圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式(極坐標(biāo)參數(shù)方程)資料講解

1、圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式(極坐標(biāo)方程)圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題是高考命題的大熱點(diǎn)，主要是在解答題中，全國(guó)文科一般為壓軸題的第22題，理科和各省市一般為第21題或者第20題，幾乎每一年都有考察。由于題目的綜合性很高的，運(yùn)算量很大，屬于高難度題目，考試的得分率極低。本文介紹的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式是圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)的通用公式，它是解決這類(lèi)問(wèn)題的金鑰匙，利用這個(gè)公式使得極其復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，中等學(xué)習(xí)程度的學(xué)生完全能夠得心應(yīng)手?。慷ɡ硪阎獔A錐曲線(橢圓、雙曲線或者拋物線)的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸(或平行于坐標(biāo)軸),焦點(diǎn)為F,設(shè)傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)F,且與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，記圓錐曲線的離心率為e,通徑

2、長(zhǎng)為H,則H(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，弦AB的長(zhǎng)|AB|亍5一；|1e2cos2|H(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，弦AB的長(zhǎng)|AB|zz一.|1e2sin2|推論：H(1)焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)A、B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時(shí)，|AB|2H2;1ecosH當(dāng)A、B不在雙曲線的一支上時(shí)，|AB|2;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，ecos1H|AB|.sinH(2)焦點(diǎn)在y軸上，當(dāng)A、B在橢圓、拋物線或雙曲線的一支上時(shí)，|AB|；2271esinH當(dāng)A、B不在雙曲線的一支上時(shí)，|AB|4;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí),esin1H|AB|.cos典題妙解下面以部分高考題為例說(shuō)明上述結(jié)論在解題中的妙用22例1(06湖南文第

3、21題)已知橢圓C1:二匕1,拋物線(ym)22Px(p>0),43且Ci、C2的公共弦AB過(guò)橢圓Ci的右焦點(diǎn).(I)當(dāng)ABx軸時(shí)，求p,m的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上;4,八(H)若4且拋物線C2的焦點(diǎn)在直線AB上，求3例2(07全國(guó)I文第22題)已知橢圓1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的BD,垂足為P.直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且AC22(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),證明：%-<1.32(2)求四邊形ABCD的面積的最小值.例3(08全國(guó)I理第21題文第22題)雙曲線的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x上，兩條漸近線分別為li、,經(jīng)

4、過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于li的直線分別交li、l2于A、B兩點(diǎn).已知|oA卜|AB|、|0B|成等差數(shù)列，且BF與FA同向.(I)求雙曲線的離心率；(n)設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4,求雙曲線的方程金指點(diǎn)睛21,已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓X21的上焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則4IAB|=.22,過(guò)雙曲線X21的左焦點(diǎn)F作傾斜角為一的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，則36IAB|=.3,已知橢圓X22y220,過(guò)左焦點(diǎn)F作直線l交A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB的最大面積.24.已知拋物線y4px(p>0),弦AB過(guò)焦點(diǎn)F,設(shè)|AB|m,AOB的面積為S,S2求證：m為定值.22y5 .（05

5、全國(guó)n又第22題）P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓x1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正2半軸上的焦點(diǎn).已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PFMF0.求四邊形PQMN的面積的最大值和最小值.6 .(07重慶文第22題)如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).(I)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；(n)若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|FP|cos2為定值，并求此定值、“y7 .點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線l:y30的距離小1.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且互相垂直的兩條直線與軌跡相交于A、B;C、D.求四邊形ACBD的最小面積

6、.2X228,已知雙曲線的左右焦點(diǎn)F1、F2與橢圓y21的焦點(diǎn)相同，且以拋物線y22x的5準(zhǔn)線為其中一條準(zhǔn)線(1)求雙曲線的方程;(2)若經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F2且互相垂直的兩條直線與雙曲線相交于A、B;C、D,求四邊形ACBD的面積的最小值liB<F2D一I2圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一個(gè)公式在高考中的妙用參考答案2證明：設(shè)雙曲線方程為L(zhǎng)1(a>0,b>0),通徑hb2弦AB所在的直線l的方程為yk（xc）（其中ktan,為直線l的傾斜角），其參數(shù)方程為ctcostsin.'（t為參數(shù)）.代入雙曲線方程并整理得：(a2sin2b2cos2)t22b2ccostb40.由t的幾何意義可得

7、：|AB|t1t21«t1t2)24t1t2222bccos、24b八2r-22222r22asinbcosasinbcos2abj|a2sin2b2cos2|2b222.a|1ecos|2b2a一22,|1ecos|H22.|1ecos|m0,直線AB的方程為例1.解：（I）當(dāng)ABx軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),x1.33從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,）或（1,）.點(diǎn)A在拋物線C2上,9r9一2P.即p-.489此時(shí)拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（,0）,該焦點(diǎn)不在直線AB上.16（n）設(shè)直線ab的傾斜角為，由（I）知.則直線AB的方程為ytan（x1）.拋物線C2的對(duì)稱(chēng)軸ym平行于x軸,焦點(diǎn)在AB

