2020版高考數(shù)學(xué)新設(shè)計(jì)大一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其表示第3節(jié)定積分與微積分基本定理習(xí)題理

1、第3節(jié)定積分與微積分基本定理最新考綱1,了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，幾何意義;2。了解微積分基本定理的含義。知識(shí)衍化體驗(yàn)I5政教材，夯實(shí)叢4知識(shí)梳理1o定積分的概念與幾何意義（1）定積分的定義如果函數(shù)f在區(qū)間d6上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間3幻等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)4,（/=1,2.，），作和式錯(cuò)誤!F（J,）、x=匚錯(cuò)誤!H）,當(dāng)18時(shí),上述和式無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)，這/=1個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f3在區(qū)間匕，b上的定積分，記作錯(cuò)誤！Hx）dx,即nAfV（x）dx=lim1-L8i=在錯(cuò)誤!五（x）dx中，至殳分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,6叫做積分區(qū)

2、間，函數(shù)Hx）叫做被積函數(shù),心叫做積分變量，根分dx叫做被積式。（2）定積分的幾何意義f(x)錯(cuò)誤!尸（x）dx的幾何意義Hx)NO表示由直線x=a,x=b、y=0及曲線y=尸（x）所圍成的曲邊梯形的面積f(x)0表示由直線x=a,x=b、y=0及曲線v=尸（x）所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)Hx）在0,6上有正有負(fù)表示位于X軸上方的曲邊梯形的面積減去位于X軸下方的曲邊梯形的面積2.定積分的性質(zhì)（1）錯(cuò)誤!尸（x）dx=錯(cuò)誤！Hx）dx（為常數(shù)）。（2）錯(cuò)誤！力（x）f2（x）dx=錯(cuò)誤!石（x）dx錯(cuò)誤!玄（x）dx.（3）錯(cuò)誤！尸（x）dx=錯(cuò)誤！尸（x）dx+錯(cuò)誤!dx（其中ac6）o3

3、o微積分基本定理一般地，如果f（%）是在區(qū)間O,6上的連續(xù)函數(shù)，且尸（x）=F（x）,那么錯(cuò)誤！Hx）dx=Ab）/（a）這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式.可以把尸（6）一尸（切記為尸（x）錯(cuò)誤!，即錯(cuò)誤!Hx）dx=尸（*）錯(cuò)誤!）=F（b）一尸3）。微點(diǎn)提醒函數(shù)fM在閉區(qū)間一名a上連續(xù)，則有（1）若尸（x）為偶函數(shù)，則錯(cuò)誤!Hx）dx=2錯(cuò)誤!Hx）dxo（2）若尸（x）為奇函數(shù),則錯(cuò)誤!Hx）dx=0.基礎(chǔ)自測(cè)疑誤辨析1o判斷下列結(jié)論正誤（在括號(hào)內(nèi)打或“X”）（1）設(shè)函數(shù)y=x）在區(qū)間a,6上連續(xù)，貝IJ錯(cuò)誤！Hx）dx=錯(cuò)誤！5（t）dt。（）（2）曲線產(chǎn)=/與y=”

4、所圍成的面積是錯(cuò)誤！（fx）d*。（）（3）若錯(cuò)誤!Hx）dKO,那么由y=（x）,x=ax=6以及x軸所圍成的圖形一定在*軸下方。（）（4）定積分錯(cuò)誤!尸（x）dx一定等于由x=a,x=6,y=0及曲線y=f（x）所圍成的曲邊梯形的面積。（）（5）加速度對(duì)時(shí)間的積分是路程。（）解析（2）y=f與y=x所圍成的面積是錯(cuò)誤?。╔/）dx.（3）若錯(cuò)誤!F（x）dKO,那么由y=Hx）,x=a,x=b以及x軸所圍成的圖形在x軸下方的面積比在“軸上方的面積大。（4）定積分錯(cuò)誤!尸（x）dx等于由x=a,x=b,y=0及曲線卜=尸（x）所圍成圖形的面積的代數(shù)和.加速度對(duì)時(shí)間的積分是速度，速度對(duì)時(shí)間的積

