合情推理與演繹推理題型整理總結講解-共18頁

1、題型一用歸納推理發(fā)現規(guī)律例1:通過觀察以下等式,猜測出一個一般性的結論,并證實結論的真假.U2rL02U2U2U2Usin15+sin75+sin135=一；sin30+sin90+sin150=;22.20.20.203.20.20.203sin45sin105sin165;sin60sin120sin180=-.223斛析：猜測：sin(1-60)sin.工"sin(：s二60)=-2證實：左邊=(sinecos60°-cos,sin60°)2sin2,;(sin±cos600cosi.isin600)2=3(sin2二二cos2=)=3=右邊22注

2、；注意觀察四個式子的共同特征或規(guī)律(1)結構的一致性,(2)觀察角的“共性(1)先猜后證是一種常見題型(2)歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型,二是“遞推型,三是“循環(huán)型(周期性)題型二用類比推理猜測新的命題例2:正三角形內切圓的半徑是高的1,把這個結論推廣到空間正四面體,3類似的結論是.111解析：原問題的解法為等面積法,即S=1ah=3x1arr=-h,類比問題的解223111法應為等體積法,VJShndMSrnr=,h即正四面體的內切球的半徑是高33414注：(1)不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比(2)類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數列與等比

3、數列類比；圓錐曲線間的類比等(3)在平面和空間的類比中,三角形對應三棱錐(即四面體),長度對應面積；面積對應體積；點對應線；線對應面；圓對應球；梯形對應棱臺等.(4)找對應元素的對應關系,如：兩條邊(直線)垂直對應線面垂直或面面垂直,邊相等對應面積相等題型三利用“三段論進行推理例3某校對文明班的評選設計了a,b,c,d,e五個方面的多元評價指標,并通過經驗公式樣S=a+c+1來計算各班的綜合得分,S的值越高那么評價效果越好,假設bde某班在自測過程中各項指標顯示出0<c<d<e<b<a,那么下階段要把其中一個指標的值增加1個單位,而使得S的值增加最多,那么該指標應

4、為.(填入a,b,c,d,e中的某個字母)解析：因a,b,c,d,e都為正數,故分子越大或分母越小時,S的值越大,而在分子都增加1的前提下,分母越小時,S的值增長越多,<0<c<d<e<b<a,所以c增大1個單位會使得S的值增加最多注：從分式的性質中尋找S值的變化規(guī)律；此題的大前提是隱含的,需要經過思考才能得到1.以下說法正確的選項是()A.類比推理是由特殊到一般的推理B.演繹推理是特殊到一般的推理C.歸納推理是個別到一般的推理D.合情推理可以作為證實的步驟答案：C1113.a>0(i=1,2,HLn),考祭以下式子：a一21;(ii)(&+a

5、2)(十一)至4;a1a1a2111(iii)(A+a2+%)(一+)之9.我們可以歸納出,對島,|l|a也成立的類似不Aa2a3等式為111o答案：(a-a2-III-an)()-nAa2an4.現有一個關于平面圖形的命題：如圖,同一個平面內有兩個邊長都是a的正方形,其中一個的某頂點在另一個的中央,那么這兩個正方形重疊局部的面積包為2.類比到空間,有兩個棱長均為a的正方體,其中一個的某頂點在另一個的4中央,那么這兩個正方體重疊局部的體積恒為.解析解法的類比(特殊化)3易得兩個正方體重疊局部的體積為85 .AABC的三邊長為a,b,c,內切圓半徑為r(用S&bc表示SBC的面積),1那

6、么S遂bc=,r(a+b+c);類比這一結論有:那么三棱錐體積Vacd=假設三棱錐ABCD的內切球半徑為R,解析13R(SABCSABDSACD-SpCD6 .在平面直角坐標系中,直線一般方程為Ax+By+C=0,圓心在(x°,y()的圓的一般方程為(x-xo)2+(y-y.)2=r2;那么類似的,在空間直角坐標系中,平面的一般方程為,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為答案；Ax+By+Cz+D=0;(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r27 .(1)等差數列的定義為：在一個數列中,從第二項起,如果每一項與它的前一項的和都為同一個常數,那么這個數列叫做等和數列,這

7、個常數叫做該數列的公和.類比等差數列的定義給出“等和數列的定(2)數列客是等和數列,且ai=2,公和為5,那么ai8的值為答案：(1)在一個數列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數,那么這個數叫做等和數列,這個常數叫做該數列的公和；(2)a18=3；8.對大于或等于2的自然數m的n次方幕有如下分解方式：_2_2_2_2=133=1354=135723=3533=791143=13151719根據上述分解規(guī)律,那么52=1+3+5+7+9,假設m3(mwN*)的分解中最小的數是73,那么m的值為答案：m=9(2021全國I卷)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A,B,C三個城市時,甲說：我

