多項(xiàng)式因式分解的方法

1、多項(xiàng)式因式分解的方法1 引言多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)的一個(gè)重要組成局部,原那么上說(shuō),多項(xiàng)式的內(nèi)容是中學(xué)代數(shù)課程中最重要的局部中學(xué)是以多項(xiàng)式的具體運(yùn)算為主,從根本的概念入手,通過(guò)習(xí)題來(lái)靈活掌握多項(xiàng)式的方法大學(xué)將以多項(xiàng)式的理論為主,更側(cè)重于一般性規(guī)律,比起初等代數(shù)更具抽象性本文通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)中常遇到且易出錯(cuò)的多項(xiàng)式的研究,歸納總結(jié)出一些綜合性的方法將初中所學(xué)的多項(xiàng)式因式分解與高等代數(shù)中所講因式分解進(jìn)行比擬,找出聯(lián)系,由表及里,深刻熟悉多項(xiàng)式因式分解在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2 相關(guān)概念與定理定義11(P27)數(shù)環(huán)R上的一個(gè)文字x的多項(xiàng)式或一元多項(xiàng)式指的是形式表達(dá)式a0a1xa2x2.anxn這里n是非負(fù)數(shù),而a0

2、,a1,a2,.,an都是R中的數(shù)定義24(P2)因式分解指的是把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的積的形式定義33(p29)Fx是數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式環(huán).f(x)g(x)是Fx的兩個(gè)多項(xiàng)式.假設(shè)Fx的一個(gè)多項(xiàng)式h(x)同時(shí)整除f(x)和g(x),那么h(x)叫做f(x)和g(x)的一個(gè)公因式定義42(P49)設(shè)p(x)是數(shù)域P上的一個(gè)次數(shù)大于等于1的多項(xiàng)式,如果p(x)不能表示成數(shù)域P上兩個(gè)次數(shù)比p(x)次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積,那么p(x)就稱為數(shù)域P上的不可約多項(xiàng)式多項(xiàng)式唯一因式分解定理3(P43)Fx的每一個(gè)n次多項(xiàng)式(n大于0)f(x)都可以分解成Fx的不可約多項(xiàng)式的乘積,且不可約多項(xiàng)式的乘積的

3、分解式是唯一的以下幾種數(shù)域經(jīng)常被用到,習(xí)慣上用一些特定的字母表示,我們約定：Q表示有理數(shù)域R表示實(shí)數(shù)域C表示復(fù)數(shù)域3 因式分解的方法多項(xiàng)式因式分解的方法具有多樣性和較強(qiáng)的靈活性其中以四個(gè)根本的方法為根底：提取公因式法、公式法、分組分解法和十字相乘法研究多項(xiàng)式分解方法是建立在四種方法之上的,只有掌握好根本的因式分解方法,才能應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想處理靈活性較大和技巧性較強(qiáng)的題型在此根底上通過(guò)討論分析多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),難易程度,總結(jié)綜合性的方法對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō),能夠熟練運(yùn)用以上方法即可.但要徹底的靈活掌握因式分解的方法,還要多做習(xí)題,掌握復(fù)雜的方法.多項(xiàng)式的研究在不同時(shí)期有不同的側(cè)重點(diǎn).初中的重點(diǎn)是放在因式分

4、解的方法上；而大學(xué)更側(cè)重于抽象的理論,通過(guò)對(duì)理論的理解來(lái)闡釋方法.近幾年,隨著數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的開(kāi)展,要求我們要在掌握根底知識(shí)的同時(shí),學(xué)會(huì)分析和總結(jié),靈活掌握其他方法.對(duì)于一些結(jié)構(gòu)比擬復(fù)雜,次數(shù)比擬高,系數(shù)比擬大的多項(xiàng)式,僅以根本方法和拆添相法、配方法是無(wú)從下手的.所以探討綜合性的方法是很必要的.在初中所講因式分解時(shí),要求分到不可再分,即在相應(yīng)的一元多項(xiàng)式環(huán)上分解成不可約多項(xiàng)式.如：X44(x22)(x22)此式就是Qx上的因式分解.其中X22和X22即為Qx上的不可約多項(xiàng)式.但考慮Rx,很顯然x22是可約多項(xiàng)式,它可進(jìn)一步分解為(xJ2)(xJ2),此時(shí)x22,x尬,xJ2都是Rx上的不可約

