大霧第7章機械波

1、第第7 7章章 機械波機械波7.1 7.1 機械波的幾個概念機械波的幾個概念7.1.1 7.1.1 機械波的形成機械波的形成7.1.2 7.1.2 橫波和縱波橫波和縱波 （介質(zhì)、波源）（介質(zhì)、波源）7.1.3 7.1.3 波面與波線波面與波線 lS波面波前波線球面波l波面波前波線.4 波長波長/ /頻率頻率/ /波速關(guān)系波速關(guān)系T1llTu例：例：某時刻繩上橫波波形如圖。求某時刻繩上橫波波形如圖。求P處質(zhì)點在該時處質(zhì)點在該時刻的相位，分別用箭頭表明圖中刻的相位，分別用箭頭表明圖中A、B、C、D、E、F、G、H、I 各質(zhì)點在該時刻的運動方向。各質(zhì)點在該時刻的運動方向。解解：根據(jù)波

2、的傳播方根據(jù)波的傳播方向知向知P點比點比A先振動。先振動。3lAP32)(-)(ttAp B、A的的振動總落后于振動總落后于C點，點，D、E、F、G、H、J 振動總是超前于振動總是超前于C點。點。 C點達到正最大位移時，點達到正最大位移時，B、A點都點都朝朝著正方著正方向運動，向著各自的正最大位移行進。向運動，向著各自的正最大位移行進。F、E、D都都已經(jīng)過了各自的正最大位移，而向負方向運動。已經(jīng)過了各自的正最大位移，而向負方向運動。 I、H兩點不僅兩點不僅已經(jīng)過了各自的正已經(jīng)過了各自的正的最大位移，而且的最大位移，而且還經(jīng)過了負的最大還經(jīng)過了負的最大位移，向正方向運位移，向正方向運動了，動了，

3、G點則處于點則處于負的最大位移處。負的最大位移處。7.2 7.2 平面簡諧波平面簡諧波7.2.1 7.2.1 波函數(shù)波函數(shù) )cos(0tAyuxtAycoslxTtAyuxtAy2coscoslxTtAyuxtAy2coscos則相應(yīng)的波函數(shù)為：則相應(yīng)的波函數(shù)為： 如果以上所如果以上所說的參考點不在說的參考點不在O點，而是在距點，而是在距O點距離為點距離為 x0)cos(0tAyx 式中，減號對應(yīng)波沿式中，減號對應(yīng)波沿 Ox 軸正方向傳播，加軸正方向傳播，加號對應(yīng)波沿號對應(yīng)波沿 Ox 軸負方向傳播。軸負方向傳播。 uxxtAy0cosuxtAyxx00cosuxtAy0cos7.2.2 7.

4、2.2 波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義xtAytttl2cos000)(cos)(uxtAtx,y)(cos)(uxttAttx,y)(sinuxtAtyv)(cos)(uxtAtx,y)(cos)(uxttAttx,y 上兩式表明：上兩式表明：1).1).在不同時在不同時刻刻 t1 和和 t1+t 同一同一 x 處質(zhì)元的位移是不相同的。處質(zhì)元的位移是不相同的。 2). 2). t1 時刻的時刻的 x1點和點和 t1 +t 時刻的時刻的 x + ut點的位移相等點的位移相等。)(sinuxtAtyv例：例：已知波動方程已知波動方程y =1.210-3cos(105t-220 x)(SI)。求

5、求：1)1)該波的振幅、頻率、波速與波長；該波的振幅、頻率、波速與波長；2)2)距原距原點點8.00m處的質(zhì)點在處的質(zhì)點在 t =10-5s 時間間隔內(nèi)的相位時間間隔內(nèi)的相位差差；3)3)在波傳播方向上相位差為在波傳播方向上相位差為 /3 的兩點間的的兩點間的距離。距離。A = 1.210-3 (m)；T = 210-5 (s)；=2.8510-2 (m)解：解：11021022cos102 . 153xty)Hz(105214T)m/s(1043. 13lu2)2)距原點距原點8.00m處的質(zhì)點在處的質(zhì)點在 t=10-5s時間間隔內(nèi)時間間隔內(nèi)的相位差的相位差tT23)3)在波傳播方向上相位差

6、為在波傳播方向上相位差為 /3 的兩點間的距離的兩點間的距離3220)11021022(-)11021022(2515xxtxt)m(1075. 46603x例：例：一平面波以速度一平面波以速度u =20m/s沿直線傳播。已知沿直線傳播。已知A點的振動方程點的振動方程 yA=3cos4t。1)1)以以A點為坐標原點寫點為坐標原點寫出波函數(shù)，寫出出波函數(shù)，寫出CD兩點振動方程；兩點振動方程；2)2)以以B點為坐點為坐標原點寫出波函數(shù)，寫出標原點寫出波函數(shù)，寫出CD兩點振動方程。兩點振動方程。解：解：4) s (5 . 02T)m(10 uTltyyAcos430)54cos(3)20(4cos3