8、去過的城市比乙多,但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一個城市.由此可判斷乙去過的城市為.1、小王、小劉、小張參加了今年的高考,考完后在一起議論.小王說：“我肯定考上重點大學.小劉說：“重點大學我是考不上了.小張說：“要是不管重點不重點,我考上肯定沒問題.發(fā)榜結果說明,三人中考取重點大學、一般大學和沒考上大學的各有一個,并且他們三個人的預言只有一個人是對的,另外兩個人的預言都同事實恰好相反.可見：()(A)小王沒考上,小劉考上一般大學,小張考上重點大學(B)小王考上一般大學,小劉沒考上,小張考上重點大學(C)小王沒考上,小劉考上重點大學,小張考上一般大學(D)小王考上一般

9、大學,小劉考上重點大學,小張沒考上ab一3、給出以下二個命題：右a至b至一1,那么>；右正整數m和n滿足mn,1 a1b那么vm(n-m)<n；設P(xi,y1)為圓Oi:x2+y2=9上任意一點,圓O2以Q(a,b)為圓心且半徑為1.當(ax1)2+(by1)2=1時,圓O1與圓O2相切.其中假色理的個數是()(A)0(B)1(C)2(D)3、填空題14、設函數f(x)=-廣,利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法,可求2x.2得f(-5)f(0)+f(5)+f(6)的值為、選擇題(1)由推理知識,可知應選(C)(3)由不等式的根本性質以及圓方程的性質,可知應選(B)二、填空題

10、(4)分析此題利用類比課本中推導等差數列前n項和公式的倒序相加法,觀察每一個因式的特點,嘗試著計算f(x)+f(1-x):.f(x)=12x2f(1-x)2x2.22x12x21ex1 2f(x)f(1-x)、2v22x、2發(fā)現f(x)十f(1x)正好是一個定值,A2S=X12,.rS=3j2.2【典型例題】例1:(1)迄今為止,人類已借助“網格計算技術找到了630萬位的最大質數.小王發(fā)現由8個質數組成的數列41,43,47,53,61,71,83,97的一個通項公式,并根據通項公式得出數列的后幾項,發(fā)現它們也是質數.小王欣喜萬分,但小王按得出的通項公式,再往后寫幾個數發(fā)現它們不是質數.他寫出

11、不是質數的一個數是()A.1643B.1679C.1681D,1697答案：Co解析：觀察可知：a2-a1=2,a3-2=4,a4-3=6,an-'ani=2(nd),累加可彳導：ane=24-2(n-1)C1)(22n-2)=1,222an=-n+41驗證可知1681符合此式,且41X41=1681.22'(2)下面給出了關于復數的四種類比推理：復數的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法那么；由向量a的性質|a12=a2類比得到復數z的性質|z|2=z22萬程ax+bx+c=0(a,b,c=R)有兩個不同實數根的條件是b-4ac>0可以類比得到：方程az2+bz+c=

12、0(a,b,cwC)有兩個不同復數根的條件是b24ac>0；由向量加法的幾何意義可以類比得到復數加法的幾何意義其中類比錯誤的選項是()A.B.C.D.答案：D.解析：由復數的性質可知.(3)定義A*B,B*C,C*D,D*A的運算分別對應以下圖中的(1)、(2)、(3)、(4),那么以下圖中的(A)、(B)所對應的運算結果可能是(答案：Bo2h2例3:在ABC中,假設/0=90°,AC=b,BC=a,貝ABC的外接圓的半徑rJa把上2面的結論推廣到空間,寫出相類似的結論.答案：此題是“由平面向空間類比.考慮到平面中的圖形是一個直角三角形,所以在空間中我們可以選取有3個面兩兩垂直

13、的四面體來考慮.取空間中有三條側棱兩兩垂直的四面體A-BCD,且AB=a,AC力,AD=c,一2722那么此三棱錐的外接球的半徑是r=、abC.2例4:請你把不等式“假設a1,a2是正實數,那么有22亙+曳主a+a2推廣到一般情形,并a2ai證實你的結論.答案：推廣的結論:ai,a2,an都是正數,a2a32anan2-aia2aian證實:,ai,a2>,an都是正數2aia22_a2_+a2至2a,一+ai2a2ai2an-ianan2anaiai-2an2亙a22a2.a32an2ana2anan-4【課內練習】1.給定集合A、B,定義A*B=x|x=mn,mwA,nwB,假設A=

