線性代數(shù)第二章向量組的線性相關(guān)性

1、第二章第二章向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性主要內(nèi)容主要內(nèi)容n1 向量的線性關(guān)系向量的線性關(guān)系n2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性n3 向量組的最大無關(guān)組與秩向量組的最大無關(guān)組與秩n4 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)線性方程組的解的結(jié)構(gòu)n5 5 歐氏空間歐氏空間1 向量的線性關(guān)系向量的線性關(guān)系一、向量及其線性運(yùn)算一、向量及其線性運(yùn)算定義：定義：n 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) a1, a2, , an 所組成的有序數(shù)組稱為所組成的有序數(shù)組稱為n 維向維向量量，記為，記為前者稱為前者稱為行向量行向量，后者稱為，后者稱為列向量列向量， 這這 n 個(gè)數(shù)稱為向量的個(gè)數(shù)稱為向量的 n 個(gè)個(gè)分量分量，第，第 i 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) a

2、i 稱為第稱為第 i 個(gè)分量，個(gè)分量， n 稱為向量的稱為向量的維數(shù)維數(shù)。p分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量實(shí)向量p分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量復(fù)向量 1212,或nnaaa aaa 注：注：本書一般只討論實(shí)向量（特別說明的除外）本書一般只討論實(shí)向量（特別說明的除外） 行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量列向量本書中，列向量用黑色小寫字母本書中，列向量用黑色小寫字母 a, b, a a, b b 等表示，行向等

3、表示，行向量則用量則用 aT, bT, a aT, b bT 表示表示向量可視為特殊的矩陣向量可視為特殊的矩陣, 因此因此, 向量的向量的相等相等、加減法加減法、數(shù)乘數(shù)乘等概念完全與矩陣相同等概念完全與矩陣相同.12100010,000001n 基本單位向量：基本單位向量：在在n維向量中，維向量中，稱為稱為基本單位向量。基本單位向量。二、向量空間二、向量空間1. 1. 運(yùn)算的封閉運(yùn)算的封閉定義：定義：所謂所謂封閉封閉，是指集合中任意兩個(gè)元素作某一運(yùn)算得到，是指集合中任意兩個(gè)元素作某一運(yùn)算得到的結(jié)果仍屬于該集合的結(jié)果仍屬于該集合例：例：試討論下列數(shù)集對(duì)四則運(yùn)算是否封閉？試討論下列數(shù)集對(duì)四則運(yùn)算是

4、否封閉？n整數(shù)集整數(shù)集 Zn有理數(shù)集有理數(shù)集 Qn實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集 R2. 2. 運(yùn)算的性質(zhì)運(yùn)算的性質(zhì)n維向量集合維向量集合Rn關(guān)于向量的線性運(yùn)算具有下列關(guān)于向量的線性運(yùn)算具有下列8項(xiàng)運(yùn)算項(xiàng)運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)：(1) a a+b b=b b+a a (2) a a+(b b+g g)=(a a+b b)+g g(3) a a+=a a (4) a a+(- -a a)= (5) (k+l)a a=ka a+la a(6) k(a a+b b)=ka a+kb b(7) (kl)a a=k(la a) (8) 1a a=a a其中其中a a, b b, g g 都是都是n維向量維向量, k, l 為實(shí)數(shù)

5、為實(shí)數(shù).3. 3. 向量空間的定義向量空間的定義定義：定義：設(shè)設(shè) V 是是 n 維向量的集合，如果維向量的集合，如果 集合集合 V 非空，非空， 集合集合 V 對(duì)于向量的對(duì)于向量的加法加法和和數(shù)乘數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，兩種運(yùn)算封閉，具體地說，就是：具體地說，就是：若若 a V， b V，則，則a + b V （對(duì)加法封閉）（對(duì)加法封閉）若若 a V， l l R，則，則 l l a V （對(duì)數(shù)乘封閉）（對(duì)數(shù)乘封閉）那么就稱集合那么就稱集合 V 為為向量空間向量空間例：例：下列哪些向量組構(gòu)成向量空間？下列哪些向量組構(gòu)成向量空間？ n 維向量的全體維向量的全體Rn 集合集合 V1 = (0, x2,

6、, xn)T | x2, , xnR 集合集合 V2 = (1, x2, , xn)T | x2, , xnR 解：解：集合集合 Rn，V1 是向量空間，是向量空間， 集合集合 V2 不是向量空間不是向量空間例：例：設(shè)設(shè) a, b 為兩個(gè)已知的為兩個(gè)已知的 n 維向量，集合維向量，集合L = l l a + m m b | l l, m m R 是一個(gè)向量空間嗎？是一個(gè)向量空間嗎？解：解：設(shè)設(shè) x1, x2 L， kR，因?yàn)椋驗(yàn)閘x1 + x2 = (l l1a + m m1b) + (l l2a + m m2b) = (l l1 + l l2 a + (m m1 + m m2 b Llk

