抓住本質(zhì)探究滾動(dòng)問題

1、抓住本質(zhì)探究滾動(dòng)問題圓的滾動(dòng)問題，在新老教材中都出現(xiàn)過。近年 更是作為競賽題出現(xiàn)。由于解決此問題，需要較強(qiáng) 的空間想象能力，因此對于所有學(xué)生，甚至是老師 都是難點(diǎn)。筆者結(jié)合自己在教學(xué)中的反思，發(fā)現(xiàn)抓 準(zhǔn)了問題的本質(zhì)，找到解決問題的一般方法，便能 幫助學(xué)生靈活應(yīng)對這類題目的變式。1、由簡入手：圓在直線上滾動(dòng)探究一：若半徑為r的圓沿直線滾動(dòng)一周，圓 心經(jīng)過的距離是多少？圖1分析：如圖1，圓滾動(dòng)一周，在直線上經(jīng)過的 路程為圓的周長 2 n r，即AB=2冗r ,則圓心經(jīng)過的 路程00 =2 n r。圓在直線上滾動(dòng)一周，圓自身轉(zhuǎn) 動(dòng)了一圈。因此可以作出一個(gè)大膽猜想：圓沿線（包 括直線、曲線、折線）滾動(dòng)

2、時(shí)，圓自身轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,圓心經(jīng)過的路程為一個(gè)圓周長；反之，圓心經(jīng)過的 路程為一個(gè)圓周長，圓自身 轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈。對這個(gè)猜想的補(bǔ)充說明：要正確理解這個(gè)猜 測，必須分清兩個(gè)概念，即"滾動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)”。轉(zhuǎn)動(dòng)的定義：物體的各部分都繞著同一條軸線做圓周運(yùn) 動(dòng)，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做 轉(zhuǎn)動(dòng)。那么圓自身的轉(zhuǎn)動(dòng)指的 就是：圓上各點(diǎn)繞著圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，其所研究的 對象是圓自身。而滾動(dòng)的主體要有兩個(gè)圖形，兩個(gè) 圖形保持時(shí)刻接觸。2、拓廣范圍：圓在多邊形內(nèi)、外滾動(dòng)探究二：如圖，00沿著AAEC的 外側(cè)（圓 和邊相切）作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周回到原來位置。已 知AAEC的周長是00周長的5倍，問00自身 轉(zhuǎn)動(dòng)了幾圈？分析： 而按照本

3、文前面的猜想，只要算出圓心 經(jīng)過的路程，根據(jù)：00轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù) =圓心經(jīng)過的路程，即可得到結(jié)果。圓的周長圓心經(jīng)過的路程等于三條線段長加上三條弧長。其中三條線段長：02 O3O4 o5o6 =ABC的周長；圖中三段弧所在圓的半徑即為0 0的半徑，而 它們的度數(shù)和，等于以A B、C為頂點(diǎn)的三個(gè)周角， 減去六個(gè)直角，再減去AABC的內(nèi)角和的差，即3603 906 180360。所以三段弧長和為0 0的周長。圓心經(jīng)過的路程 =ABC的周長+0 0的周長00轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)=LJ 6 （圈）1小結(jié)：圓在n邊形外側(cè)滾動(dòng)一周，圓心經(jīng)過的 路程等于n邊形的周長加上n段弧長，而這些弧所 在圓的半徑即為圓的半徑，圓心角和

4、為：360 n 90 2n 180 (n 2)360 發(fā)現(xiàn) 即是n邊形的外角和，這樣 n段弧長和為圓周長。00轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù) =圓心經(jīng)過的路程圓的周長=多邊形的周長圓的周長圓的周長多邊形的周長圓的周長在一些出版的論文中，曾看到公式。雖然， 兩個(gè)公式有相似之處，但筆者認(rèn)為，研究圓心經(jīng)過 的路程，是這類問題的本質(zhì)。如在以下的探究中， 更能靈活應(yīng)對。探究三：如圖，已知 Rt ABC中/ B=60°, / C=30°, AB=4, 0 0 的半徑 r=1。若0 0沿著 Rt ABC的內(nèi)側(cè)作無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周回到原來位 置。問00自身轉(zhuǎn)動(dòng)了幾圈？分析：如圖3,圓心經(jīng)過的路程為 OQQ的周長