5、多項(xiàng)式.在Cx上多項(xiàng)式還可進(jìn)一步分解為(xv2i)(x2i)(xJ2)(xJ2).所以在進(jìn)行因式分解時(shí),首先必須明確所給數(shù)域,然后在相應(yīng)數(shù)域多項(xiàng)式環(huán)上因式分解.下面介紹的幾種方法具有很大的綜合性和靈活性,需要對(duì)所學(xué)的知識(shí)綜合利用,融會(huì)貫穿.3.1 主元法在多元多項(xiàng)式中,選擇其中某一個(gè)變?cè)獮橹饕?把其他變?cè)醋龀Ａ?將原式重新排列.它能使多項(xiàng)式的排列有序化,從而簡(jiǎn)化問(wèn)題,再進(jìn)行因式分解.例1因式分解：2x3x2z4x2y2xyz2xy2y2z.分析：此多項(xiàng)式比擬復(fù)雜含有三個(gè)變?cè)?以y作為主元,依次寫(xiě)出他的二次系數(shù),一次系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).多項(xiàng)式就一目了然了,然后再用其他方法進(jìn)行因式分解._32.2

6、222xxz4xy2xyz2xyyz2232(2xz)yy(2xz4x)(2xxz),一、2,一、-2一、(2xz)yy(z2x)2xx(2xz)_2(2xz)(xy)3.2 利用特殊值法將2或10代入多項(xiàng)式x中求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù),適當(dāng)?shù)慕M合,并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫(xiě)成2或10的和與差的形式,然后將2或10復(fù)原成x的因式分解.此方法比擬麻煩需要熟悉因數(shù)分解.例2因式分解：x39x223x15.分析：可令x2代入多項(xiàng)式中即x39x223x15105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積,105357注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1,而3,5,7分別為x1,x3,x5,在x2時(shí)的值,那么原式可能分解為

7、(x1)(x5)(x3)進(jìn)一步驗(yàn)證,可得最后結(jié)果所以x39x223x15=(x1)(x5)(x3)3.3 待定系數(shù)法待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中常用的方法,用途十分廣泛在因式分解中就是首先設(shè)出幾個(gè)含有待定系數(shù)的因式,然后根據(jù)多項(xiàng)式恒等和方程組來(lái)確定待定系數(shù),從而因式分解要求我們會(huì)熟練計(jì)算方程組例3因式分解：x3y3z33xyz分析：由于原式為輪換對(duì)稱式,其分解后的因式也必然是輪換對(duì)稱式當(dāng)x(yz)時(shí),原式0所以原式含有(xyz)的因式222m(xyz)n(xyzyzx),所以x3y3z33xyz=(xyz)m(x2y2比擬三次項(xiàng)系數(shù)得m1.又當(dāng)x1,y0,z1時(shí),余下的必為2次對(duì)稱式,設(shè)成2z)n(xy

8、zxyz)得22(2n).所以n1.33222yz3xyz=(xyz)(xyzxyyzxz).3.4 構(gòu)造法構(gòu)造法是近幾年開(kāi)展起來(lái)的一種解題方法,它的主要特點(diǎn)是“構(gòu)造,即通過(guò)構(gòu)造中介性輔助元素,溝通數(shù)學(xué)題的條件與結(jié)論或條件與問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系,使原題得以解決它的使用范圍很廣,是數(shù)學(xué)解題中的一種重要方法在分解因式時(shí),通過(guò)適當(dāng)構(gòu)造,可簡(jiǎn)化分解難度22例4因式分解：x2xy8y2x14y3分析：x22xy8y22x14y3=x22(y1)x8y214y3令原式0,X1X22(y1)(其中X1,X2分別為關(guān)于的x方程兩根),設(shè)x1(y1)k,x2(y1)k(構(gòu)造對(duì)偶式),又X1X2(y1)2k28y214