7、x1 = k (l l1a + m m1b) = (kl l1 a + (km m1 b L 所以，所以，L 是一個(gè)向量空間是一個(gè)向量空間定義：定義：把集合把集合L = l l a + m m b | l l, m m R 稱為稱為由向量由向量 a, b 所生成的向量空間所生成的向量空間，記為，記為L(zhǎng)(a,b).一般地，把集合一般地，把集合 L = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam | l l1, l l2, ., l lm R 稱為稱為由向量由向量a1 , a2 , ., am 所生成的向量空間所生成的向量空間, 記為記為L(zhǎng)(A)或者或者L(a1 , a2 , ., am

8、 ).三、向量的線性表示三、向量的線性表示定義：定義：若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為若干個(gè)同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組向量組 當(dāng)當(dāng)R(A) n 時(shí)，齊次線性方程組時(shí)，齊次線性方程組 Ax = 0 的全體解組成的向的全體解組成的向量組含有無窮多個(gè)向量量組含有無窮多個(gè)向量11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa 1234,a a a a a a a a 123TTTb bb bb b 結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)有限向量組有限向量組1. 1. 單個(gè)向量的線性表示單個(gè)向

9、量的線性表示定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am ， 對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)對(duì)于任何一組實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，表達(dá)式，表達(dá)式k1a1 + k2a2 + + kmam稱為向量組稱為向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合k1, k2, , km 稱為這個(gè)稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù) 顯然，顯然， 上述線性組合可以寫成分塊矩陣乘法形式：上述線性組合可以寫成分塊矩陣乘法形式： 1212,mmkka aak 定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果存在一組，如果存在一組實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) l l1, l l2, , l lm

10、，使得，使得b = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam則向量則向量 b 是向量組是向量組 A 的線性組合，這時(shí)稱的線性組合，這時(shí)稱向量向量 b 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示。結(jié)論：結(jié)論：u 零向量可由任何非空向量組線性表示。零向量可由任何非空向量組線性表示。u 向量組中的每一個(gè)向量都可以由向量組本身線性表示。向量組中的每一個(gè)向量都可以由向量組本身線性表示。u 任何一個(gè)向量都可以由基本單位向量線性表示。任何一個(gè)向量都可以由基本單位向量線性表示。例：例：設(shè)設(shè) 123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 123237eee237b 那么那么線

11、性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù)e1, e2, e3的的線性組合線性組合對(duì)于任意的對(duì)于任意的 n 維向量維向量b ，必有，必有1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 回顧：線性方程組的表達(dá)式回顧：線性方程組的表達(dá)式n一般形式一般形式n 向量方程的形式向量方程的形式n增廣矩陣的形式增廣矩陣的形式n向量組線性組合的形式向量組線性組合的形式12312334521xxxxxx- - - - 34151121- -12334151121xxx- - -12334151121xxx- - - - - 方程組有解？方程組有解？向量向量 是否能用是否能用 線性表示？線性表示？341,1

12、12- - - - 51- -結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)結(jié)論：含有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng) 1111211221222211221212,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxx ax ax aa aaxaaax1122mmbaaal ll ll l 11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaal ll ll l ( )( , )R AR A b 向量向量b 能由能由向量組向量組 A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解例例 將向量將向量b用向量組用向量組A=(a1, a2, a3 )線性表示，其中：線性表示，其中：123

13、123111111210(1), , , .2143230121121114(2), , , .4624367912(3), 34aaabaaabaa - - - - - - -23222113, , .254541ab- - -解解 (1) 向量向量 b 能由能由 a1, a2, a3 線性表示當(dāng)且僅當(dāng)線性表示當(dāng)且僅當(dāng)R(A) = R(A, b) 1111103212100121( , )2143000023010000rA b- 因?yàn)橐驗(yàn)镽(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 線性表示線性表示由行最簡(jiǎn)形矩陣可得方程組的通解為由行最簡(jiǎn)形矩

14、陣可得方程組的通解為所以所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 （表示式不唯一）（表示式不唯一）3221cxcc-2112100411140103( , )4624001336790000rA b- - - -可得方程組的解為可得方程組的解為所以所以 b = 4 a1 + 3 a2 3 a3 （表示式唯一）（表示式唯一）433x - -(2) 由由1222122221130173( , )3254001445410001rA b- - -可得可得R(A) = 3R(A, b) =4，故方程組無解。故方程組無解。所以所以 b 不能由向量組不能由向量組A=( a1

15、, a2, a3)線性表示線性表示(3) 由由定義：定義：設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若若向量組向量組 B 中的每個(gè)向量都能由向量組中的每個(gè)向量都能由向量組 A 線性表示，則稱線性表示，則稱向向量組量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示若向量組若向量組 A 與向量組與向量組 B 能互相線性表示，則稱這兩個(gè)能互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量向量組等價(jià)組等價(jià) 2. 2. 向量組的等價(jià)向量組的等價(jià)設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量組若向量組 B 能由向量組能由向量

16、組 A 線性表示，即線性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 線性表示的線性表示的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量組若向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示，即線性表示，即n對(duì)于對(duì)于 b1 ，存在一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k11, k21, , km1 ，使得，使得b1 = k11a1 + k21 a2 + + km1 am ；n對(duì)

