§.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、科目數(shù)學(xué)課題§4.8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)教材分析重點正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象形狀及其主要性質(zhì)包括定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性難點1 利用正弦線畫出函數(shù)y=sinx,x0,2的圖象；2 利用正弦曲線和誘導(dǎo)公式畫出余弦曲線；3 周期函數(shù)與最小正周期的意義。關(guān)鍵點充分利用圖形講清正弦、余弦曲線的特性，認(rèn)真梳理好講解的順序包括推導(dǎo)步驟和圖象、簡圖畫法的安排，通過一定的訓(xùn)練使學(xué)生正確了解有關(guān)概念和圖象性質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)1 用單位圓中的正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象；2 用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖；3 正弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)圖象的變換關(guān)系；4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)；5

2、 周期函數(shù)的定義、周期函數(shù)的周期和最小正周期的定義，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期的求法。能力目標(biāo)1 了解如何利用正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象，并在此根底上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；2 理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過正弦曲線、余弦曲線了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)；3 會用“五點法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖，會用這一方法畫出與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的某些簡單函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間0，2上的簡圖。情感目標(biāo)使學(xué)生進(jìn)一步了解從特殊到一般，從一般到特殊的辨證思想方法和分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。課時安排4課時教法多媒體教學(xué)教學(xué)設(shè)備教與學(xué)過程設(shè)計具體見下教學(xué)后記教與

3、學(xué)過程設(shè)計第一課時正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一引入課題電腦演示一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象，并指出研究一種函數(shù)，我們都會去研究它的性質(zhì)，如：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等，而研究這些性質(zhì)有一個很好的工具就是函數(shù)圖象。那么，三角函數(shù)的圖象究竟是怎樣的呢？它的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性又是如何的呢？今天，我們就一起來學(xué)習(xí)這局部內(nèi)容。二復(fù)習(xí)舊知在此之前我們先復(fù)習(xí)一些必要的知識。1電腦演示正弦線、余弦線的定義，同時說明：當(dāng)角度變化時，對應(yīng)的線段MP的長度就是這個角度的正弦值。2電腦演示作出點，為作正弦函數(shù)圖象作鋪墊。6分鐘三新課一、 正弦函數(shù)的圖象下面我們一起來畫正

4、弦函數(shù)的圖象。邊操作邊講解說明：1、這里將單位圓12等分，如果分得越細(xì)，那么圖象越精確，就像描點法作函數(shù)圖象，點描得越多，圖象越精確；2、描點；3、作圖。提問：我們作出了正弦函數(shù)在區(qū)間上的圖象，但正弦函數(shù)對任意角均有值，即定義域為？實數(shù)集R如何作在其他區(qū)間上的函數(shù)圖象呢？由終邊相同的角的三角函數(shù)值相等知：在區(qū)間上其函數(shù)圖象與在上是一樣的，在上也一樣，在其他區(qū)間上也是一樣。每隔2正弦函數(shù)的圖象就出現(xiàn)一次重復(fù)，如此充滿整個實數(shù)軸?？梢韵胂螅液瘮?shù)的圖象是怎樣的？電腦演示完整的正弦函數(shù)圖象說明：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線。二、 五點法作正弦函數(shù)圖象可以看出這種方法作三角函數(shù)圖象是比擬精確的，我們稱

5、之為：幾何法。雖然幾何法作圖精確，但太麻煩，不容易操作。有沒有簡單點的方法作三角函數(shù)的圖象呢？請同學(xué)們觀察在0，2上正弦函數(shù)的圖象，它上面哪幾個點對函數(shù)圖象確實定起關(guān)鍵作用？為什么？根本確定圖象的形狀電腦顯示這五個點，以示突出所以我們只要畫出這五個點，這個圖形就根本確定了。因此，在精確度要求不太高時畫草圖，我們一般可采用這種方法來畫三角函數(shù)圖象幫助我們分析。這種方法要比我們剛剛的幾何法簡單得多，我們稱之為：五點法。三、 余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象已經(jīng)得到了，那我們當(dāng)然急迫地知道，余弦函數(shù)的圖象是怎樣的？別急，我們馬上來研究。我們知道，正余弦函數(shù)有著十分密切的關(guān)系，正弦可以通過一些誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化

6、為余弦，因此我們猜測它們的圖象也應(yīng)該有著某種聯(lián)系。下面先設(shè)法找到函數(shù)y=cosx與正弦函數(shù)y=sinx之間的關(guān)系。，由此可見：函數(shù)y=cosx與函數(shù)是同一個函數(shù)，因此它們的圖象應(yīng)該是一樣的。也就是說，余弦函數(shù)的圖象可以由正弦曲線向左平移個單位得到。電腦演示，將正弦曲線進(jìn)行平移余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線。同樣在0，2上的余弦曲線上哪幾個點起關(guān)鍵作用？為什么？練習(xí)：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，用五點法分別畫出函數(shù)，的簡圖。說明：1、學(xué)生練習(xí)，教師稍后電腦演示注意指出哪五點；2、提問：這兩條曲線有何關(guān)系？四、 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的主要性質(zhì)計算機顯示正余弦函數(shù)的圖象請同學(xué)們觀察正余弦函數(shù)的圖象，討論解決以下幾

