被積式。（2）定積分的幾何意義f(x)錯誤!尸（x）dx的幾何意義Hx)NO表示由直線x=a,x=b、y=0及曲線y=尸（x）所圍成的曲邊梯形的面積f(x)0表示由直線x=a,x=b、y=0及曲線v=尸（x）所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)Hx）在0,6上有正有負表示位于X軸上方的曲邊梯形的面積減去位于X軸下方的曲邊梯形的面積2.定積分的性質(zhì)（1）錯誤!尸（x）dx=錯誤！Hx）dx（為常數(shù)）。（2）錯誤！力（x）f2（x）dx=錯誤!石（x）dx錯誤!玄（x）dx.（3）錯誤！尸（x）dx=錯誤！尸（x）dx+錯誤!dx（其中ac6）o3

3、o微積分基本定理一般地，如果f（%）是在區(qū)間O,6上的連續(xù)函數(shù)，且尸（x）=F（x）,那么錯誤！Hx）dx=Ab）/（a）這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式.可以把尸（6）一尸（切記為尸（x）錯誤!，即錯誤!Hx）dx=尸（*）錯誤!）=F（b）一尸3）。微點提醒函數(shù)fM在閉區(qū)間一名a上連續(xù)，則有（1）若尸（x）為偶函數(shù)，則錯誤!Hx）dx=2錯誤!Hx）dxo（2）若尸（x）為奇函數(shù),則錯誤!Hx）dx=0.基礎自測疑誤辨析1o判斷下列結論正誤（在括號內(nèi)打或“X”）（1）設函數(shù)y=x）在區(qū)間a,6上連續(xù)，貝IJ錯誤！Hx）dx=錯誤！5（t）dt。（）（2）曲線產(chǎn)=/與y=”

4、所圍成的面積是錯誤?。╢x）d*。（）（3）若錯誤!Hx）dKO,那么由y=（x）,x=ax=6以及x軸所圍成的圖形一定在*軸下方。（）（4）定積分錯誤!尸（x）dx一定等于由x=a,x=6,y=0及曲線y=f（x）所圍成的曲邊梯形的面積。（）（5）加速度對時間的積分是路程。（）解析（2）y=f與y=x所圍成的面積是錯誤?。╔/）dx.（3）若錯誤!F（x）dKO,那么由y=Hx）,x=a,x=b以及x軸所圍成的圖形在x軸下方的面積比在“軸上方的面積大。（4）定積分錯誤!尸（x）dx等于由x=a,x=b,y=0及曲線卜=尸（x）所圍成圖形的面積的代數(shù)和.加速度對時間的積分是速度，速度對時間的積

5、分才是路程。答案（1）V（2）X（3）X（4）X（5）X教材桁化2。（選修2-2P50A5改編）定積分錯誤！Ix|dx=（）Ao1B.2C.3Do4解析錯誤！Ix|dx=錯誤！（一x）dx+錯誤!xdx=2錯誤!xdx=x?錯誤!=1。答案A3. （選修22P60A6改編）已知質(zhì)點的速度v=10t,則從亡=0到2=之。質(zhì)點所經(jīng)過的路程是（）A.10t錯誤！B.5%錯誤！C。錯誤！亡錯誤！D.錯誤！七錯誤！解析S=錯誤！內(nèi)亡=錯誤!錯誤!=5嘴誤!。答案B考題體驗4. （2018青島月考）直線v=4x與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積S,正確的是（）A.S=錯誤?。?xf）dxBoS=錯誤！

6、（/一4x）dxCoS=錯誤!dyD.S=錯誤!錯誤!dyJ0解析兩函數(shù)圖象的交點坐標是（0,0）,（2,8）,故對X積分時，積分上限是2、下限是0,由于在0,2上，故直線y=4x與曲線所圍成的封閉圖形的面積5=錯誤！（4“一/）dx錯誤!。答案A5. （2019安陽模擬）若a=錯誤!fdx,6=錯誤!Mdx,錯誤!sinxdx,則a,b,。的大小關系是（）AoKcbB.a伏cCocbaDocab解析由微積分基本定理a=錯誤!fdx=錯誤!錯誤!=錯誤!，6=錯誤!*%*=錯誤!錯誤！=4,。=錯誤!sinxdx=（cosx）錯誤!=1cos22,則“水6。答案D60（2019昆明診斷）若錯誤

7、!Fdx=9,則常數(shù)a的值為.解析錯誤!Vdx=錯誤!錯誤!=一錯誤!才=9,Aa3=-27,a=-3.答案一3I考點聚焦突破:分類講練，以例求法；考點一定積分的計算【例1】（1）錯誤?。╟osx+1）dx=o（2）錯誤！IV2x|dx=o解析（1）錯誤！（cosx+1）dx=（sinx+x）錯誤!=n.（2）錯誤！|2xIdx=錯誤?。?-2x）dx+錯誤?。?xf）dx=錯誤!錯誤!+錯誤!錯誤!=錯誤！+4+4一錯誤!=8。答案（1）n（2）8規(guī)律方法運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點：（1）對被積函數(shù)要先化簡，再求積分；若被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分”對區(qū)間的可加性”