14、4,5,6,B=1,2,3,那么集合A*B中的所有元素之和為A.15B.14C.27D.-14答案：A.解析：A*B=1,2,3,4,5,1+2+3+4+5=15.2.A、觀察式子:,那么可歸納出式子為12n-1D、112n2232n22n1C、13E2232n2n答案：0=解析：用n=2代入選項判斷.3 .有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,那么平行于平面內所有直線；直線b5平面0,直線au平面口,直線b/平面口,那么直線b/直線a的結論顯然是錯誤的,這是由于A.大前提錯誤B.小前提錯誤0.推理形式錯誤D.非以上錯誤答案：Ao解析：直線平行于平面,并不平行于平面內所有直線.4 .古希臘

15、數學家把數1,3,6,10,15,21,叫做三角數,它有一定的規(guī)律性,第30個三角數與第28個三角數的差為.答案：59.解析：記這一系列三角數構成數列.,那么由a2_百=2,a3a2=3,a4a3=4；,歸納狷測a30-a29=z30,a29a2829,兩式相加得a30a2859.或由a1=1,a2=1+2,a3答案：菱形對角線互相垂直且平分.7.在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶,第二件首飾是由6顆珠寶構成如圖1所示的正六邊形,第三件首飾是由15顆珠寶構成如圖2所示的正六邊形第四件首飾是由28顆珠寶構成如圖3所示的正六邊形,第五件首飾是由45顆珠寶構成如圖4所示

16、的正六邊形,以后每件首飾都在前一件上,根據這種規(guī)律增加一定數量的珠寶,使它構成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應有顆珠寶；那么前n件首飾所用珠寶總數為顆.結果用n表示+2+3,猜測an=1+2平一十n.a2ao3aqna5 .數列an是正項等差數列,假設bn=23n,那么數列bn也為等差123-n數列.類比上述結論,寫出正項等比數列cn,假設dn=,那么數列dn也為等比數列.1答案：gc；c；丁笠1七本辛$.6.“<AC,BD是菱形ABCD的對角線,AC,BD互相垂直且平分.補充以上推理的大前提圖3圖4答案：66,"nF4n_1).解析：利用歸納推理知.68.在平面上,我們

17、如果用一條直線去截正方形的一個角,那么截下的一個直角三角形,按圖所標邊長,由勾股定理有：c2=a2b2.設想正方形換成正方體,把截線換成如圖的截面,這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐OLMN,如果用Si,S2,S3表示三個側面面積,S4表示截面面積,那么你類比得到的結論是.答案:S12+S；+S；=S：.229,橢圓C:,+%=1具有性質：假設M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩點,點P是橢a2b2圓C上任意一點,當直線PM、PN的斜率都存在,并記為Kpm、Kpn時,那么Kpm與Kpn之積22是與點p位置無關的定值.試對雙曲線q=i寫出具有類似特性的性質,并加以證實.a2b222答案：此題

18、明確要求進行“性質類比.類似的性質：假設M、N是雙曲線今巧=1上關于a2b2原點對稱的兩點,點P是雙曲線上任意一點,當直線PM、PN的斜率都存在,并記為Kpm、Kpn時,那么Kpm與Kpn之積是與點P位置無關的定值.證實如下：22設M(m,n),那么N(-m,-n),其中mn-=1c22ab設P(x,y),由kpm=ynxm,KPNynx：:；m22y-ny二ny-nKpmKpn=2x-mx-mx如圖,橢圓中央在坐標原點,F為左焦點,當時淇離心率為",此類橢圓被稱.m22b2.22府y=x-b,nab2991J22°10.觀察下面由奇數組成的數陣,答復以下問題:(I)(n)

19、(出)求第六行的第一個數.求第求第20行的第一個數.20行的所有數的和.135791113151719=2mb代入信KPMKPN答案：(I)第六行的第一個數為31(n)第n行的最后一個數是n2+n-1,第n行共有n個數,且這些數構成一個等差數列,設第n行的第一個數是an1n2+n-1=an1+2(n1)an1=n2n+1第20行的第一個數為3(出)第20行構成首項為381,公差為2的等差數列,且有20個數設第20行的所有數的和為S20貝us20=381X20+20(20-1)22=8000為“黃金橢圓.類比“黃金橢圓,可推算出"黃金雙曲線的離心率e等于ABF應用勾【作業(yè)本】A組1 .

