高中微積分基本知識

1、.wd高中微積分根本知識第一章、 極限與連續(xù)一、 數(shù)列的極限1 數(shù)列定義：按著正整數(shù)的順序排列起來的無窮多個數(shù) 叫數(shù)列，記作，并吧每個數(shù)叫做數(shù)列的項，第n個數(shù)叫做數(shù)列的第n項或通項界的概念：一個數(shù)列，假設(shè)，對，都有，那么稱是有界的：假設(shè)不管有多大，總，那么稱是無界的假設(shè)，那么稱為的下界，稱為的上界有界的充要條件：既有上界，又有下界2 數(shù)列極限的概念定義：設(shè)為一個數(shù)列，為一個常數(shù)，假設(shè)對，總,當(dāng)時，有 那么稱是數(shù)列的極限，記作或數(shù)列有極限時，稱該數(shù)列為收斂的，否那么為發(fā)散的幾何意義：從第項開場，的所有項全部落在點的鄰域3 數(shù)列極限的性質(zhì)唯一性 收斂必有界 保號性：極限大小關(guān)系數(shù)列大小關(guān)系時二、

2、函數(shù)的極限1.定義：兩種情形：設(shè)在點處的某去心鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)，假設(shè)對，當(dāng)時，恒有成立， 那么稱在時有極限記作或幾何意義：對，當(dāng)時，介于兩直線單側(cè)極限：設(shè)在點處的右側(cè)某鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)，假設(shè)對，當(dāng)時，恒有成立，稱在處有右極限，記作或的充要條件為：=垂直漸近線：當(dāng)時，為在處的漸近線：設(shè)函數(shù)在上有定義，為常數(shù)，假設(shè)對，當(dāng)時，有成立，那么稱在時有極限，記作或的充要條件為：水平漸進(jìn)線： 假設(shè)或，那么是的水平漸近線2.函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性 局部有界性 局部保號性在當(dāng)時成立三、 極限的運算法那么1 四那么運算法那么設(shè)、的極限存在，那么 當(dāng)時 為常數(shù) 為正整數(shù) 2 復(fù)合運算法那么設(shè)，假設(shè)，那么可以

3、寫成 換元法根底四、極限存在準(zhǔn)那么及兩個重要極限1極限存在準(zhǔn)那么夾逼準(zhǔn)那么設(shè)有三個數(shù)列，滿足 ， 那么單調(diào)有界準(zhǔn)那么有界數(shù)列必有極限3 重要極限 或五、無窮大與無窮小1無窮?。涸谧宰兞磕硞€變化過程中，那么稱為x在該變化過程中的無窮小 假設(shè)，那么為x在所有變化過程中的無窮小 假設(shè)，那么不是無窮小性質(zhì)：1.有限個無窮小的代數(shù)和為無窮小 2.常量與無窮小的乘積為無窮小 3.有限個無窮小的乘積為無窮小 4.有極限的量與無窮小的乘積為無窮小 5.有界變量與無窮小的乘積為無窮小定理：的充要條件是，其中為x在該變化中過程中的無窮小無窮小的比擬：(趨于0的速度的大小比擬)，為同一變化過程中的無窮小假設(shè)常數(shù) 那

4、么是的同階無窮小 當(dāng)時為等價無窮小假設(shè)常數(shù) 那么是的k階無窮小假設(shè) 那么是的高階無窮小常用等價無窮?。?)；2無窮大：設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域內(nèi)有定義。假設(shè)對于，當(dāng)時，恒有稱當(dāng)時為無窮大，記作定理： 下：趨于某點，去心鄰域不為0 無窮大的乘積為無窮大， 其和、差、商不確定六、連續(xù)函數(shù)1定義設(shè)函數(shù)在某鄰域有定義，假設(shè)對，當(dāng)時，恒有： 也可記作 或 或為左或右連續(xù)2函數(shù)的連續(xù)點第一類連續(xù)點：左右極限存在第二類連續(xù)點：無窮連續(xù)點，震蕩連續(xù)點等3.連續(xù)函數(shù)的運算假設(shè)函數(shù)與都在處連續(xù)，那么函數(shù)， 定理：，假設(shè)在處連續(xù)，在處連續(xù)，那么在處連續(xù)4 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值定理：在上連續(xù)， 那么，對一切有介值定

5、理：在上連續(xù)，對于與之間的任何數(shù)，至少一點，第二章、 導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)的概念定義：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域有定義，如果極限 存在，那么稱函數(shù)在點可導(dǎo)，極限值為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記為單側(cè)導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點處的左側(cè)有定義，假設(shè)極限 存在，那么稱此極限為函數(shù)在點處的左導(dǎo)數(shù)，記為，類似有右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函數(shù)：函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo)，那么性質(zhì)：函數(shù)在點處可導(dǎo)的充要條件可導(dǎo)連續(xù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)點處的切線斜率二、求導(dǎo)法那么1函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法那么定理：假設(shè)都在x處可導(dǎo)，那么函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且定理：假設(shè)都在x處可導(dǎo)，那么函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且推論：假設(shè)都在x處可導(dǎo)，那么函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且定理：假設(shè)都在x處可導(dǎo)，那么