17、于對(duì)于 b2 ，存在一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k12, k22, , km2 ，使得，使得b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ；n對(duì)于對(duì)于 bl ，存在一組實(shí)數(shù)，存在一組實(shí)數(shù) k1l , k2l , , kml ，使得，使得bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am若若 Cmn = Aml Bln ，即，即則則 1112121222121212,nnnllllnbbbbbbc cca aabbb 結(jié)論：結(jié)論：矩陣矩陣 C 的列向量組的列向量組能由矩陣能由矩陣 A 的列向量組的列向量組線性表示，線性表示，B 為這一線性表示的系數(shù)矩陣為這一線性表示的系數(shù)

18、矩陣111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 若若 Cmn = Aml Bln ，即，即111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 則則1112111212222212TTlTTlTTmmmlmlaaarbaaarbaaarb 結(jié)論：結(jié)論：矩陣矩陣 C 的行向量組的行向量組能由矩陣能由矩陣 B 的行向量組的行向量組線性表示，線性表示，A 為這一線性表示的系

19、數(shù)矩陣為這一線性表示的系數(shù)矩陣口訣：左行右列口訣：左行右列定理：定理：設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè) mn 矩陣，矩陣，對(duì)對(duì) A 施行一次施行一次初等行變換初等行變換，相當(dāng)于在，相當(dāng)于在 A 的左邊的左邊乘以相應(yīng)乘以相應(yīng)的的 m 階初等矩陣；階初等矩陣；對(duì)對(duì) A 施行一次施行一次初等列變換初等列變換，相當(dāng)于在，相當(dāng)于在 A 的右邊的右邊乘以相應(yīng)乘以相應(yīng)的的 n 階初等矩陣階初等矩陣. .結(jié)論：結(jié)論：若若 C = AB ，那么，那么p矩陣矩陣 C 的行向量組的行向量組能由矩陣能由矩陣 B 的行向量組的行向量組線性表示，線性表示，A為為這一線性表示的系數(shù)矩陣這一線性表示的系數(shù)矩陣（A 在左邊）在左邊）p矩陣矩

20、陣 C 的列向量組的列向量組能由矩陣能由矩陣 A 的列向量組的列向量組線性表示，線性表示，B為為這一線性表示的系數(shù)矩陣這一線性表示的系數(shù)矩陣（B 在右邊）在右邊）cABA 經(jīng)過有限次初等經(jīng)過有限次初等列列變換變成變換變成 B存在有限個(gè)初等矩陣存在有限個(gè)初等矩陣P1, P2, , Pl ，使，使 AP1 P2 , Pl = B存在存在 m 階階可逆矩陣可逆矩陣 P，使得，使得 AP = B矩陣矩陣 B 的列向量組的列向量組與矩陣與矩陣 A 的列向量組的列向量組等價(jià)等價(jià)rAB矩陣矩陣 B 的行向量組的行向量組與矩陣與矩陣 A 的行向量組的行向量組等價(jià)等價(jià) 同理可得同理可得 口訣：左行右列口訣：左行

21、右列. .把把 P 看成看成是是線性表示線性表示的的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣向量組向量組 B：b1, b2, , bl 能由向量組能由向量組 A：a1, a2, , am 線性表示線性表示存在矩陣存在矩陣 K，使得，使得 AK = B 矩陣方程矩陣方程 AX = B 有解有解 R(A) = R(A, B) （P.114 向量組等秩擴(kuò)充定理）向量組等秩擴(kuò)充定理）R(B) R(A) （P.112向量組秩向量組秩的的比較定理）比較定理）推論：推論：向量組向量組 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl 等價(jià)的充分等價(jià)的充分必要條件是必要條件是 R(A) = R(B) = R(A, B

22、)（P.114 向量組等秩擴(kuò)充定理）向量組等秩擴(kuò)充定理）證明：證明：向量組向量組 A 和和 B 等價(jià)等價(jià) 向量組向量組 B 能由向量組能由向量組 A 線性表示線性表示 向量組向量組 A 能由向量組能由向量組 B 線性表示線性表示從而有從而有R(A) = R(B) = R(A, B) 因?yàn)橐驗(yàn)?R(B) R(A, B) R(A) = R(A, B)R(B) = R(A, B)向量組等價(jià)的性質(zhì)：向量組等價(jià)的性質(zhì)：設(shè)設(shè)A, B, C為同維向量組，則為同維向量組，則 反身性：反身性：任何向量組都與其自身等價(jià)。任何向量組都與其自身等價(jià)。 對(duì)稱性對(duì)稱性：若：若A與與B等價(jià)，則等價(jià)，則B與與A等價(jià)。等價(jià)。(

23、1)傳遞性：傳遞性： 若若A與與B等價(jià)，等價(jià)，B與與C等價(jià)，則等價(jià)，則A與與C等價(jià)。等價(jià)。3. 生成空間的結(jié)論生成空間的結(jié)論設(shè)向量組設(shè)向量組A: a1 , a2 , ., am 和向量組和向量組B: b1 , b2 , ., bs 等價(jià)，記等價(jià)，記L1 = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam | l l1, l l2, ., l lmR ，L2 = m m1b1 + m m2b2 + + m ms bs | m m1, m m2, ., m msR ，則則 L1 = L2 結(jié)論：結(jié)論：等價(jià)的向量組所生成的空間相等等價(jià)的向量組所生成的空間相等小結(jié)小結(jié)( )( , )R AR A