20、在數列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第25項為(A.25B.6C.7D.8,一一,一n(n1),一,67答案：Co解析：對于"(""中,當n=6時,有6=21所以第25項是7.22'一、一一22.222.2.22股定理相AF=BF+AB,即有(a+c)=(b+c)+(a+b),注意到b22C、2-51-a,e=,變形得e-3-1=0,從而$=a23 .下面幾種推理過程是演繹推理的是()A、兩條直線平行,同旁內角互補,如果/A和/B是兩條平行直線的同旁內角,那么/A+/B=180°日由平面三角形的性質,推測空間四面體性質C某校高三共有

21、10個班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推測各班都超過50人口在數列an八,a1Han(an)(n>2),由此推出出的通項公式2%八一,答案：A.解析：B是類比推理,CD是歸納推理.4 .由正方形的對角線相等；平行四邊形的對角線相等；正方形是平行四邊形,根據“三段論推理出一個結論,那么這個結論是.答案：口.解析：是大前提,是小前提,是結論.5 .公比為4的等比數列bn中,假設Tn是數列bn的前n項積,那么有巨,131,140也成等比T10T20T30數列,且公比為4100；類比上述結論,相應地在公差為3的等差數列On中,假設Sn是口的前n項和,那么數列也成等差數列,且公差

22、為.答案：S20-S10,S30-S20,S40-S30；300.解析：采用解法類比.6 .二十世紀六十年代,日本數學家角谷發(fā)現了一個奇怪現象：一個自然數,如果它是偶數就用2除它,如果是奇數,那么將它乘以3后再加1,反復進行這樣兩種運算,必然會得到什么結果,試考查幾個數并給出猜測.答案：取自然數6,按角谷的作法有：6+2=3,3X3+1=10,3X5+1=16,16+2=8,8+2=4,4+2=2,2+2=1,其過程簡記為6一3一10一5一16一8一4一2一1.取自然數7,那么有722-11-34-17-52-26-13-40-2010一一1.取自然數100,那么10050-25-76-38-

23、19-58-29-88-4422一一1.歸納猜測：這樣反復運算,必然會得到1.7 .圓的垂徑定理有一個推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,這一性質能推廣到橢22圓嗎設AB是橢圓二+4=1(a>b>0)的任一弦,M是AB的中點,設OM與AB的斜率都a2b2存在,并設為Kom、Kab,那么Kom與Kab之間有何關系并證實你的結論.卜、,、,b2答案：Kom,Kab=-2-0證實：設A(x(,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),a那么ab22X2.222.2ab二1二1%*2修x2q:丫2耳-yb2=0X1-x2=2x0,yi-y2.2=2y.,.也.yL=.X0X|f2ab

24、2即Kom'Kab="2-,而afb,即Kom'Kab1aOM與AB不垂直,即不能推廣到橢圓中.B組1 .為保證信息平安,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文一密文(加密),接收方由密文一明文(解密),加密規(guī)那么為：明文a,b,c,d對應密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時,那么解密得到的明文為()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7'a+2b=14a=62b+c=9b=4答案：G解析：此題考查閱讀獲取信息水平,實那么為解方程組?,解得?

25、,2c3d=23c=14d=28d=7即解密得到的明文為6,4,1,7.2 .平面上有n個圓,其中每兩個都相交于兩點,每三個都無公共點,它們將平面分成f(n)塊區(qū)域,有f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,那么f(n)的表達式為()A、2nB、n2n+2C、2n-(n)(n2)(n-3)D、n35n2y0n4答案：B.解析：由f(2)f(1)=2,f(3)f(2)=4,f(4)f(3)=6,猜測f(n+1)f(n)=2n,利用累加法,得f(n)=n2-n+2.一13 .設f(x)=一L,利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法,可求得2xf(_5)+f(M)+一十f(0)+一+f(5)+f

26、(6)的值為()A、MB、2拒C3后D、4V2答案：Co解析：f(x)+f(1-x)=上.24 .考察以下一組不等式：2353225252,2454235253,255523522253,將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣,使以上的不等式成為推廣不等式的特例,那么推廣的不等式可以是.答案：am+bm+>ambn+anbm(a,b>0,ab,m,n>0)(或a,ba0,a#b,m,n為正整數).解析：填2m+5m*>2m5n+2n5m以及是否注明字母的取值符號和關系,也行.5 .如以下圖,第(1)個多邊形是由正三角形“擴展“而來,第(2)個多邊形是由正四邊形

27、“擴展而來,如此類推.設由正n邊形“擴展而來的多邊形的邊數為an,97答案：42;3006 .指出下面推理中的大前提和小前提.(1) 5與2J2可以比擬大小；(2)直線a,b,c,假設a/b,cb,那么a/c.答案：(1)大前提是實數可以比擬大小,小前提是5與2#是實數.(2)大前提是平行于同一條直線的兩直線互相平行,小前提是a/b,c/b.7 .函數y=f(x),對任意的兩個不相等的實數X|,X2,都有f(Xi+X2)=f(Xi).f(X2)成立,且f(0)#0,求f(/006),f(N005)f(2005).f(2006)的值.答案：,當X1=0,x2=x時,f(0+X)=f(0),f(X