9、y3,22所以k2(3y2)2得X12y3,X24y1,3.5 換元法在比照擬復(fù)雜的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí),容易造成思路混亂,假設(shè)把其中某些局部看成一個(gè)整體,用新字母代替,能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,明朗化,在減少多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),降低多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有獨(dú)到的作用.這也就是換元思想在因式分解中的應(yīng)用.我們可以進(jìn)行一元代換(包括常值代換和式的代換),二元代換.3.5.1 常值代換例5因式分解：1999x2(199921)x1999.分析：初看此題式中系數(shù)較大,感覺(jué)無(wú)從下手,但可知每個(gè)式子中都有1999,我們不妨把數(shù)用字母表示.設(shè)1999a,那么1999x2(199921)x199922ax(a1)x

10、a22axaxxa(xa)(ax1)所以1999x2(199921)x1999=(x1999)(1999x1)3.5.2式的代換例6因式分解：(2a5)(a29)(2a7)91.分析：形如abcde的多項(xiàng)式,分解這類多項(xiàng)式時(shí),把4個(gè)因式按最小最大,中間兩兩分組,使得分組相乘后所得的因式中的相同局部設(shè)為新字母,易于分解.(2a5)(a29)(2a7)91(2a5)(a3)(a3)(2a7)91(2a2a15)(2a2a21)91.設(shè)2a2a15m,那么原式m(m6)91(m13)(m7)22(2a2a1513)(2a2a157)(2a7)(a4)(2a2a8).3.5.3二元代換12例7因式分斛

11、：xy(xy1)(xy3)2(xy-)(xy1).解設(shè)xya,xyb.12xy(xy1)(xy3)2(xy二)(xy1)21 2a(a1)(a3)2(b-)(b1)22 _2_aaa32b1b2b1(a1)2b2(ab1)(a1b)(xyxy1)(xyxy1)(x1)(y1)(y1)(x1)我們?cè)诜纸庖蚴降倪^(guò)程中,往往要將幾個(gè)分解因式的方法結(jié)合起來(lái)才能完成一個(gè)因式分解的問(wèn)題.3 33例8因式分解：(x2)(y2)(xy)解令mx2,ny2,所以mnxy.333(x2)(y2)(xy)333mn(mn)223(mn)(mmnn)(mn)2222(mn)(mmnnm2mnn)3(mn)mn3(xy

12、)(x2)(y2)此題是在換元的根底上,通過(guò)分組、公式、提公因式等多種方法來(lái)完成分解因式的.3.6對(duì)稱法主要談的是對(duì)稱式的性質(zhì)及對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系的運(yùn)用.所謂關(guān)于某些字母的對(duì)稱代數(shù)式,是指把式中的字母互換,所得的代數(shù)式和原代數(shù)式恒等這類代數(shù)式,如式2.23.2.23.axay,axbxyay,axbxybxyay分別稱作關(guān)于x,y的一次對(duì)稱多項(xiàng)式,二次對(duì)稱222、,、多項(xiàng)式,二次對(duì)稱多項(xiàng)式.又如a(xyz)b(xyyzxz)稱作關(guān)于x,y,z的二次對(duì)稱多項(xiàng)式.運(yùn)用對(duì)稱式的性質(zhì)“幾個(gè)對(duì)稱式的和,差,積,商仍是對(duì)稱式做對(duì)稱多項(xiàng)式的因式分解題較為方便.例9因式分解：(ab)5(bc)5(ca)5.5

13、55分析：(ab)(bc)(ca)為關(guān)于a,b,c的五次對(duì)稱多項(xiàng)式,易見(jiàn)當(dāng)ab時(shí),原式為0.所以ab是原式的一個(gè)因式,根據(jù)對(duì)稱式的性質(zhì),222、可設(shè)原式=(ab)(bc)(ca)m(abc)n(abbcca)令a0,b1,c1得2mn15,a2,b1,c1得6mn35.解以上兩式得m5,n5因此555(ab)(bc)(ca)2.22=5(ab)(bc)(ca)(abcabbcca).3.7 數(shù)列求和法有些多項(xiàng)式,如果各項(xiàng)之間具備等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系,或可化成這種關(guān)系,那么就可運(yùn)用等比數(shù)列求和公式Snw(1q)這樣往往比擬簡(jiǎn)單.1q例10因式分解：x4n4n22xy24n2xy4ny分析：此多項(xiàng)