24、 b 向量向量 b 能由能由向量組向量組 A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解( )( ,)R AR A B 向量組向量組 B 能能由向量組由向量組 A線性表示線性表示矩陣方程組矩陣方程組AX = B 有解有解( )( )R BR A ( )( )( ,)R AR BR A B向量組向量組 A 與與向量組向量組 B等價(jià)等價(jià)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖知識(shí)結(jié)構(gòu)圖n維向量維向量向量組向量組向量組與矩陣的對(duì)應(yīng)向量組與矩陣的對(duì)應(yīng)向量組的線性組合向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的線性表示向量組的等價(jià)向量組的等價(jià)判定定理及必要條件判定定理及必要條件判定定理判定定理2 向量的線性相關(guān)性向量的線

25、性相關(guān)性回顧：向量組的線性組合回顧：向量組的線性組合定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am ， 對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)對(duì)于任何一組實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，表達(dá)式，表達(dá)式k1a1 + k2a2 + + kmam稱為向量組稱為向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合k1, k2, , km 稱為這個(gè)稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù)定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am 和向量和向量 b，如果存在一組，如果存在一組實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) l l1, l l2, , l lm ，使得，使得b = l l1a1 + l l2a2 + + l lmam則稱則稱向量

26、向量 b 能由向量組能由向量組 A 的線性表示的線性表示引言引言問題問題1：給定向量組給定向量組 A，零向量是否可以由向量組，零向量是否可以由向量組 A 線性表線性表 示？示？問題問題2：如果零向量可以由向量組如果零向量可以由向量組 A 線性表示，線性組合的線性表示，線性組合的 系數(shù)是否不全為零？系數(shù)是否不全為零？( )( , )R AR A b 向量向量b 能由能由向量組向量組 A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解問題問題1：給定向量組給定向量組 A，零向量是否可以由向量組，零向量是否可以由向量組 A 線性表示？線性表示？問題問題1：齊次線性方程組齊次線性方程組 A

27、x = 0 是否存在解？是否存在解？回答：回答：齊次線性方程組齊次線性方程組 Ax= 0 一定存在解一定存在解事實(shí)上，可令事實(shí)上，可令k1 = k2 = = km =0 ，則，則k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量）問題問題2：如果零向量可以由向量組如果零向量可以由向量組 A 線性表示，線性組合的系數(shù)線性表示，線性組合的系數(shù) 是否不全為零？是否不全為零？問題問題2：齊次線性方程組齊次線性方程組 Ax = 0 是否存在是否存在非零解非零解？回答：回答：齊次線性方程組不一定有非零解，從而線性組合的系數(shù)齊次線性方程組不一定有非零解，從而線性組合的系數(shù) 不一定全等于零不一定

28、全等于零例：例：設(shè)設(shè) 123100,010001Ee e e11 1223312323100001000010kk ek ek ekkkkk 若若則則 k1 = k2 = k3 =0 一、向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性相關(guān)性定義：定義：給定向量組給定向量組 A：a1, a2, , am ，如果存在，如果存在不全為零不全為零的實(shí)的實(shí)數(shù)數(shù) k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量）則稱向量組則稱向量組 A 是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱它是的，否則稱它是線性無關(guān)線性無關(guān)的的向量組向量組A：a1, a2, , am線性相關(guān)線性相關(guān)m

29、元齊次線性方程組元齊次線性方程組Ax = 0有非零解有非零解R(A) m例：例：設(shè)設(shè) 123100,010001Ee e e11 1223312323100001000010kk ek ek ekkkkk 若若則則 k1 = k2 = k3 =0 ，故，故E線性無關(guān)。線性無關(guān)。 備注備注: p 給定向量組給定向量組 A，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居，不是線性相關(guān)，就是線性無關(guān)，兩者必居其一其一p 含有零向量的向量組是線性相關(guān)的含有零向量的向量組是線性相關(guān)的. .p 向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性相關(guān)，通常是指線性相關(guān)，通常是指 m 2 的情形的情形. .p 若向量組只

30、包含一個(gè)向量：當(dāng)若向量組只包含一個(gè)向量：當(dāng) a 是是零向量零向量時(shí)，線性相關(guān)；時(shí)，線性相關(guān)；當(dāng)當(dāng) a 不是不是零向量零向量時(shí)，線性無關(guān)時(shí)，線性無關(guān)p 若向量組只含有兩個(gè)向量若向量組只含有兩個(gè)向量a1, a2，則，則a1, a2 線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) a1, a2 的分量的分量對(duì)應(yīng)成比例對(duì)應(yīng)成比例，其幾何意義是兩向量共線，其幾何意義是兩向量共線p 向量組向量組 A：a1, a2, , am (m 2) 線性相關(guān)，也就是向量組線性相關(guān)，也就是向量組 A 中，至少有一個(gè)向量能由其余中，至少有一個(gè)向量能由其余 m1 個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組線性

31、相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性相關(guān)線性相關(guān)存在存在不全為零不全為零的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解有非零解矩陣矩陣A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的個(gè)數(shù)的秩小于向量的個(gè)數(shù) m 向量組向量組 A 中至少有一個(gè)向量能由其余中至少有一個(gè)向量能由其余 m1 個(gè)向量線性個(gè)向量線性表示表示二、線性相關(guān)性的判定二、線性相關(guān)性的判定向量組線性無關(guān)性的判定向量組線性無關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）（重點(diǎn)、難點(diǎn)

