導數(shù)的乘法與除法法則

1、4.2 導數(shù)的乘法與除法法則 )()(xgxf)()(xgxf 前面學習了導數(shù)的加法與減法法則，下面進行前面學習了導數(shù)的加法與減法法則，下面進行復習回顧：復習回顧： 對于導數(shù)的乘法與除法法則，我們能否給出這對于導數(shù)的乘法與除法法則，我們能否給出這樣的結(jié)論呢？樣的結(jié)論呢？)()()()(),()()()(xgxfxgxfxgxfxgxf答案是否定的，那么如何求導數(shù)的乘法與除法？請答案是否定的，那么如何求導數(shù)的乘法與除法？請進入本節(jié)課的學習！進入本節(jié)課的學習！1.1.了解兩個函數(shù)的乘、除的求導公式了解兩個函數(shù)的乘、除的求導公式. .2.2.會運用公式，求含有和、差、乘、除綜合運算的函會運用公式，求

2、含有和、差、乘、除綜合運算的函數(shù)的導數(shù)數(shù)的導數(shù). .（重點）（重點）3.3.函數(shù)和、差、乘、除導數(shù)公式的應用，運用導數(shù)的函數(shù)和、差、乘、除導數(shù)公式的應用，運用導數(shù)的幾何意義，求過曲線上一點的切線幾何意義，求過曲線上一點的切線. .（難點）（難點）探究點探究點1 1 導數(shù)乘法公式的推導應用導數(shù)乘法公式的推導應用提示：提示： 計算導數(shù)的步驟計算導數(shù)的步驟 求求y求求xy求求xyx0lim20020yf(x)xf (x ),g(x)x .yf(x)g(x)x f(x)x設函數(shù)在處的導數(shù)為我們來求在處的導數(shù).解析：解析：給定自變量給定自變量x x0 0的一個改變量的一個改變量x x，則函數(shù)值，則函數(shù)值

3、y y的的改變量為改變量為220000220000222000000222000000yxxf(xx)x f(x ),(xx) f(xx)x f(x )yxx(xx)f(xx)f(x )(xx)xf(x )xf(xx)f(x )(xx)x(xx)f(x ).xx 相應的平均變化率可寫成2200 x0000 x022000 x0 x0,lim(xx)x ,f(xx)f(x ) limf (x ),x(xx)x lim2x ,x 令由于)()()(2xfxxgxf知知 在在x x0 0處的導數(shù)值為處的導數(shù)值為 因此，因此， 的導數(shù)為的導數(shù)為)(2xfx22x f (x)(x ) f(x).2000

4、0 x f (x )2x f(x ).抽象概括抽象概括 一般地，若兩個函數(shù)一般地，若兩個函數(shù)f(x)f(x)和和g(x)g(x)的導數(shù)分的導數(shù)分別是別是 ，我們有，我們有 )()(xgxf和f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g (x),2f(x)f (x)g(x)f(x)g (x).g(x)g (x) 比較與加減比較與加減法則的不同法則的不同特別地，當特別地，當 時，有時，有 . .kxg)()()(xf kxkf思考交流：思考交流：下列式子是否成立？試舉例說明下列式子是否成立？試舉例說明.設設 ，試說明：，試說明：23)(,)(xxgxxf)()()()(xgxfxgxf)()()(

5、)(xgxfxgxf，. .解析：解析：32543223f(x)g(x)x x(x )5x ,f (x)g (x)(x ) (x )3x 2x6x ,顯然顯然同理同理)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf.例例1 1 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：解：解：（1 1）函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2e ex x是函數(shù)是函數(shù)f f（x x）=x=x2 2與與g g（x x）=e=ex x之積，由導數(shù)公式表分別得出之積，由導數(shù)公式表分別得出xf (x)2x,g (x)e 2xx2x2x(x e )2xex e(2xx )e . 根據(jù)兩函數(shù)之積的求導法則，可得根據(jù)兩函數(shù)之積的