7、),(xt-xt-txy以以A點為坐標原點，原點的振動方程為：點為坐標原點，原點的振動方程為：5134cos3)(13tytyxC)54cos(3),(xt-txy594cos3)(9tytyxD2)2)B 比比 A 超前超前：) s (25. 0205)4cos(3)41(4cos30ttyyB5-43cos20-43cos),(xtxttxy51343cos8Ctyyx59t43cos14xDyy例：例：一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，振幅軸正向傳播，振幅 A =2m，周期周期T =2s，波長，波長 =2m。在。在 t = 0時，坐標原點處的時，坐標原點處的質(zhì)點位于平衡沿質(zhì)點位

8、于平衡沿 y 軸的正方向運動。求：軸的正方向運動。求：1)1)波動方波動方程；程；2)2)t =1s時各質(zhì)點的位移分布，并畫出該時刻的時各質(zhì)點的位移分布，并畫出該時刻的波形圖；波形圖；3)3)x = 0.5m 處質(zhì)點的振動規(guī)律，并畫出該處質(zhì)點的振動規(guī)律，并畫出該質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系曲線。質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系曲線。解：解：lxTtAy2cos22-2212cos2xty1)1)波動方程波動方程:2)2)t1s時各質(zhì)點的位移分布時各質(zhì)點的位移分布2-2212cos2xtyxy-2cos2) s ( 1t3)3)x0.5m處質(zhì)點的振動規(guī)律處質(zhì)點的振動規(guī)律2-2212cos2xty)m(5 . 0

9、t)-cos(2ty 例：例：圖圖(a)(a)為為 t =0時刻的波形；圖時刻的波形；圖(b)(b)為為原點原點 x = 0處處質(zhì)元的振動曲線，求此波的波函數(shù)，畫出質(zhì)元的振動曲線，求此波的波函數(shù)，畫出 x = 2m處處質(zhì)元的振動曲線。質(zhì)元的振動曲線。解：解： =4(m)，T =2(s)；(m/s)224TulA =2(cm)，t =0時，時，x =0處質(zhì)元位處質(zhì)元位移移 yo=0，v00，該質(zhì)元的初相位：，該質(zhì)元的初相位：2(a)(a)(b)(b) x = 0處的質(zhì)元的振動方程為：處的質(zhì)元的振動方程為： )2cos(2)2cos(20ttTy從圖從圖(a)知波知波沿沿 x 軸軸負向傳播。負向傳

10、播。2-)2(cos2xtyx = 2m處質(zhì)元的振動方程為：處質(zhì)元的振動方程為：212cos22tyyx7.3 7.3 機械波的能量機械波的能量.1 彈性體的形變規(guī)律彈性體的形變規(guī)律線變線變 llESFlkllESF22)(21)(21llElkEP應(yīng)力：應(yīng)力：F/S 線應(yīng)變：線應(yīng)變：l/l 楊氏模量楊氏模量彈性勢能：彈性勢能：胡克定律：胡克定律：勁度系數(shù)勁度系數(shù)剪切形變剪切形變 剪應(yīng)力：剪應(yīng)力：F/S ，剪應(yīng)變：剪應(yīng)變： = d/D ，胡克定律：胡克定律： G 稱為稱為剪切模量。剪切模量。彈性勢能：彈性勢能：DdGGSF22)(2121DdGGEP體變體變 壓強變化壓強變化：

11、p，體應(yīng)變：體應(yīng)變：V/V ，胡克定律：胡克定律： K 稱為稱為體彈模量。體彈模量。壓縮系數(shù)壓縮系數(shù)：VVKPpVVKk3.2 彈性介質(zhì)中的波速彈性介質(zhì)中的波速 彈性介質(zhì)中的波是靠介質(zhì)各質(zhì)元間的彈力作彈性介質(zhì)中的波是靠介質(zhì)各質(zhì)元間的彈力作用而形成的。因此，彈性越強的介質(zhì)，在其中形用而形成的。因此，彈性越強的介質(zhì)，在其中形成波的傳播速度也越大；或者說，成波的傳播速度也越大；或者說，彈性模量越大彈性模量越大的介質(zhì)，波的傳播速度就越大。的介質(zhì)，波的傳播速度就越大。 波的傳播速度還與介質(zhì)的密度有關(guān)。因為密波的傳播速度還與介質(zhì)的密度有關(guān)。因為密度越大，質(zhì)元的質(zhì)量就越大，其慣性就越大，前