32、）向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性無關(guān)線性無關(guān)如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量），則必有，則必有k1 = k2 = = km =0 m 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0 只只有零解有零解矩陣矩陣A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的個(gè)數(shù)的秩等于向量的個(gè)數(shù) m 向量組向量組 A 中任何一個(gè)向量都不能由其余中任何一個(gè)向量都不能由其余 m1 個(gè)向量線個(gè)向量線性表示性表示向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組線性相關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性相關(guān)線性相關(guān)存在存在不全為

33、零不全為零的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) k1, k2, , km ，使得，使得k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量）（零向量） m 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0 有非零解有非零解矩陣矩陣A = (a1, a2, , am ) 的秩小于向量的個(gè)數(shù)的秩小于向量的個(gè)數(shù) m 向量組向量組 A 中至少有一個(gè)向量能由其余中至少有一個(gè)向量能由其余 m1 個(gè)向量線性個(gè)向量線性表示表示向量組線性無關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組線性無關(guān)性的判定（重點(diǎn)、難點(diǎn)）向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性無關(guān)線性無關(guān)如果如果 k1a1 + k2a2 + + kmam =0（零向量），則必有（零

34、向量），則必有k1 = k2 = = km =0 m 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = 0 只只有零解有零解矩陣矩陣A = (a1, a2, , am ) 的秩等于向量的個(gè)數(shù)的秩等于向量的個(gè)數(shù) m 向量組向量組 A 中任何一個(gè)向量都不能由其余中任何一個(gè)向量都不能由其余 m1 個(gè)向量線個(gè)向量線性表示性表示例：例：試討論試討論 n 維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性例：例：已知已知試討論向量組試討論向量組 a1, a2, a3 及向量組及向量組a1, a2 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性解：解：可見可見 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量組，故向量組 a1, a

35、2, a3 線性相關(guān)；線性相關(guān)；同時(shí)，同時(shí)，R(a1, a2 ) = 2，故向量組，故向量組 a1, a2 線性無關(guān)線性無關(guān)1231021 , 2 , 4 ,157aaa 102102124 022157000r 例例線性相關(guān)線性相關(guān)( (線性無關(guān)線性無關(guān)) )的充分必要條件是行列式的充分必要條件是行列式0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa()0 三、線性相關(guān)性的性質(zhì)三、線性相關(guān)性的性質(zhì)l向量組相關(guān)充要條件向量組相關(guān)充要條件 向量組向量組 A ：a1, a2, , am 線性相關(guān)的充要條件是向量組線性相關(guān)的充要條件是向量組 A 中中至少有一個(gè)向量能由其余至少有一個(gè)向量能由

36、其余 m1 個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示. l線性表示唯一性線性表示唯一性 設(shè)向量設(shè)向量 b 能由向量組能由向量組 A: a1, a2, , am 線性表示，則表示式唯線性表示，則表示式唯一的充要條件是向量組一的充要條件是向量組A線性無關(guān)線性無關(guān) l向量組擴(kuò)充性質(zhì)向量組擴(kuò)充性質(zhì) 設(shè)向量組設(shè)向量組 A ：a1, a2, , am， B ：a1, a2, , am, b，則，則若若A線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則B線性相關(guān)；線性相關(guān)；若若B線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則A線性無關(guān)；線性無關(guān)；若若A線性無關(guān)，線性無關(guān)，B線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則向量向量 b 必能由向量組必能由向量組 A 線性線性表示，且表示式是

37、唯一的表示，且表示式是唯一的l向量組增維性質(zhì)向量組增維性質(zhì) 設(shè)向量組設(shè)向量組 A ：a1, a2, , am， 向量組向量組 B ：b1, b2, , bm, 其其中中 則有以下結(jié)論：則有以下結(jié)論： 若若A線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則B線性無關(guān)；線性無關(guān)； 若若 B 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則A 線性相關(guān)線性相關(guān)l小表大定理小表大定理 設(shè)向量組設(shè)向量組 B ：b1, b2, , bt可由向量組可由向量組 A ：a1, a2, , as線線性表示，若性表示，若ts, 則則B線性相關(guān)。線性相關(guān)。 逆否命題逆否命題：設(shè)：設(shè)向量組向量組 B ：b1, b2, , bt可由向量組可由向量組 A ：a1, a2

38、, , as線性表示，若線性表示，若B線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則ts。 推論：推論：若向量組若向量組A與向量組與向量組B等價(jià)且線性無關(guān)，則等價(jià)且線性無關(guān)，則A與與B中所含向量個(gè)數(shù)相同。中所含向量個(gè)數(shù)相同。(1,2,.,)iiiabim 例：例：已知向量組已知向量組 a1, a2, a3 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，試證明向量組試證明向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)解題思路：解題思路：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題；轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題例：例：已知向量組已知向量組 a1, a

