03分類討論的思想

1、分類討論的思想北京四中 呂寶珠一、高考真題感悟已知函數(shù)f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)當(dāng)a時，求f(x)的極值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)當(dāng)a時，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(2，)內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)x2時，f(x)有極小值，f(x)的極小值是f(2)12.(2) 在(1,1)上，f(x)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10. a當(dāng)a0時，恒成立b當(dāng)a0時，若要成立， 則需3a123a110，解得a.c當(dāng)a0時，若要成立，則需3a210，

2、即10，解得a.綜上，a的取值范圍是.考題分析本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法、函數(shù)極值的求法，考查了由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的方法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法本題的核心是考查考生利用分類討論的思想解決問題的能力易錯提醒(1)f(x)0的根x1并不是函數(shù)f(x)的極值點考生易忽視對極值點的判斷(2)不能將f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為不等式進(jìn)行研究(3)忽視分類討論或討論不到位是本題出錯的關(guān)鍵二、思想方法概述1分類討論的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法其基本思路是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略對問題實行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于

3、增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度2分類討論的常見類型(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等(3)由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等(4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、

4、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關(guān)系等(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法(6)由實際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用3分類討論的原則(1)不重不漏(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論4解分類問題的步驟(1)確定分類討論的對象：即對哪個變量或參數(shù)進(jìn)行分類討論(2)對所討論的對象進(jìn)行合理的分類(3)逐類討論：即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決(4)歸納總結(jié)：將各類情況總

5、結(jié)歸納三、熱點分類突破題型一根據(jù)數(shù)學(xué)概念分類討論例1.已知二次函數(shù)yg(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y2x平行,且yg(x)在x1處取得極小值m1 (m0)設(shè)f(x).(1)若曲線yf(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；(2)k (k R)如何取值時，方程f(x)kx0有解，并求出該方程的解解(1)依題可設(shè)g(x)a(x1)2m1 (a0)，則g(x)2a(x1)2ax2a，又g(x)的圖象與直線y2x平行，2a2，a1，g(x)(x1)2m1x22xm，f(x)x2.設(shè)P(x0，y0)，則PQ2x(y02)2x22x2m22m2|m|2m，當(dāng)且僅當(dāng)2x時，PQ2取最小值，即

6、PQ取得最小值.當(dāng)m0時，解得m1；當(dāng)m0，當(dāng)m0，k1或者m0，k1 (m0)，或k1 (m0 (n1，2，3)(1)求q的取值范圍；(2)設(shè)bnan2an1，記bn的前n項和為Tn，試比較Sn與Tn的大小思維啟迪 (1)根據(jù)條件列出關(guān)于q的不等式，注意分類討論(2)能否判斷bn為特殊數(shù)列進(jìn)而求和作差、作商比較大小解(1)an是等比數(shù)列，Sn0，可得a1S10，q0，當(dāng)q1時，Snna10；當(dāng)q1時，Sn0，即0 (n1,2,3，)，上式等價于(n1,2,3，)或(n1,2,3，)，解式得q1；解式，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，故1q0且1q0，所以當(dāng)1q2時，TnSn0，即TnSn；當(dāng)q2且

7、q0時，TnSn0，即Tn0.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程；(2)若在區(qū)間，上，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解(1) 當(dāng)a1時，f(x)x3x21，f(2)(x)3x23x，f(2)6，所以曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y36(x2)，即y6x9.(2) f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.若00等價于即解不等式組得5a5.因此02，則00等價于即解不等式組得a5或a.因此2a5.綜合，可知a的取值范圍為0a5.題型四根據(jù)圖形位置或形狀變化分類討論例4.有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是解根據(jù)條件，四根長為2的直鐵條與兩根長為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況：(1)底面是邊長為2的正三角形，三條側(cè)棱長為2，a，a，如圖(1