12、度越大，質(zhì)元的質(zhì)量就越大，其慣性就越大，前方的質(zhì)元就越不容易被其后緊接著的質(zhì)元的彈力方的質(zhì)元就越不容易被其后緊接著的質(zhì)元的彈力帶動。這將延緩擾動的傳播速度。因此，帶動。這將延緩擾動的傳播速度。因此，密度越密度越大的介質(zhì)，其中波的傳播速度就越小大的介質(zhì)，其中波的傳播速度就越小。xSmxDydddxxySGF)(1xxxySGF)(2 質(zhì)元受到的質(zhì)元受到的合力：合力：xxxxyxySGF)()(xxyxSG)(ddxxyxSGF)(ddxxySG22由牛頓第二定律由牛頓第二定律：2222tyxSxxySG2222tyGxyGu 棒中橫波的速度棒中橫波的速度：222221tyuxyEu 棒中縱波的速

13、度棒中縱波的速度：液體和氣體中縱波的速度液體和氣體中縱波的速度：細繩中橫波的速度細繩中橫波的速度：氣體中縱波的速度氣體中縱波的速度：Ku lFupu 7.7.4 4 波的能量波的能量)(cosuxtAy)(sinuxtAtyv221VvWk)(sin21222uxtAV 任一質(zhì)元：任一質(zhì)元：VxyGWp2)(21)(sin21222uxtVAWppkWWW)(sin222uxtVA)(sinuxtuAxy)(cosuxtAy能量密度能量密度( (單位體積內(nèi)的能量單位體積內(nèi)的能量) )(sin222uxtAVW22222221AA 平均能量密度平均能量密度( (一個周期內(nèi)能量密度平均值一個周期內(nèi)

14、能量密度平均值) )(sin222uxtVAW能流能流-通過面積通過面積 S 能量：能量：)(sin222uxtSAudtudtSPuSPIuA2221波的強度：波的強度：在在 dt 時間內(nèi)通過時間內(nèi)通過 S 能量：能量：tSud對球面波：對球面波：22222121rArA2211rArA)(cos1urtrAy2211SISI21AA 設(shè)介質(zhì)不吸收波能量：設(shè)介質(zhì)不吸收波能量：平面波：平面波：球面簡諧波的波函數(shù)：球面簡諧波的波函數(shù)：球球 面面 波波平平 面面 波波O1R2Rtu7.7.5 5 惠更斯原理與波的反射和折射惠更斯原理與波的反射和折射 介質(zhì)中波動傳播到的各點都可以看作是發(fā)射介質(zhì)中波動

15、傳播到的各點都可以看作是發(fā)射子波的波源，而在其后的任意時刻，這些子波的子波的波源，而在其后的任意時刻，這些子波的包絡(luò)就是新的波前。包絡(luò)就是新的波前。 波的衍射：波的衍射：波在傳播過程中遇到障波在傳播過程中遇到障礙物時，能繞過障礙物的邊緣，在障礙礙物時，能繞過障礙物的邊緣，在障礙物的陰影區(qū)內(nèi)繼續(xù)傳播。物的陰影區(qū)內(nèi)繼續(xù)傳播。i i i A1A2A3B2B3B1NNAId時刻時刻 tB2B3B1NNAIB32dd3dLiii時刻時刻 t +ti i i A1A2A3B2B3B1NNAId時刻時刻 t時刻時刻 t +ttuBA133tuAB2B2B3B1NNAIrrBRriABA33rABB32133

16、sinsinuuABBAri7.7.6 6 波的疊加波的疊加 幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征（頻特征（頻、波長、振幅、振動方向等）不變，、波長、振幅、振動方向等）不變，并按照原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其并按照原來的方向繼續(xù)前進，好象沒有遇到過其他波一樣。他波一樣。 在相遇區(qū)域內(nèi)任一點的振動，為各列波單獨在相遇區(qū)域內(nèi)任一點的振動，為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和。存在時在該點所引起的振動位移的矢量和。1s2sP*1r2r 波源振動：波源振動：)cos(111tAy)cos(222tAy 波的相干條件波的相干條件1 1) )

17、頻率相同頻率相同2 2) )振動方向平行振動方向平行3 3) )相位差恒相位差恒定定)2cos()2cos(22221111llrtAyrtAypp1s2sP*1r2r)22()(1212rr)(2)(1212rr)2()2(1122rr)2()2(1122rtrtr20)cos(21tAyyyppp1s2sP*1r2r)2cos(1111lrtAyp)2cos(2222lrtAyp)cos(21tAyyyppp)2cos()2cos()2sin()2sin(tan122111222111llllrArArArAcos2212221AAAAArr12122)(=常量常量1) ) 合振動的振幅在