39、2, a3 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，試證明向量組試證明向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)解法解法1：轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的問題已知已知 ，記作，記作 B = AK 設(shè)設(shè) Bx = 0 ，則，則(AK)x = A(Kx) = 0 因?yàn)橄蛄拷M因?yàn)橄蛄拷M a1, a2, a3 線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以Kx = 0 又又 |K| = 2 0，那么，那么Kx = 0 只有零解只有零解 x = 0 ，從而向量組從而向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)123123101(,)(,) 11

40、0011b b ba a a 例：例：已知向量組已知向量組 a1, a2, a3 線性無關(guān)，且線性無關(guān)，且b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，試證明向量組試證明向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)解法解法2：轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題轉(zhuǎn)化為矩陣的秩的問題已知已知 ，記作，記作 B = AK 因?yàn)橐驗(yàn)閨K| = 2 0，所以，所以K 可逆，可逆，R(A) = R(B)，又向量組又向量組 a1, a2, a3 線性無關(guān)，線性無關(guān)， R(A) = 3，從而從而R(B) = 3，向量組，向量組 b1, b2, b3 線性無關(guān)線性無關(guān)123123101(,)(,)

41、110011b b ba a a 定理定理 設(shè)向量組設(shè)向量組 A ：a1, a2, , am 線性無關(guān)，線性無關(guān)， 而向量組而向量組 B ：b1, b2, , bt, 可由可由A線性表示，線性表示系數(shù)矩陣為線性表示，線性表示系數(shù)矩陣為K，若，若R(K)=t，則，則B線性無關(guān)，否則線性相關(guān)。線性無關(guān)，否則線性相關(guān)。 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)K為方陣時(shí)，即為方陣時(shí)，即A和和B中向量個(gè)數(shù)相同時(shí)，中向量個(gè)數(shù)相同時(shí)，B線線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)|K|0。3 向量組的最大無關(guān)組與秩向量組的最大無關(guān)組與秩矩陣矩陣線性線性方程組方程組有限有限向量組向量組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對(duì)

42、應(yīng)有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)Ax = b 有解有解當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)向量向量 b 可由矩陣可由矩陣 A的列向量組線性表示的列向量組線性表示向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性相關(guān)線性相關(guān)的充要條件是矩陣的充要條件是矩陣 A = (a1, a2, , am ) 的秩的秩小于小于向量的個(gè)數(shù)向量的個(gè)數(shù) m ；向量組向量組 A：a1, a2, , am 線性無關(guān)線性無關(guān)的充要條件是矩陣的充要條件是矩陣 A = (a1, a2, , am ) 的秩的秩等于等于向量的個(gè)數(shù)向量的個(gè)數(shù) m n元線性方程組元線性方程組 Ax = b其中其中 A 是是 nm 矩陣矩陣矩陣矩陣 (A, b)向量組向量組 A

43、: a1, a2, ,an 及及向量向量 b是否存在解？是否存在解？R(A) = R(A, b) 成立？成立？向量向量 b 能否由向量組能否由向量組 A線線性表示？性表示？無解無解R(A) R(A, b) NO有解有解R(A) = R(A, b) YESx 的分量是線性組合的系數(shù)的分量是線性組合的系數(shù)唯一解唯一解R(A) = R(A, b) = 未知數(shù)個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式唯一表達(dá)式唯一無窮解無窮解R(A) = R(A, b) 未知數(shù)個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式不唯一表達(dá)式不唯一回顧：矩陣的秩回顧：矩陣的秩 矩陣的秩矩陣的秩= 矩陣中最高階非零子式的階數(shù)矩陣中最高階非零子式的階數(shù) = 矩陣對(duì)應(yīng)的行階梯形

44、矩陣的非零行的行數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)一、向量組的秩的概念一、向量組的秩的概念定義：定義：設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A ，如果在，如果在 A 中能選出中能選出 r 個(gè)向量個(gè)向量a1, a2, , ar，滿足，滿足n向量組向量組 A0 ：a1, a2, , ar 線性無關(guān)；線性無關(guān)；n向量組向量組 A 中任意中任意 r + 1個(gè)向量（如果個(gè)向量（如果 A 中有中有r + 1個(gè)向量的個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；話）都線性相關(guān)；那么稱向量組那么稱向量組 A0 是向量組是向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)最大線性無關(guān)向量組最大線性無關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組最大無關(guān)組最大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)最大無關(guān)組所

45、含向量個(gè)數(shù) r 稱為稱為向量組向量組 A 的秩的秩，記作，記作RA 例：例：求矩陣求矩陣 的秩，并求的秩，并求 A 的一個(gè)的一個(gè)最高階非零子式最高階非零子式21112112144622436979A- - - -第二步求第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列的第一個(gè)非零元所在的列 ，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣行階梯形矩陣有行階梯形矩陣有 3 個(gè)非零行，故個(gè)非零行，故R(A)

46、 = 3 2111211214112140111046224000133697900000rA- - - - - - - - - - - - - 0124211111(,)462367rAa a a- - - - - 0111011001000B 01240211111111011(,)462001367000rAa a aB- - - - - R(A0) = 3，計(jì)算，計(jì)算 A0的前的前 3 行構(gòu)成的子式行構(gòu)成的子式21111180462- - - - -因此這就是因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式結(jié)論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩結(jié)論：矩陣的最高階非