7、個問題，稍后請兩組各推選一名代表作總結(jié)。（1） 這兩個函數(shù)的定義域分別是什么？（2） 它們的值域分別是什么？最大值、最小值是多少，此時自變量x等于什么？（3） 它們的奇偶性如何？為什么？（4） 它們的單調(diào)性如何？它有什么特殊的地方？為什么會有這種周期性？圖象本身或者說函數(shù)本身就存在周期性（5） 這兩個函數(shù)還有沒有與其他函數(shù)不一樣的性質(zhì)？提示：我們一直在強調(diào)的；或從圖象上看？教師引導(dǎo)出周期性先感性認(rèn)識，不深入說明：1、學(xué)生總結(jié)后，各小組派代表闡述結(jié)論，其他同學(xué)補充；2、教師歸納；電腦顯示正弦函數(shù)的性質(zhì)五作業(yè)1 復(fù)習(xí)P48-52；2 課件上的補充題。第二課時正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)二一復(fù)習(xí)與

8、引入上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了兩種作正余弦函數(shù)的圖象的方法，其中我們經(jīng)常要用到的是五點法作圖。一圖了事教師在黑板上用五點法畫出函數(shù)y=sinx，y=cosx的圖象列表、描點、連線，同時說明五個關(guān)鍵點的坐標(biāo)。強調(diào)作正余弦函數(shù)要抓住五個關(guān)鍵點。二新課一、正余弦函數(shù)作圖例1 畫出以下函數(shù)的簡圖1y=1+sinx,x0,2;(2)y=-cosx,x0,2.說明：1、第1題由教師演示列表，描點，作圖，第2題由學(xué)生自行完成，教師校對；2、作正弦、余弦函數(shù)的圖象必須抓住五個關(guān)鍵點；3、第1題中的函數(shù)與函數(shù)y=sinx,x0,2的圖象之間有何關(guān)系？由函數(shù)y=sinx,x0,2上的每一點向上平移一個單位長度或圖象向上平

9、移一個單位長度第2題中的函數(shù)與函數(shù)y=cosx,x0,2的圖象之間有何關(guān)系？關(guān)于x軸對稱4、口答：請根據(jù)函數(shù)y=sinx，y=cosx的圖象，畫出函數(shù)y=sinx-1，y=1-cosx的圖象。5、推廣并歸納：y=sinx+m，y=cosx+n可由y=sinx，y=cosx經(jīng)過怎樣的變換而得到？在y軸上平行移動假設(shè)在自變量x上加上某個實數(shù)那么在x軸上作平行移動，如；y=-sinx+m，y=-cosx+n呢？6、學(xué)生練習(xí)：P56練習(xí)3，學(xué)生板演，教師講評。二、正余弦函數(shù)的周期性函數(shù)y=sinx，y=cosx的周期最小正周期均為2，換句話說，自變量x只要并且至少要增加到x+2，正余弦函數(shù)的值才能重復(fù)

10、取得。1、周期性是三角函數(shù)的一個特殊性質(zhì)，正是由于這個特殊性質(zhì)的存在，使得正弦、余弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)呈現(xiàn)出一種不斷重復(fù)的特性。正是由于周期性，對三角函數(shù)的某些性質(zhì)的解釋也就順理成章了。極值、單調(diào)性的反復(fù)出現(xiàn)2、正余弦函數(shù)的周期性突破重點與難點正余弦函數(shù)的這種特性可由誘導(dǎo)公式sin(x+2k)=sinx,cos(x+2k)=cosx(kZ)來解釋，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)取得的，我們作圖也是按此性質(zhì)畫出的。像正弦、余弦這種函數(shù)我們稱為周期函數(shù)。假設(shè)記fx=sinx，上式如何表達(dá)？fx+2k=fx，其中2k就是周期同學(xué)們能不能用一條數(shù)學(xué)式子將周期函數(shù)表達(dá)出來？教師引導(dǎo)：對于任一

11、個函數(shù)fx，假設(shè)它是周期函數(shù)，周期為T。那么它在定義域內(nèi)的任一點x上的函數(shù)值與它在此根底上過了一個周期的函數(shù)值是相等的，即f(x)=f(x+T)。下面請同學(xué)們給出周期函數(shù)的定義：一般地，對于函數(shù)fx，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T) = f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)。非零常數(shù)T就叫做這個函數(shù)的周期。例如，2，4，-2，-4等都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，事實上，任何一個常數(shù)2k(kZ且k0)都是這兩個函數(shù)的周期。對于一個周期函數(shù)，如果在它所有的周期中，存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做fx的最小正周期。例如正余弦函數(shù)的最小正周期就是2