8、，先分段積分再求和；（3）對于含有絕對值符號的被積函數(shù),要先去掉絕對值符號再求積分.【訓練1】（1）設式（*）=錯誤!則錯誤!F（*）dx等于（）A.錯誤！B。錯誤！C.錯誤！D.不存在（2）定積分錯誤！（f+sinx）dx=。解析（1）如圖，錯誤！Hx）dx=錯誤!fdx+錯誤?。?*=錯誤!父錯誤!+錯誤!錯誤！=錯誤!+錯誤!=錯誤!.錯誤?。‵+sinx）dx=錯誤！Fdx+錯誤!sin*dx=2錯誤！Mdx=2錯誤!錯誤!=錯誤!.答案（1）C（2）錯誤！考點二定積分的幾何意義-多維探究角度1利用定積分的幾何意義計算定積分【例21（1）計算：錯誤！（2x+錯誤!）dx=（2）若錯誤!

9、錯誤！0)所圍成的曲邊梯形的面積為錯誤！(4xf)dx=錯誤!錯誤！=錯誤！一錯誤！=錯誤！，則”=8,=2.答案(1)n(2)2考點三定積分在物理中的應用【例3】物體4以v=3+l(m/s)的速度在一直線/上運動，物體8在直線/上,且在物體A的正前方5m處，同時以r=10t(m/s)的速度與A同向運動，出發(fā)后，物體力追上物體8所用的時間t(s)為()A.3B.4C.5Do6(2)設變力F(x)作用在質(zhì)點上，使附沿*軸正向從x=1運動到x=10,已知尸(x)=f+1且方向和x軸正向相同，則變力尸(X)對質(zhì)點所做的功為J(”的單位：m,力的單位:N)。解析(1)因為物體力在1秒內(nèi)行駛的路程為錯誤

10、！(3f+1)dt,物體8在土秒內(nèi)行駛的路程為錯誤!10加九所以錯誤！(3F+110t)dt=(t3+t-5t2)錯誤！=F+-5#=5。整理得(七一5)(F+1)=0,解得t=5。(2)變力F(x)=V+1使質(zhì)點附沿x軸正向從x=1運動到x=10所做的功為人錯誤!尸(*)dx=錯誤！(V+1)dx=錯誤!錯誤！=342(J).答案(1)C(2)342規(guī)律方法定積分在物理中的兩個應用（1）變速直線運動的位移：如果變速直線運動物體的速度為/=/（亡），那么從時刻亡=3到亡=6所經(jīng)過的位移s=錯誤！。dt（2）變力做功：一物體在變力尸（*）的作用下，沿著與F3相同方向從x=a移動到時，力尸（X）所

11、做的功是=錯誤!尸（x）dx.【訓練3一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度“七）=731+錯誤！（1的單位：s,v的單位：m/s）行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位：巾）是（）11Aol+25ln5Bo8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2解析令v（t）=0,得t=4或t=?（舍去），汽車行駛距離s=錯誤!錯誤!dt=錯誤!錯誤！=28-24+25ln5=4+25ln5（m）。答案C反思與感悟思維升華1 .定積分是一個數(shù)值（極限值），它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關。2 .錯誤!A（x）dx、錯誤！|Hx）IdX與

12、I錯誤!。（x）dx|在幾何意義上有不同的含義，由于被積函數(shù)fM在閉區(qū)間a,切上可正可負，也就是它的圖象可以在x軸上方、也可以在x軸下方、還可以在x軸的上下兩側，所以錯誤!5（x）dx表示由“軸、函數(shù)Hx）的曲線及直線x=dx=6（a芋6）之間各部分面積的代數(shù)和；而I,（*）|是非負的，所以錯誤！I尸（x）|dx表示在區(qū)間凡切上所有以|Hx）|為曲邊的正曲邊梯形的面積；而I錯誤!尸（力dx|則是錯誤!A（x）dx的絕對值，三者的值一般情況下是不相同的.易錯防范1o若定積分的被積函數(shù)是分段函數(shù)，應分段積分然后求和。2o若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量.3o定積分的幾何意義是

13、曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結果可以為負.分層限時訓練I分層訓練,提升能力基礎鞏固題組（建議用時：35分鐘）一、選擇題1o（2019西安調(diào)研）定積分錯誤！（2x+e*）dx的值為（）A.e+2Boe+1C.eDoe1解析錯誤?。?x+e）dx=（V+e?錯誤!）=1+8-1=e.答案02o已知錯誤!錯誤!dx=錯誤!，則加的值為（）A。錯誤！B.錯誤！C。一錯誤！Do-1解析由微積分基本定理得錯誤!錯誤!dx=（In一儂）錯誤!）=加+1冰，結合題意得底=錯誤!，解得勿=錯誤!。答案B3 .（2019-鄭州模擬）汽車以/=（39+2）m/s做變速運動時，在第1s至第2s之間的