5、。略解：如圖3，圓與三角形三邊相切，切點(diǎn)分 別為D E、F、G H、M連結(jié)圓心和各切點(diǎn), 延長HQ交BC邊于點(diǎn)N,由已知易得AB 4, BC 8, AC 4 .3AD AM 1,BE BF . 32J3在Rt QNG中，可得QN=3則 HN=32. 33在 Rt HNC中，可得 HC63 23 OQQ 的周長= ABC的周長-2AD-2BE-2HC=484.322._32.346OO轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)=6/2 n （圈）HE2D =Oi圖3小結(jié)：抓住本質(zhì)，則圓在多邊形上滾動(dòng)，內(nèi)外 無別。3、曲直無別，圓在另一圓的內(nèi)、外滾動(dòng)探究四：O M和O N為等圓，半徑為 r.若O N 沿OM外側(cè)無滑動(dòng)滾動(dòng)一周，則

6、O N自身轉(zhuǎn)動(dòng)幾圈？分析：如圖4 ,ON的圓心經(jīng)過的路程為，以 點(diǎn)M為圓心，2r為半徑的圓的周長O N轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)=4n r/2n r=2（圈）學(xué)生對這道題，直觀上難以想象。認(rèn)為ON滾動(dòng)一周，圓上每個(gè)點(diǎn)依次與O M上每個(gè)點(diǎn)重合一次， 因此O N只轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈。這暴露出學(xué)生對本文中提 到的轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的概念不清?？上?qū)W生講清概念的同 時(shí)，利用圖4,讓學(xué)生直觀感受。如圖4,當(dāng)O N的圓心，由N1的位置移到 N2 的位置時(shí)，圓上點(diǎn)A、B的位置也相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn) A'、 B'的位置，我們發(fā)現(xiàn)O N剛滾動(dòng)了四分之一周時(shí)， 自身已經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)了半圈；而當(dāng)ON滾動(dòng)了二分之一周時(shí)，自身已經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)了一整圈。小結(jié)：圓

7、的滾動(dòng)問題，只要找準(zhǔn)圓心經(jīng)過的路 程，不但內(nèi)外無別，曲直亦無別！以下是兩道變式題，讀者可自行解決。1、O A的半徑為1,O B的半徑為4。若O A沿 OB內(nèi)側(cè)無滑動(dòng)滾動(dòng)一周，則O A自身轉(zhuǎn)動(dòng)幾圈？略解：如圖5,O A的圓心在以點(diǎn)B為圓心， 半徑為3的圓上，圓心經(jīng)過的路程為 6n,則自身 轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)=6n /2 n =3 （圈）。圖5圖62、半徑為1的小圓從點(diǎn)O到點(diǎn)O'，沿曲線AB 作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，已知半圓 AC半圓BC所在圓的 半徑分別為4、2。則小圓自身轉(zhuǎn)動(dòng)了幾圈？略解：如圖6,小圓的圓心在以 3為半徑的圓 上，圓心經(jīng)過的路程為 6n,則自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù) =6 n /2 n =3 （圈）。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)透過想象，認(rèn)識事物 的本質(zhì)。在無滑動(dòng)的滾動(dòng)過程中，圓只有通過自身 的轉(zhuǎn)動(dòng)，才能使得圓心產(chǎn)生位移。相信通過這樣的 探究，學(xué)生不只是能應(yīng)對各式各樣的變式題，更能 運(yùn)用這種探究思維，去觀察錯(cuò)綜復(fù)雜的世間萬物。 參考書目：中小學(xué)數(shù)學(xué)教師版 2005年1-2期“轉(zhuǎn)圈幾何”的探究錢衛(wèi)娣 2005