三章坐標(biāo)變換

1、圖3-2時(shí)空欠量圖第三章坐標(biāo)變換3.1時(shí)空矢量圖根據(jù)電路原理，凡隨時(shí)間作正弦變化的物理量（如電動(dòng)勢(shì)、電壓、電流、磁通等）均可用一個(gè)以其交變頻率作為角速度而環(huán)繞時(shí)間參考軸（簡(jiǎn)稱時(shí)軸t）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間欠量（即相量）來(lái)代替。該相量在時(shí)軸上的投影即為該物理量的瞬時(shí)值。我們這里介紹的時(shí)空欠量圖表示法是一種多時(shí)軸單相量表示法，即每相的時(shí)間相量都以該相的相軸作為時(shí)軸，而各相對(duì)稱的同一物理量用一根統(tǒng)一的時(shí)間向量來(lái)代表。如圖3-1所示，只用一根統(tǒng)一的電流相量I：（定子電流）即可代表定子的對(duì)稱三相電流。不難證明，I；在A上的投影即為該時(shí)刻iA瞬時(shí)值；在B上的投影即為該時(shí)刻iB瞬時(shí)值；在C上的投影即為該時(shí)刻&qu

2、ot;瞬時(shí)值。有了統(tǒng)一時(shí)間相量的概念，我們就可以方便地將時(shí)間相量跟空間欠量聯(lián)系起來(lái)，將他們畫(huà)在同一欠量圖中，得到交流電機(jī)中常用的時(shí)空欠量圖。在圖3-2所示的時(shí)空欠量圖中，我們?nèi)「飨嗟南噍S作為該相的時(shí)軸。假設(shè)某時(shí)刻iA=+Im達(dá)到正最大，則此時(shí)刻統(tǒng)一相量Ia應(yīng)與A重合。據(jù)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)理論，這時(shí)由定子對(duì)稱三相電流所生成的三相合成基波磁動(dòng)勢(shì)幅值應(yīng)與A重合，即F1應(yīng)與A重合，亦即與I1重合。由丁時(shí)間相量I1的角頻率跟空間欠量F1的電角速度斜相等，所以在任何其他時(shí)刻，F(xiàn)i與I；都始終重合。為此，我們稱I；與由它所生成的三相合成基波磁動(dòng)勢(shì)Fi在時(shí)空?qǐng)D上同相。在考慮鐵耗的情況下，Bi應(yīng)滯后丁Fi一個(gè)鐵耗角

3、71;Fe，磁通相量石m與B重合。定子對(duì)稱三相電動(dòng)勢(shì)的統(tǒng)一電動(dòng)勢(shì)相量匕應(yīng)落后丁石m為90度。由電機(jī)學(xué)我們知道，當(dāng)三相對(duì)稱的靜止繞組A、B、C通過(guò)三相平衡的正弦電流iA、iB、ic時(shí)產(chǎn)生的合成磁勢(shì)F,它在空間呈正弦分布，并以同步速度缶（電角速度）順著A、B、C的相序旋轉(zhuǎn)。如圖3-3-a所示，然而產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)并不一定非要三相電流不可，三相、四相等任意多相對(duì)稱繞組通以多相平衡電流，都能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)。如圖3-3-b所示，所示為兩相靜止繞組口、E，它們?cè)诳臻g上互差90度，當(dāng)它們流過(guò)時(shí)間相位上相差90度的兩相平衡的交流電流板、幣時(shí)，也可以產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。當(dāng)圖3-3-a和圖3-3-b的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)大小和轉(zhuǎn)

4、速都相等時(shí)，即認(rèn)為圖3-3-a中的兩相繞組和圖3-3-b中三相繞組等效。再看圖3-3-c中的兩個(gè)匝數(shù)相等且相互垂直的繞組d和q,其中分別通以直流電流id和iq,也能夠產(chǎn)生合成磁動(dòng)勢(shì)F,但其位置相對(duì)丁繞組來(lái)說(shuō)是固定的。如果讓包含兩個(gè)繞組在內(nèi)的整個(gè)鐵芯以仍轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁勢(shì)F自然也隨著旋轉(zhuǎn)起來(lái)，稱為旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)。丁是這個(gè)旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)的大小和轉(zhuǎn)速與圖3-3-a和圖3-3-b中的磁勢(shì)一樣，那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前兩套固定的交流繞組等效了。圖3-3等效交直流繞組物理模型當(dāng)觀察者站在圖3-3-c中的兩相旋轉(zhuǎn)繞組d、q鐵芯上與繞組一起旋轉(zhuǎn)時(shí)，在觀察者看來(lái)這時(shí)兩個(gè)通以直流電流的相互垂直的靜止繞組。這樣就將對(duì)交流電

