容斥原理問題

1、、解答題容斥原理問題一一基礎(chǔ)學(xué)習(xí)兩個(gè)集合容斥問題選項(xiàng)判斷U兩個(gè)集合容斥問題墓瞰1識(shí):【答案】容庫(kù)原理問即：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后把計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無童鼠，這種技術(shù)的方法稱為容斥原理。兩個(gè)集合容斤問題；容斥原理一£如果被計(jì)數(shù)的事物有A、3兩類.那么.A類元素個(gè)數(shù)和類元素個(gè)數(shù)二既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)+A類或E類元素個(gè)數(shù).寫成公式形式即：肝打AUBdCB,即AUB=A刊-A"B文氏圖：解決簡(jiǎn)單的兩類或三英被計(jì)數(shù)事物之間的重疊問題時(shí)采用韋恩圖會(huì)更加便捷、直接。如下圖所示：左邊囪圈表示A有邊圄圈表示E程將紫色

2、部分表示A與B的交集.即AUE=A+E-AAB,2、兩個(gè)集合容斥原理例1:四年級(jí)一班有54人，定閱小學(xué)生優(yōu)秀作文和數(shù)學(xué)大世界兩種讀物的有13人，訂閱小學(xué)生優(yōu)秀作文的有45人每人至少訂閱一種讀物，訂閱數(shù)學(xué)大世界的有多少人？（）A.13B.22C.33D.41【答案】B【解題關(guān)鍵點(diǎn)】設(shè)A=定閱小學(xué)生優(yōu)秀作文的人,B=訂閱數(shù)學(xué)大世界的人,那么AAB=同時(shí)訂閱兩本讀物的人,AUB=至少訂閱一樣的人，由容斥原則，B=AUB+AAB-A=54+13-45=22人?！窘Y(jié)束】3、兩個(gè)集合容斥原理例2:五年級(jí)有122名同學(xué)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每個(gè)至少有一門功課取得優(yōu)秀成績(jī)，其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)

3、秀的有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？（）A.30B.35C.57D.65【答案】A【解題關(guān)鍵點(diǎn)】此題是典型的兩個(gè)集合的容斥問題，因此，可以直接有兩個(gè)集合的容斥原理得到，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的學(xué)生有65+87-122=30人?！窘Y(jié)束】4、兩個(gè)集合容斥原理例3:學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器，已知會(huì)拉手提琴的有24人，會(huì)彈電子琴的有17人，其中兩樣都會(huì)的有8人。這個(gè)文藝組共有多少人？（）A.25B.32C.33D.41【答案】C【解題關(guān)鍵點(diǎn)】設(shè)A=會(huì)拉手提琴的,B=會(huì)彈電子琴的,因此AUB=文藝組的人,AAB=兩樣都會(huì)的,由兩個(gè)集合的容斥原理可得：AUB=A+B-AAB=24+17-8=33。

4、【結(jié)束】5、兩個(gè)集合容斥原理例4:某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)第一題的有25人，答對(duì)第二題的人有23人，兩題都答對(duì)的有15人，問多少個(gè)同學(xué)兩道題都沒有答對(duì)？（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解題關(guān)鍵點(diǎn)】有兩個(gè)集合的容斥原理得到，至少答對(duì)一道題的同學(xué)有25+23-15=33人，因此兩道題都沒有答對(duì)的同學(xué)有36-33=3人。【結(jié)束】三個(gè)集合容酢翊酷【答案】容斥原理二；如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類元素個(gè)數(shù)-B類元素個(gè)效Y類元素個(gè)數(shù):A類或B類或C類元素個(gè)數(shù)TE是A類義是B類的元素個(gè)數(shù)TJE是X類又是B類的元素個(gè)數(shù)W是B類又是C類元素個(gè)數(shù)一既是A類又是B類而且是C類的元素個(gè)