12、。今后如不加特別說明，周期即指最小正周期。周期函數(shù)的定義與奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義有類似的地方：函數(shù)對于定義域內(nèi)的每一個值，都有：f-x=-fx，那么為奇函數(shù)；f-x=fx，那么為偶函數(shù)；fx+T=fx，那么為周期函數(shù)。例3判斷以下語句的正誤，并說明理由：1，函數(shù)y=sinx的周期為；錯，對定義域內(nèi)的每一個值x都要滿足f(x+T) =f(x)，只個別滿足不能說T是它的周期，如2任何周期函數(shù)均有最小正周期；錯，反例：常數(shù)函數(shù)f(x)=c3假設(shè)TT0是函數(shù)f(x)的周期，那么nTnZ且n0也是它的周期。對，簡證：f(x+T) =f(x)，f(x+2T) =f(x+T)+T= f(x+T) =f(x)，

13、同樣f(x+3T)= f(x+2T)+T= f(x+2T)= f(x)，以此類推f(x+nT)= f(x)，所以nT也是它的周期例4求以下函數(shù)的周期：（1） y=3cosx，xR；（2） y=sin2x，xR；（3）處理：1、利用換元思想，令整個式子為z，當(dāng)z只要并且至少要增加到z+2時，自變量x只要并且至少要增加到多少；2、最小正周期是指能使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的那個最小的正數(shù)，這個最小的正數(shù)是相對x來講的；3、由此可知，這些函數(shù)的周期只與自變量x的系數(shù)有關(guān)，一般地，對于函數(shù)與令z=，當(dāng)z只要并且至少要增加到z+2，而此時z+2=+2=，即自變量x只要并且至少要增加到，函數(shù)值才能重

14、復(fù)取得，即是能使等式及成立的最小正數(shù)。從而函數(shù)及的周期。根據(jù)這個結(jié)論，我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫出函數(shù)的周期。如，例3中123的周期分別為。學(xué)生練習(xí)：P56練習(xí)5說明：1、學(xué)生練習(xí)后校對，進(jìn)一步說明三角函數(shù)的周期只與自變量x的系數(shù)有關(guān)；2、補充題：函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，且，求的值。2n三作業(yè)1 復(fù)習(xí)課本2 P57-58習(xí)題4.8第1、3題3 每課一練一第三課時正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)三一新課作出正余弦函數(shù)在0，2上的圖象，從圖中我們可以得到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的許多性質(zhì)：1定義域：y=sinx，xR，y=cosx，xR；板書2值域：函數(shù)y=sinx，y=cosx的值域都是-1，1

15、；板書說明：1、函數(shù)y=sinx，y=cosx何時取到最大值，最小值？板書2、y=3sinx，y=1-2cosx的值域呢？3、例1求使以下函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么？1y=cosx+1，xR；2y=sin2x，xR；3y=-2sin2x+1，xR.說明：三角函數(shù)的最值與相位無關(guān)圖象說明是左右平移，與振幅、后系數(shù)有關(guān)圖象說明是伸縮與上下平移學(xué)生練習(xí)：P56練習(xí)4口答3奇偶性：從圖象看，正弦函數(shù)關(guān)于原點對稱，故正弦函數(shù)是奇函數(shù)；余弦函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故余弦函數(shù)是偶函數(shù)。根據(jù)誘導(dǎo)公式sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx也可得出相同結(jié)論。學(xué)生練習(xí)：判斷以下函數(shù)的

16、奇偶性：1；奇2奇4單調(diào)性：由正余弦曲線可以看出各自的單調(diào)性?？诖鹋袛嗾`：正弦函數(shù)在第一象限是單調(diào)遞增的。反例：說明：單調(diào)性只能在區(qū)間上說明，而不能說在某象限此函數(shù)的單調(diào)性。例2不通過求值，指出以下各式大于0還是小于0：1；2.說明：1、此題實質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比擬函數(shù)值的大小，也可以通過圖象來判斷；2、在角度自變量比擬簡單時，可以直接找單調(diào)區(qū)間；假設(shè)比擬復(fù)雜，那么可以通過誘導(dǎo)公式將角度化得簡單后再比擬。3、進(jìn)一步：比擬以下各數(shù)的大小：sin2，sin3，sin4sin2>sin3>sin4，圖象來解二解題訓(xùn)練1、P56-57第1、2、4、6、7、8題2、P57-58第2、3、4、6題三作業(yè)1、解題訓(xùn)練剩下的例題2、每課一練打勾的題第四課時正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)四一例題解析例1求函數(shù)xR的值域。說明：1、教師引導(dǎo)解決，再給出 xR讓學(xué)生求值域；2、歸納函數(shù)xR的值域為3、求函數(shù)的值域，指出求函數(shù)值域要注意定義域的限制。4、學(xué)生練習(xí)：求函數(shù)的最大值、最小值；進(jìn)一步，加限制條件；5、求例1中的函數(shù)的最值，取得最值時x的取值范圍；