6、求導法則，可得x.xyxxyexyxln)3(.sin)2(.)(21（2 2）函數(shù)）函數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) 之積，由導數(shù)公式表分別得出之積，由導數(shù)公式表分別得出xxysinxxgxxfsin)()(與1f (x),g (x)cosx.2 xsinx( x sinx)x cosx.2 x根據(jù)兩函數(shù)之積的求導法則，可得根據(jù)兩函數(shù)之積的求導法則，可得（3 3）函數(shù)）函數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) 之積，由導數(shù)公式表分別得出之積，由導數(shù)公式表分別得出根據(jù)函數(shù)乘法的求導法則，可得根據(jù)函數(shù)乘法的求導法則，可得xxylnxxgxxfln)()( 與1f (x)1,g (x).x1(xlnx)1 lnxxlnx1.x 例例

7、2 2 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：2sinxx(1)y; (2)y.xlnxxxysin. 1)(,cos)(xgxxf解：解：(1)(1)函數(shù)函數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) f f（x x）=sinx=sinx與與g g（x x）=x=x之商，由導數(shù)公式表分別得出之商，由導數(shù)公式表分別得出由求導的除法法則得由求導的除法法則得22sinxcosx xsinx 1xcosxsinx.xxx（2 2）函數(shù)）函數(shù) 是函數(shù)是函數(shù) f f（x x）=x=x2 2與與g g（x x）=ln x=ln x之商，根據(jù)導數(shù)公式表分別得出之商，根據(jù)導數(shù)公式表分別得出xxyln2.1)(,2)(xxgxxf由求導的除

8、法法則得由求導的除法法則得222212x lnxxxx(2lnx1)x.lnx(lnx)ln x求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：解析：解析：3x1(1)yx sinx.(2)y.x123(1)y3x sinxx cosx. 【變式練習變式練習】22(x1)(x1)(2)y(x1)2.(x1) 探究點探究點2 2 導數(shù)四則運算法則的靈活運用導數(shù)四則運算法則的靈活運用 較為復雜的求導運算，一般綜合了和、差、較為復雜的求導運算，一般綜合了和、差、積、商的幾種運算，要注意：積、商的幾種運算，要注意：(1)(1)先將函數(shù)式化簡，先將函數(shù)式化簡，化為基本初等函數(shù)的和、差、積、商化為基本初等函數(shù)的和、差

9、、積、商.(2).(2)根據(jù)導根據(jù)導數(shù)的四則運算法則和公式求導，注意公式法則的數(shù)的四則運算法則和公式求導，注意公式法則的層次性層次性例例3 3 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：22cosxx(1)yx (lnxsinx).(2)y.x1f (x)2x,g (x)cosx.x解：解：（1 1）函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2(ln x+sin x)(ln x+sin x)是函數(shù)是函數(shù)f f（x x）=x=x2 2與與g g（x x）=ln x+sin x=ln x+sin x的積，由導數(shù)公式表及和函數(shù)的的積，由導數(shù)公式表及和函數(shù)的求導法則分別得出求導法則分別得出由求導的乘法法則得由求導的乘法法則得

10、2221xlnxsinx2x lnxsinxxcosxxx2xlnx2xsinxx cosx.2cosxxxy.2)(, 1sin)(xxgxxf（2 2）函數(shù)函數(shù) 可以看成是函數(shù)可以看成是函數(shù)f f（x x）=cosx-x=cosx-x與與g(x)=xg(x)=x2 2的商，由導數(shù)公式表及差函數(shù)的求導法則分的商，由導數(shù)公式表及差函數(shù)的求導法則分別得出別得出由求導的除法法則得由求導的除法法則得222233sinx1xcosxx2xcosxxx(x )(1 sinx)x2cosx2xxsinx2cosxx.xx 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：22x(1)y4x(x2).(2)y.x1解：解

