三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和主要公式

1、 三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)（劃紅線容重點(diǎn)學(xué)習(xí)，其余部分建議學(xué)習(xí)）1、任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)的定義：角的終邊上任意一點(diǎn)p的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點(diǎn)的距離是r(r0)，那么角的正弦、余弦、正切、余切分別是(2)三角函數(shù)值的符號(hào)正弦值與余割值對(duì)于第一、二象限的角是正的，而對(duì)于第三、四象限的角是負(fù)的余弦值與正割值對(duì)于第一、四象限的角是正的，而對(duì)于第二、三象限的角是負(fù)的正切值與余切值對(duì)于第一、三象限的角是正的，而對(duì)于第二、四象限角是負(fù)的，也可以按正的在各象限的函數(shù)來(lái)記，即“一全、二正弦，三切、四余弦”(正割、余割分別與余弦、正弦符號(hào)一樣)2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)倒數(shù)關(guān)系：sincsc=

2、1  cossec=  tgctg=1(3)平方關(guān)系：sin2+cos2=1  1+tg2=sec2  1+ctg2=csc23誘導(dǎo)公式(1) k·360°+(kZ)，-，180°±a，360°-的三角函數(shù)值等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把角看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，即sin(k·360°+)sin，cos(k·360°+)=costg(k·360°+)=tg，ctg(k·360°+)=ctg(kZ)sin(-)=-sin，c

3、os(-)costg(-)=-tg，ctg(-)=-tgsin(180°+)=-sin， cos(180°+)=-costg(180°+)=tg， ctg(180°+)=ctgsin(180°-)=sin，cos(180°-)=-costg(180°-)=-tg，ctg(180°-)=-ctgsin(360°-)=-sin，cos(360°-)=costg(360°-)=-tg，ctg(360°-)=-ctg(2) 90°±， 270°±

4、;的三角函數(shù)值等于a的余名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，例如sin(90°+)=cos， tg(270°+)=-ctg綜上，誘導(dǎo)公式可概括為k·90°±(kZ)的三角函數(shù)值，等于的同名(k為偶數(shù)時(shí))或余名(k為奇數(shù)時(shí))的函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)簡(jiǎn)稱之為“奇余偶不變，符號(hào)看象限”4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)三角函數(shù)線以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)為半徑的圓叫做單位圓，如圖23，設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p ，過(guò)p作PM垂直于x軸，垂足為M，A(1，0)、B(0，1)，過(guò)A、B點(diǎn)作單位的切線AT、BS分別與角的終邊或

5、其反向延長(zhǎng)線交于T、S則有向線與MP、OM、AT、BS、OT、OS分別叫作角的正弦線、余弦線、正切線、余切線、正割線、余割線(2)三角函數(shù)的圖象正弦函數(shù)  y=sinx  余弦函數(shù)  y=cosx(如圖24)正切函數(shù)  y=tgx  余切函數(shù)  y=ctgx (如圖25)(3)三角函數(shù)的周期周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在著一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域的每一個(gè)值時(shí)，都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期最小正周期：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)來(lái)說(shuō)、如果在所有的周期中存在著一個(gè)最小正數(shù)，就把這個(gè)

6、最小的正數(shù)叫做最小正周期教科書上所指三角函數(shù)的周期均為最小正周期(4)三角函數(shù)的性質(zhì)5、積化和差與和差化積 （1）積化和差與和差化積各有四個(gè)公式，它們實(shí)質(zhì)是一類公式的正用或逆用，即積化和差公式的逆用就是和差化積公式。這些公式既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，只有掌握準(zhǔn)確，才能熟練應(yīng)用。（2）積化和差公式是運(yùn)用兩角和、兩角差的三角函數(shù)公式推導(dǎo)出來(lái)的，推導(dǎo)中用了“解方程組”的思想。和差化積公式是從三角函數(shù)的積化和差的公式逆推出來(lái)的。推導(dǎo)中用了“換元”的思想。我們要熟悉推導(dǎo)過(guò)程，掌握推導(dǎo)方法，這既有助于對(duì)公式的充分理解，又有助于運(yùn)用公式解決問(wèn)題。（3）要注意尋找公式特征，掌握它們的異同點(diǎn)：即角、函數(shù)名稱

7、、函數(shù)間的運(yùn)算、系數(shù)等方面的異同點(diǎn)。只有系數(shù)絕對(duì)值一樣的同名函數(shù)的和與差，才能運(yùn)用公式化成和的形式。如果是一正弦與一余弦的和或差，可先用誘導(dǎo)公式化成積的形式。例如：（4）對(duì)三角函數(shù)的和差化積，常因所采取的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上的差異，但結(jié)果實(shí)際上是一致的（如上例）?！昂筒罨e”不能只注意到化成“三角函數(shù)的積”，而忽略了答案的最簡(jiǎn)形式。例如，解如下習(xí)題：把sin2-sin2化成積的形式。解  sin2-sin2=sin（+）·sin（-）最后一步，往往會(huì)忽略丟掉，應(yīng)予充分注意。（5）把三角函數(shù)式化成積的形式，有時(shí)需要把某些數(shù)當(dāng)成三角函（6）將asin+bcos型的三角函

8、數(shù)式化成積的形式，即asin+它為研究函數(shù)y=asinx+bcosx的性質(zhì)提供了一條途徑。輔助角終邊所在（7）所謂三角函數(shù)的和差化積是指：把“多項(xiàng)式”化為“單項(xiàng)式”而不影響原式的值的變形。因此四個(gè)和差化積公式的運(yùn)用可分為以下幾種類型：直接運(yùn)用公式；經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形后就可運(yùn)用公式；設(shè)置輔助角，對(duì)形如asinx+bcosx型的三角函數(shù)式進(jìn)行和差化積；“三項(xiàng)式”的和差化積問(wèn)題，如把1+sin+cos化成積的形式。6、兩角和與差的三角函數(shù)  sin(±)=sincos±cossin7、二倍角的正弦、余弦、正切  sin2=2sincos1±sin2=sin2+cos2±2sincos=(sin±cos)2cos2=cos2-sin2