14、式即等比數(shù)列4n24n2x,yx,x2y4n2,y4n各項(xiàng)之和222n1(y/x)4nSx1S2n1d221y/x2n12n12n1xyx4n2x2x4n2y2y2n1y4n4n22xxy24n24nxyy22n2n1=(xxy2n1xy2n(y)(2n2n1xxy2n12nxyy).作為大學(xué)數(shù)學(xué)根底課程的高等代數(shù),是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提升.它與中學(xué)代數(shù)有很大的不同,這種不同不僅表現(xiàn)在內(nèi)容的深度上,更重要的是表現(xiàn)在觀點(diǎn)和方法上.高等代數(shù)中的多項(xiàng)式不僅是實(shí)系數(shù)和復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,而且包括一般數(shù)域的數(shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式.求一元多項(xiàng)式的根,實(shí)際上就是求此多項(xiàng)式的一次因式.在高等代數(shù)中有很多理論都可以應(yīng)用到多項(xiàng)

15、式因式分解中如：重因式、求有理數(shù)根和行列式等來(lái)進(jìn)行因式分解.3.8 重因式法給出一個(gè)多項(xiàng)式先求出其導(dǎo)數(shù),然后利用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩者的最大公因式.在式子g(x)f(x)(f(x),f(x)中,g(x)與f(x)有相同的不可約多項(xiàng)式.首先將g(x)進(jìn)行因式分解,找到所有的不可約多項(xiàng)式,再利用綜合除法求出這些不可約多項(xiàng)式在f(x)中的次數(shù),最后寫(xiě)出f(x)的例11設(shè)f(x)解由于f(x)x56x416x324x220x8,f(x)4_32_5x24x48x48x20,利用輾轉(zhuǎn)相除法求得兩者的最大公因式為d(x)2x2,利用綜合除法除去因式x56x416x324x220x8求f(x)在實(shí)數(shù)域上的因式分

16、解形式.得g(x)的分解形式,/、f(x)g(x)(f(x),f(x)4x26x(x一2一2)(x22x2)所以f(x)(x22x2)2(x2).3.9 有理根法給出整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)naxnaxna2xan,先求出其有理根,然后根據(jù)根與因式的關(guān)系寫(xiě)出f(x)的因式分解形式.例12求f(x)的因式分解形式,f(x)3x45x3x25x2.解這個(gè)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)3的因數(shù)是1,3.常數(shù)項(xiàng)2因數(shù)是1,2.所以可能的有理根是1,2,2一一.我們算出1)12,f(31)8.所以1和1都不是多項(xiàng)式的根.另一方面,由于123都不是整數(shù),所以2和2都不是f(x)的根.但3128J2_8J2_81T11,

17、1,112121111-33331都是整數(shù),所以2和一在試驗(yàn)之列,應(yīng)用綜合除法,我們得到2是f(x)的一個(gè)有理根但不是重31根.同理可知1也是f(x)的一個(gè)有理根.3,12所以f(x)3(x2)(x-)(x21).3說(shuō)明：當(dāng)f(1)和f(1)都是零時(shí),可利用根與因式的關(guān)系考慮商式,進(jìn)行因式分解.3.10行列式法這里利用行列式的性質(zhì)來(lái)分解因式,關(guān)鍵是要找到一個(gè)適當(dāng)?shù)男辛惺?的多項(xiàng)式.例13因式分解：x46x3x224x20.解x46x3x224x20使其展開(kāi)式就是所討論=x2(x26x1)4(6x5)x26x5=2D,4x26x1第二行乘1加到第一行上,得Dx24(x24)4x26x1,提取公因

18、式,得211D(x4)24x26x122一=(x4)(x6x5)=(x2)(x2)(x5)(x1)333例14因式分解：xyz3xyz解x3y3z33xyz333xxyzyxyzzxyz222x(xyz)y(yxz)z(zxy)由代數(shù)余子式的定義,得333xyz3xyzxyzzxyyzxD.將第二行和第三行加到第一行上得到公因式xyzxyzxyzxyzDzxy111(xyz)zxyyzx(xyz)(x2y2z2xyzxzy).100(xyz)zxzyzyzyxy4因式分解方法的應(yīng)用因式分解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容,也是一項(xiàng)重要的根本技能和根底知識(shí),更是一種數(shù)學(xué)的變形方法,在今后的學(xué)習(xí)中有著重

