不定積分求解方法及技巧小匯總

1、不定積分求解方法及技巧小匯總之司稈蘸矗創(chuàng)作摘要：總結(jié)不定積分基本定義，性質(zhì)和公式，求不定積分的幾種基本方法和技巧，列舉個(gè)別典型例子，運(yùn)用技巧解題。-.不定積分的概念與性質(zhì)定義1如果F(x)是區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，而且對任意的xI,有F'(x)=f(x)dx則稱F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。(1) 定理1(原函數(shù)存在定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么f(x)在區(qū)間I上一定有原函數(shù)，即存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使得F(x)=f(x)(xI)簡單的說就是，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)定理2設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)+C也是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，其中C是

2、任意函數(shù)；(2) f(x)在I上的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。定義2設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C其中記號稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)d(x)稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù)。性質(zhì)1設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)存在原函數(shù)，則f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx.性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f(x)存在原函數(shù)，k為非零常數(shù)，則kf(x)dx=kf(x)dx.換元積分法的定理如果不定積分g(x)dx不容易直接求出，但被積函數(shù)可分解為g(x

3、)=f(x)'(x).做變量代換u=(x),并注意到(x)dx=d(x),則可將變量x的積分轉(zhuǎn)化成變量u的積分，于是有g(shù)(x)dx=f(x)'(x)dx=f(u)du.如果f(u)du可以積出，則不定積分g(x)dx的計(jì)算問題就解決了，這就是第一類換元法。第一類換元法就是將復(fù)合函數(shù)的微分法反過來用來求不定積分。定理1設(shè)F(u)是f(u)的一個(gè)原函數(shù)，u=(x)可導(dǎo)，則有換元公式f(x)'(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(x)+C.第一類換元法是通過變量代換u=(x),將積分f(x)'(x)dx化為f(u)du.但有些積分需要用到形如x=(t)的變量代換

4、，將積分f(x)dx化為f(t)'(t).在求出后一積分之后，再以x=(t)的反函數(shù)t=1(X)帶回去，這就是第一類換兀法。即f(x)dx=(f(t)'(t)dtt1(X).為了包管上式成立，除被積函數(shù)應(yīng)存在原函數(shù)之外，還應(yīng)有原函數(shù)t=1(x)存在的條件，給出下面的定理。定理2設(shè)x=(t)是單調(diào)，可導(dǎo)的函數(shù)，而且(t)0.又設(shè)f(t)'(t)具有原函數(shù)F(t)，則f(x)dx=f(t)'(t)dt=F(t)+C=F1(x)+C其中1(x)是x=(t)的反函數(shù)。經(jīng)常使用積分公式1基本積分公式(1)kdx=kx+C(k是常數(shù))；(2)u1xxudx=u1+C(u-1

5、);dx(3)x=inx+C;dxL2(5) 1x=arctanx+C;_dx_1x2cosxdx=sinx+C;sinxdx=-cosx+Cdxcos2x=sec2xdx=tanx+C;dx(4)=arcsinx+C;xdx=-cotx+C;(10)secxtanxdx=secx+C;(11)cscxcotxdx=-cscx+C;(12)exdx=ex+C;sin2x=csc2(13)axdx=ex+C;(14)shxdx=chx+C;(15)chxdx=shx+C.(16)tanxdx=-Incosx+C;(17)cotxdx=lnsinx+c；(18)secxdx=lnsecxtanx+

6、C;(19)cscxdx=lncscxcotx+C;dx1ln-a(20)a2x2=axa+C;dxx(21)眼2x2=arcsin如+C;dx(22)<a2x2=ln(x+xa2+C;dx/22xvx2a2(23)"xa=ln+C.1. 解不定積分的基本方法四.求不定積分的方法及技巧小匯總利用基本公式。（這就未幾說了）第一類換元法。（湊微分）設(shè)f（V）具有原函數(shù)F（V）。貝U其中（x）可微。用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，無妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、測驗(yàn)考試，或許從中可以得到某種啟迪

7、。如例1、例2:ln(x1)lnxdx例1:x(x1)(ln(x1)lnx)'【解】1x(x1)ln(x1)lnx,dxx(x1)(ln(x1)12lnx)d(ln(x1)lnx)-(ln(x1)lnx)2C21lnx,dx例2:(xlnx)【解】(xlnx)'1lnx3. 第二類換元法:設(shè)x是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，而且0.又設(shè)f'(t)具有原函數(shù)，則有換元公式第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。罕見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種:4. 分部積分法.公式：d分部積分法采取迂回的技巧，規(guī)出亡點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時(shí)，通常基于以下兩點(diǎn)

8、考慮:(1)降低多項(xiàng)式部分的系數(shù)簡化被積函數(shù)的類型舉兩個(gè)例子吧!x3arccosx.dx例3:1x2【解】觀察被積函數(shù)，選取變換tarccosx,則例4:arcsin2xdxarcsin2xdxxsin2xx2arcsinx1dx【解】.1x2上面的例3,降低了多項(xiàng)式系數(shù)；例4,簡化了被積函數(shù)的類型。有時(shí)，分部積分會發(fā)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在dd中，、的選取有下面簡單的規(guī)律：將以上規(guī)律化成一個(gè)圖就是：(lnxarcsinx)Pm(x(aAxsinx)但xarcsinx時(shí)，是無法求解的。千對于(3)情況，有兩個(gè)通用公式：5. 幾種特殊類型函數(shù)的積分。(3)有理函數(shù)的積分P(x)P*(x)

9、P*(x)有理函數(shù)Q(x)先化為多項(xiàng)式和真分式Q(x)之和，再把Q(x)分解為若干個(gè)部分分式之和。(對各為分分式的處理可能會比較復(fù)雜。出現(xiàn)I"(a2x2)"時(shí)、記得用遞推公式：x2n31n22221n12a(n1)(xa)2a(n1)x6x44x22d例5:x3(x21)2*x6x44x22x6x44x22x4x223223223222322解】x(x1)x(x1)x(x1)x1x(x1)故不定積分求得。(2)三角函數(shù)有理式的積分_x2tansinx22x1tan一21tan2-2cosx.v,1tan2-萬能公式：2P(sinx，cosx)dx可用變換ttanx化為有理函數(shù)Q(sinx，cosx)2的積分，但由于計(jì)算較煩，應(yīng)盡量防止。sinx或cosx對于只含有tanx(或cotx)的分式，必化成cosxsinxo再A(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)用待定系數(shù)acosxbsinx來做。(3) 簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式。像一些簡單的，應(yīng)靈活運(yùn)用。如：同時(shí)出現(xiàn)夜和打3時(shí)，可令xtan2t；同時(shí)出現(xiàn)&和E時(shí)，可令xsin