5、分才是路程。答案（1）V（2）X（3）X（4）X（5）X教材桁化2。（選修2-2P50A5改編）定積分錯(cuò)誤！Ix|dx=（）Ao1B.2C.3Do4解析錯(cuò)誤！Ix|dx=錯(cuò)誤！（一x）dx+錯(cuò)誤!xdx=2錯(cuò)誤!xdx=x?錯(cuò)誤!=1。答案A3. （選修22P60A6改編）已知質(zhì)點(diǎn)的速度v=10t,則從亡=0到2=之。質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程是（）A.10t錯(cuò)誤！B.5%錯(cuò)誤！C。錯(cuò)誤！亡錯(cuò)誤！D.錯(cuò)誤！七錯(cuò)誤！解析S=錯(cuò)誤！內(nèi)亡=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=5嘴誤!。答案B考題體驗(yàn)4. （2018青島月考）直線v=4x與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積S,正確的是（）A.S=錯(cuò)誤?。?xf）dxBoS=錯(cuò)誤！

6、（/一4x）dxCoS=錯(cuò)誤!dyD.S=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!dyJ0解析兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0,0）,（2,8）,故對(duì)X積分時(shí)，積分上限是2、下限是0,由于在0,2上，故直線y=4x與曲線所圍成的封閉圖形的面積5=錯(cuò)誤?。?“一/）dx錯(cuò)誤!。答案A5. （2019安陽(yáng)模擬）若a=錯(cuò)誤!fdx,6=錯(cuò)誤!Mdx,錯(cuò)誤!sinxdx,則a,b,。的大小關(guān)系是（）AoKcbB.a伏c(diǎn)CocbaDocab解析由微積分基本定理a=錯(cuò)誤!fdx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，6=錯(cuò)誤!*%*=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=4,。=錯(cuò)誤!sinxdx=（cosx）錯(cuò)誤!=1cos22,則“水6。答案D60（2019昆明診斷）若錯(cuò)誤

7、!Fdx=9,則常數(shù)a的值為.解析錯(cuò)誤!Vdx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=一錯(cuò)誤!才=9,Aa3=-27,a=-3.答案一3I考點(diǎn)聚焦突破:分類(lèi)講練，以例求法；考點(diǎn)一定積分的計(jì)算【例1】（1）錯(cuò)誤?。╟osx+1）dx=o（2）錯(cuò)誤！IV2x|dx=o解析（1）錯(cuò)誤！（cosx+1）dx=（sinx+x）錯(cuò)誤!=n.（2）錯(cuò)誤！|2xIdx=錯(cuò)誤?。?-2x）dx+錯(cuò)誤?。?xf）dx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！+4+4一錯(cuò)誤!=8。答案（1）n（2）8規(guī)律方法運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）對(duì)被積函數(shù)要先化簡(jiǎn)，再求積分；若被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分”對(duì)區(qū)間的可加性”

8、，先分段積分再求和；（3）對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù),要先去掉絕對(duì)值符號(hào)再求積分.【訓(xùn)練1】（1）設(shè)式（*）=錯(cuò)誤!則錯(cuò)誤!F（*）dx等于（）A.錯(cuò)誤！B。錯(cuò)誤！C.錯(cuò)誤！D.不存在（2）定積分錯(cuò)誤?。╢+sinx）dx=。解析（1）如圖，錯(cuò)誤！Hx）dx=錯(cuò)誤!fdx+錯(cuò)誤！（2*=錯(cuò)誤!父錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.錯(cuò)誤?。‵+sinx）dx=錯(cuò)誤！Fdx+錯(cuò)誤!sin*dx=2錯(cuò)誤！Mdx=2錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.答案（1）C（2）錯(cuò)誤！考點(diǎn)二定積分的幾何意義-多維探究角度1利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分【例21（1）計(jì)算：錯(cuò)誤?。?x+錯(cuò)誤!）dx=（2）若錯(cuò)誤!

9、錯(cuò)誤！0)所圍成的曲邊梯形的面積為錯(cuò)誤！(4xf)dx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！一錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，則”=8,=2.答案(1)n(2)2考點(diǎn)三定積分在物理中的應(yīng)用【例3】物體4以v=3+l(m/s)的速度在一直線/上運(yùn)動(dòng)，物體8在直線/上,且在物體A的正前方5m處，同時(shí)以r=10t(m/s)的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后，物體力追上物體8所用的時(shí)間t(s)為()A.3B.4C.5Do6(2)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點(diǎn)上，使附沿*軸正向從x=1運(yùn)動(dòng)到x=10,已知尸(x)=f+1且方向和x軸正向相同，則變力尸(X)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為J(”的單位：m,力的單位:N)。解析(1)因?yàn)槲矬w力在1秒內(nèi)行駛的路程為錯(cuò)誤

