專題復(fù)習(xí)-中考數(shù)學(xué)歸納與猜想-

1、專題復(fù)習(xí) 歸納與猜測歸納與猜測問題指的是給出一定條件可以是有規(guī)律的算式、圖形或圖表，讓學(xué)生認(rèn)真分析，仔細(xì)觀察，綜合歸納，大膽猜測，得出結(jié)論，進(jìn)而加以驗證的數(shù)學(xué)探索題。其解題思維過程是：從特殊情況入手探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律綜合歸納猜測得出結(jié)論驗證結(jié)論，這類問題有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。一、知識網(wǎng)絡(luò)圖猜測性問題猜測規(guī)律型猜測結(jié)論型猜測數(shù)式規(guī)律猜測圖形規(guī)律猜測數(shù)值結(jié)果猜測數(shù)量關(guān)系猜測變化情況二、根底知識整理猜測規(guī)律型的問題難度相對較小，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊(yùn)含著“特殊一般特殊的常用模式，表達(dá)了總結(jié)歸納的數(shù)

2、學(xué)思想，這也正是人類認(rèn)識新生事物的一般過程。相對而言，猜測結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜測與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計算、驗證、類比、比擬、測量、繪圖、移動等等，都能用到。由于猜測本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的又一熱點。 范例精講【歸納與猜測】例1觀察右面的圖形每個正方形的邊長均為1和相應(yīng)等式，探究其中的規(guī)律：1×12×23×34×4寫出第五個等式，并在右邊給出的五個正方形上畫出與之對應(yīng)的圖示：猜測并寫出與第n個圖形

3、相對應(yīng)的等式。解：5×5。例2歸納猜測型將一張正方形紙片剪成四個大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一片又按同樣的方法剪成四小片，再將其中的一小片正方形紙片剪成四片，如此循環(huán)進(jìn)行下去，將結(jié)果填在下表中，并解答所提出的問題：所剪次數(shù)12345正方形個數(shù)47101316如果能剪100次，共有多少個正方形？據(jù)上表分析，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？如果剪n次共有An個正方形，試用含n、An的等式表示這個規(guī)律；利用上面得到的規(guī)律，要剪得22個正方形，共需剪幾次？能否將正方形剪成2004個小正方形？為什么？假設(shè)原正方形的邊長為1，設(shè)an表示第n次所剪的正方形的邊長，試用含n的式子表示an；試猜測a1a2a

4、3an與原正方形邊長的關(guān)系，并畫圖示意這種關(guān)系解：100×31301，規(guī)律是：本次剪完后得到的小正方形的個數(shù)比上次剪完后得到的小正方形的個數(shù)多3個；1a1a2a3An3n1；假設(shè)An22，那么3n122，n7，故需剪7次；假設(shè)An2004，那么3n12004，此方程無自然數(shù)解，不能將原正方形剪成2004個小正方形；an；a11，a1a21，a1a2a31，從而猜測到：a1a2a3an1.直觀的幾何意義如下圖。例3以下圖中，圖是一個扇形AOB，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖所示，以O(shè)A的一半OA1為半徑畫弧，再作AOB的平分線，得到扇形的總數(shù)為6個，分別為：扇形AOB、扇形AOC、扇

5、形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1；第二次劃分：如圖所示，在扇形C1OB1中，按上述劃分方式繼續(xù)劃分，可以得到扇形的總數(shù)為11個；第三次劃分：如圖所示；依次劃分下去.圖第三次劃分圖ABO圖第一次劃分ABOA1CB1C1圖第二次劃分ABOA1CB1C1根據(jù)題意，完成下表：劃分次數(shù)扇形總個數(shù)16211316421n5n1根據(jù)上表，請你判斷按上述劃分方式，能否得到扇形的總數(shù)為2005個？為什么？解：由5n12005，得n，n不是整數(shù)，不可能。優(yōu)化訓(xùn)練1 如圖，細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：A6A511A41A3A21A11OS1S2S3S4S5212 S1213 S

6、2214 S3請用含有nn是正整數(shù)的等式表示上述變化規(guī)律；推算出OA10的長；求出S12S22S32S102的值解：21n1，Sn；OA1，OA2，OA3，OA10；S12S22S32S102123102 觀察圖1至圖5中小黑點的擺放規(guī)律，并按照這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第n個圖中的小黑點的個數(shù)為y.圖1圖2圖3圖4圖5解答以下問題：填表：n12345y1371321當(dāng)n8時，y 57 ；你能猜測y與n之間的關(guān)系式嗎？你是怎么得到的，請與同伴交流；下邊給出一種研究方法。請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把n作為橫坐標(biāo)，把y作為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的各點n，y.猜一猜上述各點是否在某一函數(shù)的圖象上