5、數(shù)“寫成公式形式即：A+B+6AUBUC+AB+CA-ArBC要點(diǎn)提示:由上題可以看出，單魏使用容斥原理耒解姮，會(huì)比較麻煩.推薦使用韋恩圖，結(jié)合容斥原理解題.I；容庫(kù)原理公式法，適用于“條件與問題都可直接代人公式的題目。兩個(gè)集合：AUB=A-B-AB三個(gè)集合工AUBUC=A*B-C-ABB、C-C"A-A。BCCL文氏圖示意法，條件前者所求不完全能用上述兩個(gè)公式表示時(shí).利用文氏圖來解決.分析:如下圖，若臬左、右、下三個(gè)囪IE分別表示A、BxC.1、33、4、5、6、7分別表示相應(yīng)的區(qū)域，則AtBY=l+2+3+4+S+6+7=(l+2+4+5>+(2+3+5+6)+(4+5+6

6、+7)2+5-5+6一(4+5)+5由圖可以看出：A'B叱TiB-c4C'A4*5tA'B-C=5fA=1-2-4-5:H=2-3-5-6;C=4-5-6-7所以AUBUC二A-BVfB'C-UAHBF7、三個(gè)集合容斥原理例1:某大學(xué)有外語(yǔ)教師120名，其中教英語(yǔ)的有50名，教日語(yǔ)的有45名，教法語(yǔ)的有40名，有15名既教英語(yǔ)又教日語(yǔ)，有10名既教英語(yǔ)又教法語(yǔ)，有8名既日語(yǔ)又教法語(yǔ)，有4名教英語(yǔ)、日語(yǔ)和法語(yǔ)三門課，則不交三門課的外語(yǔ)教師有多少名？()A.12B.14C.16D.18【答案】B【解題關(guān)鍵點(diǎn)】此題是三個(gè)集合的容斥問題，根據(jù)容斥原理可以得到，至少教英、

7、日、法三門課其中一門的外語(yǔ)教師有50+45+40-10-8-4=106,不做這三門課的外語(yǔ)教師人數(shù)為120-106=14名?！窘Y(jié)束】8、三個(gè)集合容斥原理例2:對(duì)廈門大學(xué)at算機(jī)系100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看NBA和足球、賽車。其中58人喜歡看NBA38人喜歡看賽車，52人喜歡看足球，既喜歡看NBA又喜歡看賽車的有18人，既喜歡看足球又喜歡看賽車的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看足球的有（）。A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】ANBA和喜歡看賽車的，但多【解題關(guān)鍵點(diǎn)】求只喜歡看足球的，只要種人數(shù)減去喜歡看減去了既喜歡看NBA3喜歡看賽車的，再加回去即可，10

8、0-58-38+18=22人。9、三個(gè)集合容斥原理例3:實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)術(shù)書法展，學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品，其中有28幅不是五年級(jí)的，有24幅不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展作品共有20幅。一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展的作品總數(shù)少4幅。一、二年級(jí)參展的書法作品共有多少幅？（）A.6B.10C.16D.20【答案】A【解題關(guān)鍵點(diǎn)】28幅不是五年級(jí)的，也就是六年級(jí)+其他年級(jí)=28幅；24幅不是六年級(jí)的，也就是五年級(jí)+其他年級(jí)=24幅；上述兩個(gè)式子相加得，（五年級(jí)+六年級(jí)）+2X其他年級(jí)=28+24,因此其他年級(jí)的有（28+24-20）+2=16幅，又因?yàn)橐?、二年?jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展的作品總數(shù)少4幅，因此一、二年級(jí)參展的書法作品共有（16-2）+2=6幅?！窘Y(jié)束】10、三個(gè)集合容斥原理例4:某工作組有12名外國(guó)人，其中6人會(huì)說英語(yǔ)，5人會(huì)說法語(yǔ)，5人會(huì)說西班牙語(yǔ)；有3人既會(huì)說英語(yǔ)又會(huì)說法語(yǔ)，有2人既會(huì)說法語(yǔ)又會(huì)說西班牙語(yǔ)，有2人既會(huì)說西班牙語(yǔ)又會(huì)說英語(yǔ)；有1人這三種語(yǔ)言都會(huì)說。則只會(huì)說一種語(yǔ)言