47、零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的是唯一的事實(shí)上，事實(shí)上，n根據(jù)根據(jù) R(A0) = 3 可知：可知： A0的的 3 個(gè)列向量就是個(gè)列向量就是矩陣矩陣 A 的列向量組的一的列向量組的一個(gè)線性無關(guān)的部分組個(gè)線性無關(guān)的部分組n在矩陣在矩陣 A 任取任取 4 個(gè)列向量個(gè)列向量，根據(jù)，根據(jù) R(A) = 3 可知：可知：A中所有中所有4 階子式階子式都等于零，從而這都等于零，從而這 4 個(gè)列向量所對(duì)應(yīng)的矩陣的秩小于個(gè)列向量所對(duì)應(yīng)的矩陣的秩小于 4，即這，即這 4 個(gè)個(gè)列向量列向量線性相關(guān)線性相關(guān)nA0的的 3 個(gè)列向量就是個(gè)列向量就是矩陣矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組的列向量組的一個(gè)最

48、大線性無關(guān)組n矩陣矩陣 A 的列向量組的秩等于的列向量組的秩等于 3n同理可證，矩陣同理可證，矩陣 A 的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于 301240211111111011(,)462001367000rAa a aB- - - - - 矩陣矩陣線性線性方程組方程組有限有限向量組向量組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax = b 有解有解當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)向量向量 b 能否由向量組能否由向量組 A 線性表示線性表示一般地，一般地，n矩陣的秩等于它的列向量組的秩矩陣的秩等于它的列向

49、量組的秩矩陣的秩等于它的行向量組的秩矩陣的秩等于它的行向量組的秩 今后，向量組今后，向量組 a1, a2, , am 的秩也記作的秩也記作 R(a1, a2, , am ) n若若Dr 是矩陣是矩陣 A 的一個(gè)最高階非零子式，則的一個(gè)最高階非零子式，則Dr 所在的所在的 r 列是列是 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，Dr 所在的所在的 r 行是行是 A 的行的行向量組的一個(gè)最大無關(guān)組向量組的一個(gè)最大無關(guān)組n向量組的最大無關(guān)組向量組的最大無關(guān)組一般一般是不唯一的是不唯一的n線性無關(guān)的向量組線性無關(guān)的向量組A的最大無關(guān)組是的最大無關(guān)組是唯一唯一的，就是其自身。的，就是其

50、自身。例：例：已知已知試討論向量組試討論向量組 a1, a2, a3 及向量組及向量組a1, a2 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性解：解：可見可見 R(a1, a2 ) = 2，故向量組，故向量組 a1, a2 線性無關(guān)，線性無關(guān)，同時(shí)，同時(shí)， R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量組，故向量組 a1, a2, a3 線性相關(guān)，線性相關(guān)，從而從而 a1, a2 是向量組是向量組 a1, a2, a3 的一個(gè)最大無關(guān)組的一個(gè)最大無關(guān)組事實(shí)上，事實(shí)上， a1, a3 和和 a2, a3 也是最大無關(guān)組也是最大無關(guān)組1231021 , 2 , 4 ,157aaa 102102124 02215700

51、0r 二、最大無關(guān)組的等價(jià)定義二、最大無關(guān)組的等價(jià)定義結(jié)論：結(jié)論：向量組向量組 A 和它自己的最大無關(guān)組和它自己的最大無關(guān)組 A0 是等價(jià)的是等價(jià)的定義：定義：設(shè)有向量組設(shè)有向量組 A ，如果在，如果在 A 中能選出中能選出 r 個(gè)向量個(gè)向量a1, a2, , ar，滿足，滿足n向量組向量組 A0 ：a1, a2, , ar 線性無關(guān)；線性無關(guān)；n向量組向量組 A 中任意中任意 r + 1個(gè)向量（如果個(gè)向量（如果 A 中有中有 r + 1個(gè)向量的個(gè)向量的話）都線性相關(guān)；話）都線性相關(guān)；n向量組向量組 A 中任意一個(gè)向量都能由向量組中任意一個(gè)向量都能由向量組 A0 線性表示；線性表示；那么稱向量

52、組那么稱向量組 A0 是向量組是向量組 A 的一個(gè)的一個(gè)最大無關(guān)組最大無關(guān)組矩陣矩陣線性線性方程組方程組有限有限向量組向量組無限無限向量組向量組系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)有限向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)矩陣的秩等于列（行）向量組的秩矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax = b 有解有解當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)向量向量 b 能否由向量組能否由向量組 A 線性表示線性表示向量組與自己的向量組與自己的最大無關(guān)組等價(jià)最大無關(guān)組等價(jià)三、最大無關(guān)組的意義三、最大無關(guān)組的意義結(jié)論：結(jié)論：向量組向量組 A 和它自己的最大無關(guān)組和它自己的最大無關(guān)組 A0 是等價(jià)的是等價(jià)的l用用 A0 來代表來代表