7、？如果在某一函數(shù)的圖象上，請你求出該函數(shù)的關(guān)系式。解：觀察y這一行，后面的數(shù)比前一個數(shù)依次增大2，4，6，2n1，所以當(dāng)n5時，y1325121；由知，當(dāng)n8時，y2110121457；略；根據(jù)點的排列情況，在一條曲線上，猜測是拋物線，圖象略。設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2bxc，由1，1、2，3、3，7三點可得，解得，故所求的函數(shù)關(guān)系式為yx2x1.反思：問題通過從“特殊到“一般的歸納過程來探究規(guī)律結(jié)果，先在坐標(biāo)系中描出各點的位置，再依據(jù)點的位置特征判斷變量之間可能的關(guān)系，最后根據(jù)猜測求解，這正是“課標(biāo)倡導(dǎo)的思想。3 一個自然數(shù)a恰等于另一個自然數(shù)b的平方，那么稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)，如648

8、2，64就是一個完全平方數(shù)假設(shè)a2002220022×2003220032，求證：a是一個完全平方數(shù)，并寫出a的平方根解：先從較小的數(shù)字探索：a11212×2222321×212，a22222×3232722×312，a33232×42421323×412，a44242×52522124×512，于是猜測：a2002220022×20032200322002×20031240100072，證明采用配方法略推廣到一般，假設(shè)n是正整數(shù)，那么an2n2n12n12是一個完全平方數(shù)nn112解

9、題策略：猜測是數(shù)學(xué)中重要的思想和方法之一。較大的數(shù)字問題可仿較小數(shù)字問題來處理，實現(xiàn)了以簡馭繁的策略。在解題時，如果你不能解決所提出的問題，可先解決“一個與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個更容易著手的問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？你能否解決這個問題的一局部？這就是數(shù)學(xué)家解題時的“絕招。4 以下是由同型號黑白兩種顏色的正三角形瓷磚按一定規(guī)律鋪設(shè)的圖形圖圖圖圖仔細(xì)觀察圖形可知：圖有1塊黑色的瓷磚，可表示為圖有3塊黑色的瓷磚，可表示為圖有6塊黑色的瓷磚，可表示為實踐與探索：請在圖的虛線框內(nèi)畫出第4個圖形；只須畫出草圖第10個圖形有 塊黑色的瓷磚；直接填寫結(jié)果第n個圖形有 塊黑色的瓷磚用含n

10、的代數(shù)式表示解：如右圖；55，nn1n為正整數(shù)；5 【歸納猜測】觀察以下圖形，如下圖，假設(shè)第1個圖形中的空白面積為1，第2個圖形中非陰影局部的面積為，第3個圖形中非陰影局部的面積為，第4個圖形中非陰影局部的面積為，探究：第n個圖形中非陰影局部的面積為多少用字母n表示？解：當(dāng)n1時，S1；當(dāng)n2時，S21；當(dāng)n3時，S31；當(dāng)n4時，S41；所以，第n個圖形中非陰影局部的面積為n1；點撥：認(rèn)真分析n、S與三者之間存在的內(nèi)在關(guān)系探求其規(guī)律。6 隨著信息技術(shù)的高速開展， 進(jìn)入了千家萬戶，據(jù)調(diào)查某校初三班的同學(xué)家都裝上了 ，暑假期間全班每兩個同學(xué)都通過一次 ，如果該班有56名同學(xué)，那么同學(xué)們之間共通了

11、多少次 ？為解決該問題，我們可把該班人數(shù)n與通 次數(shù)s間的關(guān)系用以下模型來表示：假設(shè)把n作為點的橫坐標(biāo)，s作為縱坐標(biāo)，根據(jù)上述模型中的數(shù)據(jù)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中，描出相應(yīng)各點，并用平滑的曲線連接起來；根據(jù)圖中各點的排列規(guī)律，猜一猜上述各點會不會在某一函數(shù)的圖象上？如果在，求出該函數(shù)的解析式；根據(jù)中得出的函數(shù)關(guān)系式，求該班56名同學(xué)間共通了多少次 解：略；根據(jù)圖中各點的排列規(guī)律，猜測各點可能在一個二次函數(shù)的圖象上，用待定系數(shù)法可求得sn2n；當(dāng)n56時，s1540；圖1圖27 在數(shù)學(xué)活動中，小明為了求的值結(jié)果用n表示，設(shè)計如圖1所示的幾何圖形。請你利用這個幾何圖形，求的值為 ；請你利用圖2，