8、上，通徑H2p于是有IAB|H2sin31cos2)AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)，通徑H2b23,一»1離心率e一|AB|-一2|1eH2.cos|122cos83(1cos2)解之得:2cos1224cos1.-,tan,6.拋物線-_2C2的焦點(diǎn)F(-,3m)在直線ytan(x1.-tan,從而m3,63當(dāng)m上6時(shí)，直線AB的方程為妮x30;、”6mm時(shí)，直線AB的方程為36xx2例2.(1)證明：在一321中,2、3,bF1PF290,0是F1F2的中點(diǎn),八1|OP|-|F1F2|c1.得x。22y。1.1上.顯然，圓x21在橢圓2y1的內(nèi)部.22故人-32y。1.(2)解：如圖，設(shè)

9、直線BD的傾斜角為，由ACBD可知，直線AC的傾斜角一2|BD|AC|H4.3L22o2，1ecos3cosH4、31e2cos2()3sin222b24,3士、生3通徑H,離心率e.a33又BD、AC分別過(guò)橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2,于是四邊形ABCD的面積1S|BD|AC|14,34323cos23sin2962.24sin22一2一一0,，sin20,1.96,425故四邊形ABCD面積的最小值為9625例3,解：（I）設(shè)雙曲線的方程為22x241(a>0,b>0)ab|OA|、|AB|、|OB|成等差數(shù)列,設(shè)|AB|m,公差為d,則|OA|2_2m2dmd.|OB|md,、

10、22,、21222(md)m(md).即m2dmdm.從而|OA|43m4，|OB|5m4又設(shè)直線l1的傾斜角為,則AOB2.1i的方程為ytanb,而tan2atanAOB|AB|4|OA|32tan1tan2解之得：ba(n)設(shè)過(guò)焦點(diǎn)cossin2cos通徑H2b2又設(shè)直線(-)2a、52F的直線AB.而sin2b.2bba的傾斜角為tan21tan2AB與雙曲線的交點(diǎn)為bFT2虻(J2M、N.于是有:|MN|解得b3,從而6.所求的橢圓方程為361.1.解：a2,b1,cJ3,離心率次通徑2|AB|HJ2.21esin2.解：a1,b3,c2,離心率ec2,通徑Ha2b2JH422.co

11、s2b21,直線l的傾斜角6,直線的傾斜角一jrr3.|12()|2-x2,3.解：y1,2J2b1,c1,左焦點(diǎn)F(1,0),離心率e亨，通徑H型,2.a當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),lx軸，這時(shí)|AB|1AOB的面積S2當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的傾斜角為則其方程為ytan(xtanxytan0AB,|0tan0tanditan21|tan|sec|!sinH|AB|21ecos2cos2222cos222sinAOB的面積S1-|AB|d22sin0V.2sinsin>0.從而1.2sin2sin.2sin2sin.22的最大面積為型2當(dāng)且僅當(dāng)sin1,即一時(shí),2“=”號(hào)成立.故4A

12、OB4.解：焦點(diǎn)為F(p,0),通徑4p.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),ABx軸，這時(shí)|AB|m4p,高|OF|p,AAOB12的面積S-|AB|OF|2p.4p44p4m4pp3,是定值.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為,則其方程為ytan(xp),即tanxyptan0到直線ABd|ptan|p|tan|sec|psinH|AB|2sin4p2sinAOB的面積1S|AB|2d至sino24S4p_2msin14p4一_2msin2sin3p.4p不論直線AB在什么位置,S2均有mp3為定值）.5.解：在橢圓2x21中，aJ2,b21,c1.由已知條件,MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于

13、焦點(diǎn)F(0,1),且MNPQ.如圖，設(shè)直線PQ的傾斜角為,則直線MN的傾斜角一2通徑H2b-<2,離心率e3.于是有2|MN|1e2sin2(一)222c2'2cos|PQ|H2、222_2esin2sin四邊形PQMN的面積故四邊形PQMN面積的最小值和最大值分別為和2.9c1八S-|MN|PQ|1222222cos_所求的點(diǎn)M的軌跡方程是x8y.(2)兩條互相垂直的直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的斜率都存在.如圖，設(shè)直線AB的傾斜角為則直線CD的傾斜角為90.2sin2168sin22"0,sin220,1.16|AF|AC|AD|p|AF|cos4.|AF|41c

14、os|EF|AF|AE|1|AF|-|AB|cos4.2sin4cosl2，sin6.(I)解：2P8,p4,拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線l的方程為x2.(n)證明：作ACl于C,FDAC于D.通徑H2p8.H8則|AB|,|EF|FP|cos,|AD|AF|cossinsin|FP|FP|cos2|FP|(1cos242sin2sin28.|EF|4從而|FP|!一2cossin故|FP|FP|cos2為定值，此定值為8.7 .解：(1)根據(jù)題意，點(diǎn)M與點(diǎn)F(0,2)的距離與它到直線l:y2的距離相等,yDB點(diǎn)M的軌跡是拋物線，點(diǎn)F(0,2)是它的焦點(diǎn)，直線l:y2是它的準(zhǔn)線拋物線的通徑H2p8,于是有:H|AB|cosd,|CD|90)8sin四邊形ACBD的面積C1S-|AB|21 82 cos2128sin22.|CD|8sin2當(dāng)且僅當(dāng)sin22取得最大值1時(shí)，Smin128,這時(shí)290四邊形ACBD的最小面積為128.28 .解：(1)在橢圓y兩條互相垂直的直線與雙曲線均有兩個(gè)交點(diǎn),1中，a<5,b1,cUa2b22,其焦點(diǎn)為F(2,0)、5F2(2,0).在拋物線y22x中，p1,其準(zhǔn)線方程