5、機(jī)的控制轉(zhuǎn)化為類似直流電機(jī)的控制了。在交流勵(lì)磁電機(jī)中，定子三相繞組、轉(zhuǎn)子三相繞組都可以等效成這樣的兩相旋轉(zhuǎn)繞組。由丁相互垂直的原因，定子兩相軸之間和轉(zhuǎn)子兩相軸之間都沒(méi)有互感，乂由丁定子兩相軸與轉(zhuǎn)子兩相軸之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（因?yàn)槎?、轉(zhuǎn)子磁勢(shì)沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)），其互感必然是常數(shù)。因而在同步兩相軸系電機(jī)的微分方程就必然是常系數(shù)，這就為使用矩陣方程求解創(chuàng)造了條件。習(xí)慣上我們分別稱圖3-3-a,b,c中三種坐標(biāo)系統(tǒng)為三相靜止坐標(biāo)系（a-b-c坐標(biāo)系）、兩相靜止坐標(biāo)系（a-E-0坐標(biāo)系），兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（d-q-0坐標(biāo)系）。要想以上三種坐標(biāo)系具有等效關(guān)系，關(guān)鍵是要確定iA、iB、ic與、ip和id、iq之間的關(guān)

6、系，以保證它們產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，而這就需要我們引入坐標(biāo)變換矩陣。坐標(biāo)變換的方法有很多，這里我們只介紹根據(jù)等功率原則構(gòu)造的變換陣，可以證明根據(jù)等功率原則構(gòu)造的變換陣的逆與其轉(zhuǎn)置相等，這樣的變換陣屆丁正交變換。3.2坐標(biāo)變換（3S/2S）圖3-4所示為交流電機(jī)的定子三相繞組A、B、C和與之等效的兩相電機(jī)定子繞組口、日各相磁勢(shì)的空間位置。當(dāng)兩者的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)完全等效時(shí)，合成磁勢(shì)沿相同軸向的分量必定相等，即三相繞組和兩相繞組的瞬間磁勢(shì)沿四E軸的投影相等，即：圖3-4三相定子繞組與兩相定子繞組磁勢(shì)的空間位置即:2:4:Ms=N3IaN3IBCOSN3ICcos33.2二.4:N2is=0N3ibsiN3

7、icsin式中，N3、N2分別為三相電機(jī)和兩相電機(jī)定子每相繞組匝數(shù)。經(jīng)計(jì)算并整理后,用距陣表示為:(3-1)簡(jiǎn)記為：i=C3s2siss為求其逆變換，引入另一個(gè)獨(dú)立丁1、義：帽的新變量I。，稱之為零序電流，并定N3Io3(KIaKIbKIc)N2式中,K為待定系數(shù)。對(duì)兩相系統(tǒng)而言，零序電流是沒(méi)有意義的，這里只是為了純數(shù)學(xué)上的求逆的需要而補(bǔ)充定義的一個(gè)其值為零的零序電流(相應(yīng)坐標(biāo)系才稱為«-P-0坐標(biāo)系)。需要說(shuō)明的是，這并不影響總的變換過(guò)程。式3-1和式3-2合并后，123(3-2)Gs2s'N2C3s孑s成為:1一2V3將C3s#s求逆，得到:0111-I2KA2N211-

8、繆-3N3T22K1<3一1222K_J3sf2s=C3s.s。根據(jù)等功率原則，要求C（用到矩陣的運(yùn)算公式(AB)tB7）據(jù)此，經(jīng)過(guò)計(jì)算整理可得23212(3-3)(3-4)式3-3和式3-4即為定子三相/兩相靜止軸系變化矩陣，以上兩式同樣適用丁定子電壓和磁鏈的變化過(guò)程。需要注意的是，當(dāng)把以上兩式運(yùn)用丁轉(zhuǎn)子軸系的變換時(shí)，變換后得到的兩相軸系和轉(zhuǎn)子三相軸系一樣，相對(duì)轉(zhuǎn)子實(shí)體是靜止的，但是，相對(duì)丁靜止的定子軸系而言，卻是以轉(zhuǎn)子角頻率斜旋轉(zhuǎn)的。因此和定子部分的變換不同，轉(zhuǎn)子部分實(shí)際上是三相旋轉(zhuǎn)軸系變換成兩相旋轉(zhuǎn)軸系。3.3坐標(biāo)變換（2S/2R）如圖3-5所示，is為定子電流空間欠量，圖中d-q