19、要的作用.因此,除了單純的因式分解問(wèn)題外,因式分解在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著廣泛的作用,因式分解在三角形中的應(yīng)用,因式分解可以用來(lái)證實(shí)代數(shù)問(wèn)題,用于代數(shù)式的求值,用于求不定方程,用于解應(yīng)用題解決有關(guān)復(fù)雜數(shù)值的計(jì)算,它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一,它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中,是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.因式分解方法靈活,技巧性強(qiáng),學(xué)習(xí)這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的,而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能,開(kāi)展學(xué)生的思維水平,都有著十分獨(dú)特的作用.下面介紹一些較為簡(jiǎn)單的應(yīng)用,以便初學(xué)者參考.4.1 利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算11111、例1積(1)(1)(1)(1-).(1-)13243

20、54699101的整數(shù)局部為()A.1B.2C.3D.4分析：這道題,要求99個(gè)括號(hào)里的數(shù)值的乘積,當(dāng)然不能用常規(guī)方法去實(shí)乘.觀察其特點(diǎn)：每個(gè)分母是相鄰奇數(shù)或偶數(shù)的積,記為n(n2)；每個(gè)括號(hào)的分子相加又都是n(n2)1(n1)2,于是,設(shè)所求式子之積為S,那么有2222S_2_4100213243599101_2_222_223242.1002200221234.100101101所以1S2,應(yīng)選A.說(shuō)明：運(yùn)用因式分解,使隱含的數(shù)量關(guān)系明顯化.4.2 利用因式分解化簡(jiǎn)求值例2acbd0,那么ab(c2d2)cd(a2b2)的值等于解ab(c2d2)cd(a2b2)(abc2a2cd)(abd

21、2b2cd)ac(bcad)bd(adbc)(adbc)(acbd)(adbc)00說(shuō)明：利用因式分解,先化簡(jiǎn)代數(shù)式,上述的求值題變得十分容易了4.3 利用因式分解解方程例3求方程4x24xy3y25的整數(shù)解.解原方程可以化為(2x3y)(2xy)5由于x,y是整數(shù),故2x3y和2xy必是整數(shù).又由于551(5)(1),因此原方程可化為四個(gè)方程組：2x3y12x3y52xy5;2xy1;2x3y12x3y5;.2xy52xy1解這四個(gè)方程組,便可得原方程的四組解x12x21x32x41;y11y21y31y41說(shuō)明：因式分解的運(yùn)用,使這兩道方程轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一次方程4.4 利用因式分解判斷整

22、除性例4n為某一自然數(shù),代入n3n中計(jì)算其值時(shí),四個(gè)同學(xué)算出如下四個(gè)結(jié)果,其中正確的結(jié)果只能是()A.388944B.388945C.388954D.388948解由于n3nn(n21)(n1)n(n1),可見(jiàn)它是連續(xù)三個(gè)自然數(shù)的乘積,而連續(xù)三個(gè)自然數(shù)中必有一個(gè)偶數(shù),也必有能被3整除的數(shù),故n3n既能被2,又能被3整除,故只能選A例5設(shè)實(shí)數(shù)abcd如果x(ab)(cd),y(ac)(bd),z(ad)(bc),那么x,y,z的大小關(guān)系為()A.xyzB.yzC.zxyD.不能確定解由于abcd,所以xy(ab)(cd)(ac)(bd)acbdabcd(ad)(cb)0即；xy同理yz(ab)(dc)0,即yz.所以xyz,選A.說(shuō)明：因式分解能使xy和yx兩個(gè)差式顯示出正負(fù)性質(zhì),到達(dá)可比擬的目的.4.5 運(yùn)用于一些證實(shí)題中例6設(shè)g(x)ax2bxc且abc0,f(x)x3apbaqcar假設(shè)g(x)/f(x),求證：上abc證實(shí)：用待定系數(shù)法,設(shè)32xpxqxr2(axbxc)(mxn)3,.、2八、amx(anbm)x(bncm)xnc比擬系數(shù),得am1,anbmp,bnmcq,ncr代入要求證的式子中,即可得所需的等式.例7求證：多項(xiàng)式5049