18、空間各點的分布隨位置合振動的振幅在空間各點的分布隨位置 而變，但是穩(wěn)定的。而變，但是穩(wěn)定的。)(2)(cos21212212221rrAAAAA2121,2, 1 ,0)12(,2, 1 ,02AAAkkAAAkk2) ) 例：例：圖為聲音干涉儀。聲波從入口圖為聲音干涉儀。聲波從入口E進入，分進入，分BC兩兩路在管中傳播，至喇叭口路在管中傳播，至喇叭口A會合傳出。彎管會合傳出。彎管C可伸縮，可伸縮，當它漸漸伸長時，從喇叭口發(fā)出的聲音周期性地增強當它漸漸伸長時，從喇叭口發(fā)出的聲音周期性地增強或減弱。若或減弱。若C管每伸長管每伸長8cm聲音減弱一次，求此聲波聲音減弱一次，求此聲波的頻率的頻率( (

19、空氣中聲速為空氣中聲速為340m/s) )。 解：解：DCA與與DBA兩路聲波干兩路聲波干涉減弱條件：涉減弱條件：2) 12 (12lkrr2 1) 1(22212lkxrrxlx2(Hz)21250802340.lu例：例：AB 為同一介質(zhì)中兩相干波源。其振幅皆為為同一介質(zhì)中兩相干波源。其振幅皆為5cm，頻率皆為頻率皆為100Hz，A為波峰時，為波峰時，B為波谷。設(shè)波速為為波谷。設(shè)波速為10m/s，寫出由，寫出由AB發(fā)出的兩列波傳到發(fā)出的兩列波傳到P的干涉結(jié)果。的干涉結(jié)果。解：解：15m20mABPm25BPm10. 0lurAB2)(設(shè)：設(shè)： BA021AAA201APBPr7.7 7.7

20、 駐波駐波7.7.1 7.7.1 駐波的產(chǎn)生駐波的產(chǎn)生 振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干波，在同一直線上沿波，在同一直線上沿相反方向相反方向傳播時疊加而形傳播時疊加而形成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。txAl2cos2cos221yyy)(2cos)(2cosllxtAxtA7.7.2 7.7.2 駐波的方程駐波的方程)/(2cos)/(2cos21llxtAyxtAytxAyl2cos2cos2 駐波方程：駐波方程：1 1).).振幅隨振幅隨 x 而異，與時間無關(guān)。而異，與時間無關(guān)。012coslx, 2 , 1 , 02kkxl, 2

21、 , 1 , 0)21(2kkxl012coslx, 2 , 1 , 02kkxl, 2 , 1 , 0)21(2kkxl0, 1 , 0;2)21(2, 1 , 0;2minmaxAkkAAkkxll波節(jié)波節(jié)波腹波腹txAyl2cos2cos2lx2cos,44, 0llxtxAy2cos2cos2)2(cos2cos2txAyl,434, 0llxlx2cosxyo2l2l4lx為為波節(jié)波節(jié)例例2 2) )相鄰兩波節(jié)之間質(zhì)點振動同相位，任一波節(jié)兩側(cè)相鄰兩波節(jié)之間質(zhì)點振動同相位，任一波節(jié)兩側(cè)振動相位相反，在振動相位相反，在波節(jié)波節(jié)處產(chǎn)處產(chǎn)生生 的的相位躍變。相位躍變。7.7.3 7.7.3

22、半波損失半波損失 當波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)，被反當波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)，被反射到波疏介質(zhì)時形成波節(jié)。入射波與反射波在此射到波疏介質(zhì)時形成波節(jié)。入射波與反射波在此處的相位處的相位時時相反時時相反，即反射波在分界處產(chǎn)，即反射波在分界處產(chǎn)生生 的相的相位躍變，相當于出現(xiàn)了半個波長的波程差。位躍變，相當于出現(xiàn)了半個波長的波程差。 當波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)，被反當波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)，被反射到波密介質(zhì)時形成波腹。入射波與反射波在此射到波密介質(zhì)時形成波腹。入射波與反射波在此處的相位處的相位時時相同時時相同，即反射波在分界處不產(chǎn)生相，即反射波在分界處不產(chǎn)生相位躍變。位躍變。21ll222ll233ll41ll432ll453ll, 2 , 12nnlnl, 2 , 12)21(nnlnl7.7.4 7.7.4 弦線振動的簡正模式弦線振動的簡正模式, 2 , 1;2nnll解：解：弦兩端固定為弦兩端固定