10、！(3f+1)dt,物體8在土秒內(nèi)行駛的路程為錯(cuò)誤!10加九所以錯(cuò)誤！(3F+110t)dt=(t3+t-5t2)錯(cuò)誤！=F+-5#=5。整理得(七一5)(F+1)=0,解得t=5。(2)變力F(x)=V+1使質(zhì)點(diǎn)附沿x軸正向從x=1運(yùn)動(dòng)到x=10所做的功為人錯(cuò)誤!尸(*)dx=錯(cuò)誤！(V+1)dx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=342(J).答案(1)C(2)342規(guī)律方法定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用（1）變速直線運(yùn)動(dòng)的位移：如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為/=/（亡），那么從時(shí)刻亡=3到亡=6所經(jīng)過(guò)的位移s=錯(cuò)誤！。dt（2）變力做功：一物體在變力尸（*）的作用下，沿著與F3相同方向從x=a移動(dòng)到時(shí)，力尸（X）所

11、做的功是=錯(cuò)誤!尸（x）dx.【訓(xùn)練3一輛汽車(chē)在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車(chē)，以速度“七）=731+錯(cuò)誤！（1的單位：s,v的單位：m/s）行駛至停止.在此期間汽車(chē)?yán)^續(xù)行駛的距離（單位：巾）是（）11Aol+25ln5Bo8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2解析令v（t）=0,得t=4或t=?（舍去），汽車(chē)行駛距離s=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!dt=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=28-24+25ln5=4+25ln5（m）。答案C反思與感悟思維升華1 .定積分是一個(gè)數(shù)值（極限值），它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)。2 .錯(cuò)誤!A（x）dx、錯(cuò)誤！|Hx）IdX與

12、I錯(cuò)誤!。（x）dx|在幾何意義上有不同的含義，由于被積函數(shù)fM在閉區(qū)間a,切上可正可負(fù)，也就是它的圖象可以在x軸上方、也可以在x軸下方、還可以在x軸的上下兩側(cè)，所以錯(cuò)誤!5（x）dx表示由“軸、函數(shù)Hx）的曲線及直線x=dx=6（a芋6）之間各部分面積的代數(shù)和；而I,（*）|是非負(fù)的，所以錯(cuò)誤！I尸（x）|dx表示在區(qū)間凡切上所有以|Hx）|為曲邊的正曲邊梯形的面積；而I錯(cuò)誤!尸（力dx|則是錯(cuò)誤!A（x）dx的絕對(duì)值，三者的值一般情況下是不相同的.易錯(cuò)防范1o若定積分的被積函數(shù)是分段函數(shù)，應(yīng)分段積分然后求和。2o若積分式子中有幾個(gè)不同的參數(shù)，則必須先分清誰(shuí)是被積變量.3o定積分的幾何意義是

13、曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù).分層限時(shí)訓(xùn)練I分層訓(xùn)練,提升能力基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時(shí)：35分鐘）一、選擇題1o（2019西安調(diào)研）定積分錯(cuò)誤?。?x+e*）dx的值為（）A.e+2Boe+1C.eDoe1解析錯(cuò)誤?。?x+e）dx=（V+e?錯(cuò)誤!）=1+8-1=e.答案02o已知錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!dx=錯(cuò)誤!，則加的值為（）A。錯(cuò)誤！B.錯(cuò)誤！C。一錯(cuò)誤！Do-1解析由微積分基本定理得錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!dx=（In一儂）錯(cuò)誤!）=加+1冰，結(jié)合題意得底=錯(cuò)誤!，解得勿=錯(cuò)誤!。答案B3 .（2019-鄭州模擬）汽車(chē)以/=（39+2）m/s做變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1s至第2s之間的

14、1s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是（）Ao錯(cuò)誤！mB.6mC,錯(cuò)誤！mDo7m解析s=錯(cuò)誤?。?t+2）dt=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！X4+4一錯(cuò)誤！=10一錯(cuò)誤！=y（m）.答案AX4 .sin?錯(cuò)誤!dx等于（）Ao 0Co錯(cuò)誤! 一錯(cuò)誤!Bo錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!D.錯(cuò)誤! 一1解析錯(cuò)誤!d*=ji錯(cuò)誤!dx=錯(cuò)誤!E=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!。答案B5o定積分錯(cuò)誤!|x1|dx等于（）Ao1Bo1Co0Do2解析錯(cuò)誤！I*一1Idx=錯(cuò)誤！Ix-1|dx+錯(cuò)誤！Ix-1Idx=錯(cuò)誤?。?-x）dx+錯(cuò)誤?。▁1）dx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!=1。答案A6o如圖，指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)E（2,9）,則