14、1s內(nèi)經(jīng)過的路程是（）Ao錯誤！mB.6mC,錯誤！mDo7m解析s=錯誤?。?t+2）dt=錯誤!錯誤！=錯誤！X4+4一錯誤！=10一錯誤！=y（m）.答案AX4 .sin?錯誤!dx等于（）Ao 0Co錯誤! 一錯誤!Bo錯誤!一錯誤!D.錯誤! 一1解析錯誤!d*=ji錯誤!dx=錯誤!E=錯誤!一錯誤!。答案B5o定積分錯誤!|x1|dx等于（）Ao1Bo1Co0Do2解析錯誤！I*一1Idx=錯誤！Ix-1|dx+錯誤！Ix-1Idx=錯誤！（1-x）dx+錯誤?。▁1）dx=錯誤!錯誤!+錯誤!錯誤！=錯誤!+錯誤!一錯誤!=1。答案A6o如圖，指數(shù)函數(shù)的圖象過點E（2,9）,則

15、圖中陰影部分的面積等于（）-2-101123I567i-IfAo錯誤！B.8Co錯誤！D.9解析設指數(shù)函數(shù)為y=a（a0且因為其過點EQ,9）,所以占=9,解得a=3,所以圖中陰影部分的面積S=錯誤!3、dx=錯誤!錯誤!=錯誤!.答案A7o若尸（）=錯誤!尸尸（1）=1,則a的值為（）A.1B.2C.-1Do-2解析因為H1）=lg1=0,f（0）=錯誤!3-dt=t錯誤!=累，所以由ff（1）=1,得3=1,a=1o答案A8 .由y=Zy=,y=1所圍成的圖形的面積為（）43Ao-B.-Co2D.134解析如圖所示，陰影部分的面積為S=2錯誤！=2錯誤！=2錯誤!=錯誤!.O12答案A二、

16、填空題9 .已知尸（x）為偶函數(shù)且錯誤！Hx）dx=8,則錯誤!Hx）dx=.解析原式=錯誤！Hx）dx+錯誤!（x）dx,因為原函數(shù)為偶函數(shù)，所以在y軸兩側的圖象對稱，所以對應面積相等，即8X2=16.答案1610o如圖所示，函數(shù)y=-x2+2x+1與y=1相交形成一個閉合圖形（圖中的陰影部分），則該閉合圖形的面積是.解析由錯誤！解得拓=0,X2=2oS=錯誤！（-f+2x+1-1）dx=錯誤?。?W+2x）dx=錯誤!錯誤!=一錯誤!+4=錯誤!.答案錯誤！11o（2019濟南模擬）設力0,若曲線y=錯誤!與直線x=dy=0所圍成封閉圖形的面積為才，則3=O解析封閉圖形如圖所示，則錯誤!錯

17、誤!dx=錯誤!x錯誤!錯誤!=錯誤!a錯誤!一0=a,解得己=錯誤!。答案錯誤！12o（2019廣州調(diào)研）設f（x）=錯誤!則錯誤！Hx）dx的值為解析錯誤！Hx）dx=錯誤!錯誤!d*+錯誤?。?21）dx=錯誤！nX+錯誤!錯誤!=錯誤!+錯誤!.答案錯誤!+錯誤！能力提升題組（建議用時：15分鐘）13o（一題多解）若S=錯誤！fdx,S=錯誤!錯誤!dx,=錯誤!e*dx,則&,曷,&的大小關系為（）A.5SC.S5解析法一S=錯誤）錯誤!=錯誤!一錯誤!=錯誤!，S=ln燔誤!=ln2lne=1,S=e錯誤！=e?e2.722。7=4。59,所以SS&法二S-&,金分別表示曲線卜=錯

18、誤!，y=e與直線x=1,x=2及x軸圍成的圖形的面積,通過作圖易知SSW。答案B14 .若尸（x）=W+2錯誤！x）dx,貝I錯誤！f（x）dx=（）Ao 1B. 一錯誤!Co錯誤!Do 1解析由題意知r(x)=f+2錯誤!r(x)dx,設用=錯誤！f(x)dx,則A(x)=F+2m,錯誤！Hx)dx=錯誤！(V+2加dx=錯誤!錯誤！=錯誤!+2/77=m，解得勿=一錯誤!。答案B15 .一物體在力尸(x)=錯誤！(單位：N)的作用下沿與力尸相同的方向，從x=0處運動到X=4(單位:m)處,則力尸(x)做的功為J.解析由題意知，力尸(x)所做的功為W=pF(x)dx=錯誤!5dx+錯誤！(3x+4)dxJ0=5X2+錯誤!錯誤!=10+錯誤！=36(J).答案36160(2019長春模擬)在平面直角坐標系xOy中，將直線y=x與直線x=1nVdx=錯誤!V錯誤!=錯誤!.據(jù)此類比：將曲線y=2Inx與直線y=1及x及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉一周得到一個圓錐,錐的體積/施=錯誤!軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周得到一個旋轉體，該旋轉體的體積/=O解析類比已知結論，將曲線y=2ln