28、),由f(0)第0,0f(0)=1,二f(_x),f(x)=f(0)=1,從而可得:f(2006)f(-2005)-"f(2005)f(2006)=f(-2006)f(2006)f(2005)f(2005)f(0)=f(0)f(0)f(0)=18 .數列an滿足8+an=2n+1,(1) 寫出a1,a2,a3,并推測an的表達式；(2)證實所得的結論.答案：(1)a1=,a2=,a3=,猜測an=22482n(2) 由(1)已得當n=1時,命題成立；,r一1假設n=k時,命題成立,即ak=2-,2k當n=k+1時,a+a2+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,JeLa1+a2

29、+ak=2k+1ak2k+1ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,一一一1一1.2ak+1=2+2,ak+1=2二,即占n=k+1時,命題成R.2k2K1根據得nCN+,an=2-都成立2n一、填空題1 .如以下圖,對大于或等于2的自然數m的n次哥進行如下方式的“分裂仿此,52的“分裂中最大的數是,假設m3的“分裂中最小的數是211,那么m的值為.2 .下面給出三個類比推理命題其中Q為有理數集,R為實數集,C為復數集；"a,bwR,假設ab=0,那么2=b"類比推出"a,bwC,假設ab=0,那么2=1;"a,b,c,dRR,假設復數a+bi=c

30、+diUa=c,b=d"類比推出"a,b,c,dwQ,假設a+b=c+>/2d,那么a=c,b=d""a,bwR,假設ab>0,那么a>b"類比推出"a,bwC,假設ab>0,那么a>b"其中類比結論正確的序號是寫出所有正確結論的序號一11113 .f(n)=+川+2,那么f(n)中共有項.nn1n2n4.設f(x)=(xa)(xb)(xc)(a,b,c是兩兩不等的常數),那么3M3f(a)f(b)f(c)二、選擇題5 .“所有金屬都能導電,鐵是金屬,所以鐵能導電,此推理類型屬于A.演繹推理B.

31、類比推理C.合情推理D.歸納推理6 .用三段論推理命題：任何實數的平方大于0,由于a是實數,所以a2>0",你認為這個推理A.大前題錯誤B.小前題錯誤C.推理形式錯誤D.是正確的1、一一7 .扇形的弧長為l,所在圓的半徑為r,類比三角形的面積公式：S=x底m高,可2得扇形的面積公式為1 2121.A.-rB.-1C.-rlD.不可類比8 .以下給出的平面圖形中,與空間的平行六面體作為類比對象較為適宜的是A.三角形B.梯形C.平行四邊形D.矩形9 .圖1是一個水平擺放的小正方體木塊,圖2,圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,根據這樣的規(guī)律放下去,至第七個疊放的圖形中,小正方體木

32、塊總數就是A.25C.91D.120111111.設P=11+11+yr+11,貝U()log2log3log4log5A.0<P<1B.1<P<2C2<P<3D.3<P<413.計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數制,采用數字0|_|9和字母ALF共16個計數符號,這些符號與十進制的數字的對應關系如下表：十六進制01234567十進制01234567十六進制189ABCDEF十進制89101112131415例如,用十六進制表示E+D=1B,那么AmB=()A.6EB.72C.5FD.B02214 .設a,bwR,a+2b=6,那么a+b的

33、最小值是()A. -225.3B. 3C. -3三、解做題115 .an=2-(n=Nt)記f(n)=(1a1)(1a?)(1a"試通過計算(n1)2f(1),f(2),f(3)的值,推測出f(n)的值.2222.224216 .是否存在常數a,b,c,使得等式1(n-1)+2(n-2)+|+n(n-n)=an+bn+c對一切正整數n都成立假設存在,求出a,b,c的值；假設不存在,說明理由.17 .計算：1.1-22.2(n®正整數);2nn18 .設f(x)=sin(2x+中)(一元中0),f(x)圖像的一條對稱軸是x=.81)求中的值；(2)求y=f(x)的增區(qū)間；(3)證實直線5x-2y+c=0與函數y=f(x)的圖象不相切.一、填空題1.9,152.3.n2-n+14.0解析：f(x)=(x-b)(xc)+(xa)(xc)+(x-a)(x-b),f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-a)(b-c),f(c)=(c-a)(c-b),iii-=-f(a)f(b)f(c)(a-b)(a-c)(b-a)(b-c)(c-a)(c-b)a(b-c)