15、圖中陰影部分的面積等于（）-2-101123I567i-IfAo錯(cuò)誤！B.8Co錯(cuò)誤！D.9解析設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=a（a0且因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)EQ,9）,所以占=9,解得a=3,所以圖中陰影部分的面積S=錯(cuò)誤!3、dx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.答案A7o若尸（）=錯(cuò)誤!尸尸（1）=1,則a的值為（）A.1B.2C.-1Do-2解析因?yàn)镠1）=lg1=0,f（0）=錯(cuò)誤!3-dt=t錯(cuò)誤!=累，所以由ff（1）=1,得3=1,a=1o答案A8 .由y=Zy=,y=1所圍成的圖形的面積為（）43Ao-B.-Co2D.134解析如圖所示，陰影部分的面積為S=2錯(cuò)誤！=2錯(cuò)誤！=2錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.O12答案A二、

16、填空題9 .已知尸（x）為偶函數(shù)且錯(cuò)誤！Hx）dx=8,則錯(cuò)誤!Hx）dx=.解析原式=錯(cuò)誤！Hx）dx+錯(cuò)誤!（x）dx,因?yàn)樵瘮?shù)為偶函數(shù)，所以在y軸兩側(cè)的圖象對(duì)稱(chēng)，所以對(duì)應(yīng)面積相等，即8X2=16.答案1610o如圖所示，函數(shù)y=-x2+2x+1與y=1相交形成一個(gè)閉合圖形（圖中的陰影部分），則該閉合圖形的面積是.解析由錯(cuò)誤！解得拓=0,X2=2oS=錯(cuò)誤?。?f+2x+1-1）dx=錯(cuò)誤?。?W+2x）dx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=一錯(cuò)誤!+4=錯(cuò)誤!.答案錯(cuò)誤！11o（2019濟(jì)南模擬）設(shè)力0,若曲線y=錯(cuò)誤!與直線x=dy=0所圍成封閉圖形的面積為才，則3=O解析封閉圖形如圖所示，則錯(cuò)誤!錯(cuò)

17、誤!dx=錯(cuò)誤!x錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!a錯(cuò)誤!一0=a,解得己=錯(cuò)誤!。答案錯(cuò)誤！12o（2019廣州調(diào)研）設(shè)f（x）=錯(cuò)誤!則錯(cuò)誤！Hx）dx的值為解析錯(cuò)誤！Hx）dx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!d*+錯(cuò)誤?。?21）dx=錯(cuò)誤！nX+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!.答案錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤！能力提升題組（建議用時(shí)：15分鐘）13o（一題多解）若S=錯(cuò)誤！fdx,S=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!dx,=錯(cuò)誤!e*dx,則&,曷,&的大小關(guān)系為（）A.5SC.S5解析法一S=錯(cuò)誤）錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!，S=ln燔誤!=ln2lne=1,S=e錯(cuò)誤！=e?e2.722。7=4。59,所以SS&法二S-&,金分別表示曲線卜=錯(cuò)

18、誤!，y=e與直線x=1,x=2及x軸圍成的圖形的面積,通過(guò)作圖易知SSW。答案B14 .若尸（x）=W+2錯(cuò)誤！x）dx,貝I錯(cuò)誤！f（x）dx=（）Ao 1B. 一錯(cuò)誤!Co錯(cuò)誤!Do 1解析由題意知r(x)=f+2錯(cuò)誤!r(x)dx,設(shè)用=錯(cuò)誤！f(x)dx,則A(x)=F+2m,錯(cuò)誤！Hx)dx=錯(cuò)誤！(V+2加dx=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!+2/77=m，解得勿=一錯(cuò)誤!。答案B15 .一物體在力尸(x)=錯(cuò)誤！(單位：N)的作用下沿與力尸相同的方向，從x=0處運(yùn)動(dòng)到X=4(單位:m)處,則力尸(x)做的功為J.解析由題意知，力尸(x)所做的功為W=pF(x)dx=錯(cuò)誤!5dx+錯(cuò)誤！(3x+4)dxJ0=5X2+錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=10+錯(cuò)誤！=36(J).答案36160(2019長(zhǎng)春模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線y=x與直線x=1nVdx=錯(cuò)誤!V錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.據(jù)此類(lèi)比：將曲線y=2Inx與直線y=1及x及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐,錐的體積/施=錯(cuò)誤!軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，該旋轉(zhuǎn)體的體積/=O解析類(lèi)比已知結(jié)論，將曲線y=2ln