9、-0坐標(biāo)系是任意同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)角速度為同步角速度叫。由丁兩相繞組«-P在空間上的位置是固定的，因而d軸和口軸的火角平隨時(shí)間而變化（斜=理）,在欠量變換控制系dt統(tǒng)中，*通常稱為磁場(chǎng)定向角。圖3-5旋轉(zhuǎn)變換欠量關(guān)系圖由上圖可以看出:i-scos'-s"idsis|sin'cos'iqs令：(3-5)cos-sin:喝-2'|sin，cos:式3-5表小了由兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到兩相靜止坐標(biāo)系的欠量旋轉(zhuǎn)變換矩陣。由丁變換矩陣C27s是一個(gè)正交矩陣，所以C2Ts=CT2孑s。因而，由靜止坐標(biāo)系變換到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的欠量變換方程式為：-JJdsI

10、cos甲-sin勺ijcos平sin甲3-6_iqs_&in甲cos。J_i幻sin中cos中|_i檢令：4cos'sin'C2syr=C2sr=I八八-(3-722r22r|L-sin：cos式3-7表小了兩相靜止坐標(biāo)系到兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的欠量旋轉(zhuǎn)變換矩陣。仿照兩相同步旋轉(zhuǎn)軸系到兩相靜止坐標(biāo)系的欠量旋轉(zhuǎn)變換，可以得到旋轉(zhuǎn)兩相d'-q'-0軸系到兩相靜止軸系的坐標(biāo)變換過(guò)程。(3-8)i：rcos%-sin斗idri；Hsinfcos%Jqr式中，idr、iqr為經(jīng)C3sQs變換所得的轉(zhuǎn)子兩相旋轉(zhuǎn)d0-0軸系的電流，&、ir為兩相靜止軸系下的電流

11、，斗為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的空間電角度。3.4坐標(biāo)變換(3S/2R)將3S/2S變換和2S/2R變換合并成一步就得到三相靜止坐標(biāo)系和d-q-0坐標(biāo)系之間的定子量的變換矩陣，推導(dǎo)如下：按式3-6,有：idsI"cosiqs=-sin單】。_-0乂由?。篖雋sin里0口毯1cos中0ip010一iClii0-C3s土2sIAiCT,代入上式可得:iBLIc(3-9)由丁等功率坐標(biāo)變換矩陣為正交矩陣,易知：C2K=CT3s#3-8的變兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)子量可以經(jīng)過(guò)如下變換得到：先利用式換矩陣得到d-q'-0軸系下的轉(zhuǎn)子量；再利用式3-8實(shí)現(xiàn)到aP-0坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換；最后利用式3-7的變換矩陣，最終得到兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)子量。經(jīng)推導(dǎo)，以上三個(gè)步驟可合并為一個(gè)坐標(biāo)變換矩陣：jal=C3s_2r!b2_.十一JL33JibL一(3-10)同樣，以上變換也滿足等功率原則，該變換矩陣仍為正交矩陣由丁轉(zhuǎn)子繞組變量可以看作是處在一個(gè)以角速度皿旋轉(zhuǎn)的參考坐標(biāo)系下，對(duì)應(yīng)式3-9，轉(zhuǎn)子各變量可直接以角度差8-們的關(guān)系變換到同步d-q坐標(biāo)系下（相應(yīng)地，叫-。r=）。顯然，式3-10與這一思路完全吻合。dt最后，有必要指出，以上坐標(biāo)變換矩陣同樣適用丁電壓和磁鏈的變換過(guò)程，而且變換是以各量的瞬時(shí)值為對(duì)象的，同樣適用丁穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)。對(duì)三相坐標(biāo)系到兩相坐標(biāo)系的變換而言，由丁電壓變換矩陣與電流變