12、再設(shè)計一個能求的值的幾何圖形。解：1；2如圖1或如圖2或如圖3或如圖4等，圖形正確。8 如圖，正方形表示一張紙片，根據(jù)要求需屢次分割，把它分割成假設(shè)干個直角三角形操作過程如下：第一次分割，將正方形紙片分成4個全等的直角三角形，第二次分割將上次得到的直角三角形中一個再分成4個全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法進(jìn)行下去請你設(shè)計出兩種符合題意的分割方案圖；設(shè)正方形的邊長為a，請你就其中一種方案通過操作和觀察將第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面積S填入下表：分割次數(shù)n123最小直角三角形的面積Sa2在條件下，請你猜測：分割所得的最小直角三角形面積S與分割次數(shù)n有什么關(guān)系？用數(shù)學(xué)表達(dá)式表

13、示出來解：現(xiàn)提供如下三種分割方案：每次分割后得到的最小直角三角形的面積都是上一次最小直角三角形面積的，所以當(dāng)n2時，S2×a2a2；當(dāng)n3時，S3S2a2；當(dāng)分割次數(shù)為n時，Sna2n1，且n為正整數(shù)9 下面的圖形是由邊長為1的正方形按照某種規(guī)律排列而組成的觀察圖形，填寫下表：圖形正方形的個數(shù)81318圖形的周長182838推測第n個圖形中，正方形的個數(shù)為 5n3 ，周長為 10n8 都用含n的代數(shù)式表示；這些圖形中，任意一個圖形的周長y與它所含正方形個數(shù)x之間的關(guān)系式為 y2x2 10 定義：假設(shè)某個圖形可分割為假設(shè)干個都與他相似的圖形，那么稱這個圖形是自相似圖形。探究：一般地，“

14、任意三角形都是自相似圖形，只要順次連結(jié)三角形各邊中點，那么可將原三角形分割為四個都與它自己相似的小三角形。我們把DEF圖乙第一次順次連結(jié)各邊中點所進(jìn)行的分割，稱為1階分割如圖1；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連結(jié)它的各邊中點所進(jìn)行的分割，稱為2階分割如圖2依次規(guī)那么操作下去。n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形n為正整數(shù)，設(shè)此時小三角形的面積為Sn.假設(shè)DEF的面積為10000，當(dāng)n為何值時，2Sn3？請用計算器進(jìn)行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程當(dāng)n1時，請寫出一個反映Sn1，Sn，Sn1之間關(guān)系的等式不必證明。解：DEF經(jīng)n階分割所得的小三角形的個數(shù)為，Sn當(dāng)n5時，S5

15、9.77；當(dāng)n6時，S62.44；當(dāng)n7時，S70.61；當(dāng)n6時，2S63；SS×S；寫出S4S，S4S可得2分11 據(jù)我國古代?周髀算經(jīng)?記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連結(jié)得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五。后人概括為“勾三、股四、弦五。觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過。計算91、91與251、251，并根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；根據(jù)的規(guī)律，用nn為奇數(shù)且n3的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜測他們之間二種相等關(guān)

16、系并對其中一種猜測加以證明；繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過。運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用mm為偶數(shù)且m4的代數(shù)式來表示他們的股和弦?！究忌⒁狻浚撼谛☆}中已發(fā)現(xiàn)的相等關(guān)系之外，你還有其他新的發(fā)現(xiàn)，并能正確證明，將酌情另加13分。分析：此題是研究勾股數(shù)，考查學(xué)生觀察、分析、類比、猜測、驗證和證明。解：914，915；25112，25113；7，24，25的股的算式為：491721弦的算式為：491721；當(dāng)n為奇數(shù)且n3，勾、股、弦的代數(shù)式分別為：n，n21，n21。例如關(guān)系式：弦股1；關(guān)系式：勾2股2弦2；證明關(guān)系式：弦股n21n21n21n211；或證明關(guān)系式：勾2股2n2n212n4n2n212弦2；猜測得證。例如探索得，當(dāng)m為偶數(shù)且m4時，股、弦的代數(shù)式分別為：21，21。【另加分問題】例如：連結(jié)兩組勾股數(shù)中，上一組的勾、股與下一