53、A，掌握了最大無關(guān)組，就掌握了向量組的，掌握了最大無關(guān)組，就掌握了向量組的全體全體特別，當(dāng)向量組特別，當(dāng)向量組 A 為無限向量組，就能用有限向量組來為無限向量組，就能用有限向量組來代表代表l凡是對(duì)有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，凡是對(duì)有限向量組成立的結(jié)論，用最大無關(guān)組作過渡，立即可推廣到無限向量組的情形中去立即可推廣到無限向量組的情形中去例：例： 全體全體 n 維向量構(gòu)成的向量組記作維向量構(gòu)成的向量組記作 Rn，求，求 Rn 的一個(gè)最大的一個(gè)最大無關(guān)組及無關(guān)組及 Rn 的秩的秩解：解： n 階單位矩陣階單位矩陣 的列向的列向量組是量組是 Rn 的一個(gè)最大無關(guān)組，的一個(gè)最大無關(guān)組，Rn

54、 的秩等于的秩等于n 思考：思考：上三角形矩陣上三角形矩陣 的列向量組是的列向量組是 Rn 的的一個(gè)最大無關(guān)組嗎？一個(gè)最大無關(guān)組嗎？ 12100010,001nEe ee111011001A 例：例：設(shè)齊次線性方程組設(shè)齊次線性方程組 的通解是的通解是試求全體解向量構(gòu)成的向量組試求全體解向量構(gòu)成的向量組 S 的秩的秩1234124123422023 0570 xxxxxxxxxxx - - - - - - - 12123434231001xxccxx- - -例：例：求矩陣求矩陣 的秩，并求的秩，并求 A 的一個(gè)的一個(gè)最高階非零子式最高階非零子式21112112144622436979A- -

55、- -例：例：設(shè)矩陣設(shè)矩陣求矩陣求矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示21112112144622436979A- - - -第二步求第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行的第一個(gè)非零元所在的列的第一個(gè)非零元所在的列 ，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣，與之對(duì)應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、的第一、二、四列二、四列解：解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣行階梯形矩陣有行階梯形矩陣

56、有 3 個(gè)非零行，故個(gè)非零行，故R(A) = 3 2111211214112140111046224000133697900000rA- - - - - - - - - - - - - 0124211111(,)462367rAa a a- - - - - 0111011001000B R(A0) = 3，計(jì)算，計(jì)算 A0的前的前 3 行構(gòu)成的子式行構(gòu)成的子式21111180462- - - - -因此這就是因此這就是 A 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式A0的的 3 個(gè)列向量就是個(gè)列向量就是矩陣矩陣 A 的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組01240211111111

57、011(,)462001367000rAa a aB- - - - - 123452111211214(,)4622436979Aa a a a a- - -思考：思考：如何把如何把 a3, a5 表示成表示成a1, a2, a4 的線性組合？的線性組合？思路思路1：利用前面結(jié)論利用前面結(jié)論思路思路2：利用矩陣?yán)镁仃?A 的的行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣向量向量 b 能由能由向量組向量組 A線性表示線性表示線性方程組線性方程組 Ax = b 有解有解 令令 A0 = (a1, a2, a4)求解求解 A0 x = a3 A0 x = a5解（續(xù)）：解（續(xù)）：為把為把 a3, a5 表示成表示成a

58、1, a2, a4 的線性組合，把矩陣的線性組合，把矩陣 A 再變成再變成行最簡(jiǎn)形矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣2111210104112140110346224000133697900000rAB- - - - - - - - - - - - - 于是于是 Ax = 0 與與 Bx = 0 ，即，即x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0 x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0 同解同解即矩陣即矩陣 A 的的列向量組列向量組與矩陣與矩陣 B 的的列向量組列向量組有相同的線性關(guān)系有相同的線性關(guān)系. .211121010411214011034

59、6224000133697900000rAB- - - - - - - - - - - - - 可以看出：可以看出：b3 = b1 b2 b5 = 4b1 + 3b2 3b4所以所以a3 = a1 a2 a5 = 4a1 + 3a2 3a4四、向量空間的結(jié)構(gòu)四、向量空間的結(jié)構(gòu)定義：定義：設(shè)有設(shè)有向量空間向量空間 V ，如果在，如果在 V 中能選出中能選出 r 個(gè)向量個(gè)向量a1, a2, , ar，滿足，滿足 a1, a2, , ar 線性無關(guān)；線性無關(guān)； V 中任意一個(gè)向量都能由中任意一個(gè)向量都能由 a1, a2, , ar 線性表示；線性表示；那么稱向量組那么稱向量組 a1, a2, , a

60、r 是是向量空間向量空間 V 的一個(gè)的一個(gè)基基r 稱為稱為向量空間向量空間 V 的維數(shù)的維數(shù)，并稱，并稱 V 為為 r 維向量空間維向量空間 向量空間向量空間向量空間的基向量空間的基向量空間的維數(shù)向量空間的維數(shù)向量組向量組向量組的最大無關(guān)組向量組的最大無關(guān)組向量組的秩向量組的秩1. 1. 向量空間的基與維數(shù)向量空間的基與維數(shù) n 維向量的全體維向量的全體 Rn解：解：En 的列向量組是的列向量組是 Rn 的一個(gè)基，故的一個(gè)基，故Rn 的維數(shù)等于的維數(shù)等于 n . . 集合集合 V1 = (0, x2, , xn)T | x2, , xnR 解：解：En 的后的后 n1個(gè)個(gè)列向量是列向量是V1