6、函數(shù)在x處也可導(dǎo)，且2反函數(shù)的求導(dǎo)法那么定理：設(shè)函數(shù)在上單調(diào)可導(dǎo)，它的值域為，而，那么其反函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，并且有4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么定理：假設(shè)函數(shù)在可導(dǎo)，函數(shù)在點可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)在處可導(dǎo) 或 連鎖規(guī)那么 三、高階導(dǎo)數(shù)定義：假設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo)，那么導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)，記作， 類似的，有n階導(dǎo)數(shù)四、隱函數(shù)求導(dǎo)對于,或，假設(shè)求求導(dǎo)法：方程兩側(cè)對x求導(dǎo)微分法：方程兩側(cè)求微分公式法： ，將方程化成=0，將F看成關(guān)于x,y的二元函數(shù)，分別對x,y求偏導(dǎo)五、參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo) ，導(dǎo)數(shù)公式根本函數(shù)：導(dǎo)數(shù)運算法那么:高階導(dǎo)數(shù)1. 2.，需補充條件在處可導(dǎo)或該極限存在第三章、微分一、微分的概念定義：

7、設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上有定義，假設(shè)可表示為 其中A與無關(guān) ，那么稱為y在處的微分，記作的區(qū)別：當(dāng)y為自變量時，當(dāng)y為因變量時，為y的線性主部定理：對于一元函數(shù)，性質(zhì)：一階微分形式不變性，對于高階微分二、微分的幾何意義“以直代曲三、微分中值定理中值定理條件結(jié)論Rolle上連續(xù),上可導(dǎo),至少存在一點，使得Lagrange上連續(xù), 上可導(dǎo)Cauchy上連續(xù), 上可導(dǎo)，有限增量定理：法那么：型未定式定值法：在的某去心鄰域有定義，且，在的某去心鄰域可導(dǎo)，且，那么有，類似四、函數(shù)的單調(diào)性與極值1.單調(diào)性：定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，那么導(dǎo)數(shù)符號原函數(shù)單調(diào)性2.極值定義：設(shè)函數(shù)在點某鄰域有定義，假設(shè)對該鄰域內(nèi)

8、一切x都有 那么是函數(shù)的一個極大值，點為函數(shù)的一個極大值點。極小值類似函數(shù)取得極值的一階充分條件函數(shù)在點去心鄰域可導(dǎo)，且在處可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在，那么：當(dāng)時，時，那么是極大值當(dāng)時，時，那么是極小值無論還是，總有或，那么不是極值函數(shù)取得極值的二階充分條件函數(shù)在點處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，那么假設(shè)，那么是極小值假設(shè)，那么是極大值第四章、不定積分一、不定積分的概念和性質(zhì)1.原函數(shù)與不定積分原函數(shù)：設(shè)在上有定義，假設(shè)對，都有 或 那么稱為在上的一個原函數(shù)原函數(shù)存在定理：假設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，那么在上可導(dǎo)函數(shù)，對，都有。即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)不定積分：設(shè)使的一個原函數(shù)，C為任意常數(shù)，稱為的不定積分，記作幾何意義：積分

9、曲線族2.不定積分的性質(zhì)：積分運算與微分運算為互逆運算二、換元積分法1.第一類換元積分法定理：設(shè)有原函數(shù)，且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么有原函數(shù)2.第二類換元積分法定理：設(shè)連續(xù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，那么，其中三、分部積分法四、有理函數(shù)的積分1.簡單有理函數(shù)的積分將真分式分解為局部分式之和對于形式：應(yīng)分解成k個局部分式對于：應(yīng)分解成個局部分式求4種積分，其中，對于，可令，那么，再利用遞推法2.三角函數(shù)有理式的積分萬能變換：， ，其他方法：形式換元一、二、與對于令對于令三、與為偶數(shù)對于令對于令四、當(dāng)n,m至少有一個為奇數(shù)時，可利用將其轉(zhuǎn)化當(dāng)n,m均為偶數(shù)時，利用2倍角轉(zhuǎn)化五、令 解出A,B原函數(shù)為積分表 ()

10、 第五章、定積分一、定積分的定義定義：設(shè)函數(shù)在上有界，在內(nèi)任意插入n-1個分點把分成n個小區(qū)間，().記，在第個區(qū)間上任取一點，用乘上區(qū)間長度，即，并作和.記，無論怎么分割，無論怎么取，假設(shè)時，趨于同一極限，那么稱此極限為在上的定積分.記作可積定理：函數(shù)在上連續(xù)函數(shù)在上有界，且僅有有限個第一類連續(xù)點函數(shù)在上單調(diào)有界二、定積分的性質(zhì)區(qū)間可加性單調(diào)性:假設(shè)上那么估值性質(zhì)：設(shè)，分別為在上的最大值與最小值，那么定積分中值定理：假設(shè)在上連續(xù)，那么在區(qū)間上至少存在一點,在上的平均值為假設(shè)為奇函數(shù)，；假設(shè)為偶函數(shù)為周期函數(shù)，三、微積分學(xué)根本定理1.變上限函數(shù)定理：假設(shè)在上連續(xù)，那么變上限函數(shù)可導(dǎo)，2.原函數(shù)存在定理假設(shè)在上連續(xù)，那么函數(shù)是在上的一個原函數(shù)3.Newton-Leibniz公式微積分根本定理在上連續(xù)，是在上一個原函數(shù)那么假設(shè)不滿足連續(xù)條件，可分段積分四、定積分換元法定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，函數(shù)滿足：在上單調(diào)，值域為，在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)那么有:五、定積分的分部積分法類似不定積分六、廣義積分1.無窮區(qū)間上的廣義積分設(shè)函數(shù)上連續(xù)，任取，假設(shè)極限 存在那么稱此極限為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記作類似定義上的廣義積分對于，令，為常數(shù)2無界函數(shù)的廣義積分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，而，取，如果極限 存在那么稱此極限為函數(shù)在上的廣義積分，記作類似