11、：(1)y4(x2)4x8x8. 【變式練習變式練習】2222222(x1)2x 2x(2)y(x1)22x.(x1) 【提升總結(jié)提升總結(jié)】利用導數(shù)公式及導數(shù)運算法則求導的方法利用導數(shù)公式及導數(shù)運算法則求導的方法觀察函數(shù)的結(jié)構特征，緊扣導數(shù)運算法觀察函數(shù)的結(jié)構特征，緊扣導數(shù)運算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，分則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，分析函數(shù)能否直接應用導數(shù)公式求導析函數(shù)能否直接應用導數(shù)公式求導. .觀察觀察分析分析對不易于直接應用求導公式的函數(shù)，對不易于直接應用求導公式的函數(shù)，適當運用代數(shù)、三角恒等變換，對函適當運用代數(shù)、三角恒等變換，對函數(shù)進行化簡，優(yōu)化解題過程數(shù)進行化簡，優(yōu)化解

12、題過程. .求導時應盡量避免使用積或商的求求導時應盡量避免使用積或商的求導法則，可在求導前先化簡，然后導法則，可在求導前先化簡，然后求導，以簡化運算求導，以簡化運算. .變形變形化簡化簡例例4 4 求曲線求曲線 在點（在點（1,11,1）處的切）處的切線方程線方程. .xxxfxln2)(xxxxf (x)x(2 ) lnx2 (lnx)21(2 ln2)lnx.x 112f (1)12 ln2ln13.1 解：解：首先求函數(shù)的導函數(shù)首先求函數(shù)的導函數(shù)將將x=1x=1代入代入f f(x),(x),得所求切線的斜率得所求切線的斜率y 13(x1),y3x2. 即 在點（在點（1,11,1）處的切

13、線方程為）處的切線方程為xxxfxln2)(探究點探究點3 3 應用導數(shù)運算法則求曲線的切線應用導數(shù)運算法則求曲線的切線已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)ax6x2b的圖像在的圖像在點點 M(1，f(1)處的切線方程為處的切線方程為 x2y50，求函數(shù)，求函數(shù) yf(x)的解析式的解析式 解析：解析：【變式練習變式練習】解得解得 a2，b3 或或 a6，b1(由由 b10，故舍去故舍去 b1)， 所以所求函數(shù)解析式為所以所求函數(shù)解析式為 f(x)2x6x23. 1.1.函數(shù)函數(shù) 的導數(shù)是（的導數(shù)是（ ）2y3x(x2) 22A. 3x6B. 6x C C8354xxy334255(4x3)A.B.4x

14、3(x3x8) 2.2.函數(shù)函數(shù)的導數(shù)為（的導數(shù)為（ ） D D22C. 9x6D. 6x6 3425(4x3)C. 0D.(x3x8) 3. 3. 函數(shù)函數(shù)xxycos2的導數(shù)為的導數(shù)為( )( )2222A. y2xcosxx sinxB. y2xcosxx sinxC. yx cosx2xsinxD. yxcosxx sinxA A4.4.下列求導數(shù)運算正確的是下列求導數(shù)運算正確的是 ( )( )2222xx32111A. x1 B. log xxxxln2x2xcosxx sinxC. 33 log e D. cosxcosx B B3ln4yx 430 xy5.(20125.(201

15、2新課標全國卷新課標全國卷) )曲線曲線y=x(3ln x+1)y=x(3ln x+1)在點在點（1,11,1）處的切線方程為）處的切線方程為_. .【分析分析】通過求導得切線斜率，一點一斜率可確定通過求導得切線斜率，一點一斜率可確定切線方程，最后將方程化為一般式切線方程，最后將方程化為一般式. .解析：解析：由曲線方程得由曲線方程得 ，所以曲線，所以曲線y=y=x(3ln x+1)x(3ln x+1)在點（在點（1,11,1）處切線的斜率）處切線的斜率k=3k=30+4=4,0+4=4,所以曲線在點（所以曲線在點（1,11,1）處的切線方程為）處的切線方程為4x-y-3=0.4x-y-3=0.6.6.求曲線求曲線y y=f(x)=x=f(x)=x3 3+3x+3x8 8在在x=2x=2處的切線的方程處的切線的方程. .3223f (x)(x3x8)3x3,kf (2)32315,f(2)23286, (2,6),y615(x2),