提升小波變換及其在信號去噪中的應用

1、提升小波變換及其在信號去噪中的應用第20卷第1期2005年3月大連水產(chǎn)學院JOURNALOFDAUANFISHERIESUNIVERSrIMal".2005文章編號:10009957(2005)O1005106提升小波變換及其在信號去噪中的應用郭顯久,何東鋼,呂顯強(大連水產(chǎn)學院信息工程學院,遼寧大連116023)摘要:介紹了提升方法(1iftingScheme)的根本原理,給出了用提升方法構(gòu)造傳統(tǒng)小波的實現(xiàn)方法,并將目前常用的小波轉(zhuǎn)換成提升小波.同時還將提升小波應用到信號去噪中,并進行了數(shù)值仿真試驗,結(jié)果說明,在去噪后信號的信噪比相近的情況下,提升小波與傳統(tǒng)小波相比,其優(yōu)點在于計算

2、簡單,編程容易,速度快.關(guān)鍵詞:提升方法;小波變換;Lament多項式;信號去噪中圖分類號:Tit301.6文獻標識碼:A小波變換是2O世紀8O年代后期開展起來的應用數(shù)學分支,并在近十幾年里得到了快速的開展,由于其具有良好的時頻局部特性和多分辨分析特性,小波變換在語音,圖像,通信,醫(yī)學雷達,地震,化工,湍流分析等領(lǐng)域都有應用,因此,小波變換是信號處理的前沿課題,也是多學科關(guān)注的熱點.提升方法(1iftingscheme)是Sweldens和Daubechies等學者于20世紀9O年代中期提出的關(guān)于小波構(gòu)造的一種新方法¨波通過膨脹和平移得到,它們的定義非常靈活,也許定義在某一區(qū)間,也許

3、定義在不規(guī)那么的網(wǎng)格上J.在二維空間中,小波的定義更加靈活,它不是簡單地,有規(guī)律地劃分二維平面,而是定義在某一曲面上C51.升小波實現(xiàn)濾波還有運算速度快,不需要額外內(nèi)存,可實現(xiàn)整數(shù)小波變換等特點.在本文中,作者用提升方法構(gòu)造傳統(tǒng)小波,并將構(gòu)造后的提升小波用于信號去噪中.1提升方法設信號s=(s),kZ,sR,將s分解成偶數(shù)采樣點s.=(s)和奇數(shù)采樣點s.=(s),e為偶數(shù)點下標,o為奇數(shù)點下標,這種分解稱為懶惰小波變換(1azywavelettransform).由于信號s的各采樣點之間存在一定的相關(guān)性,因此可以通過s.估計s.,即s.=P(),這就是提升方法中的預測.如果信號之間的相關(guān)性很

4、大,那么預測效果會很好,用s.粗略地表示s不會喪失很多信息,這意味著可以扔掉一局部信息,如s.,以到達簡練表達的目的.為了完全重建信號s,只能扔掉包含在s.中的關(guān)于的那局部信息,而保存二者的差值局部y,即y=s.一P(s.).但是,在這樣一種新的表了恢復這些特征,在提升方法中又引人另外一種操作修正操作.即用新得到的來修正s.,修正結(jié)果用A表示,即A=s.+(y).簡單地說,一個標準的提升方法由3個步驟組成:分解(Split),預測(Predict)和修正(Update).收稿日期:2004-08-30基金工程:遼寧省教育廳資助工程(202130889)mail:dlftredtrcn52大連水

5、產(chǎn)學院第2O卷提升方法的前向變換為r(s,s.)=S(s),y=s.一P(s),(1P)y=s.一),LA=s+U(y),方法的實現(xiàn)步驟如圖1的左半局部所示.圖1提升方法的前向和逆向變換的實現(xiàn)步聚Fig,1Theliftingscheme:forwardandinversetransform如果得到了前向變換,就可得到逆向變換,這只需改變前向變換公式中的加減符號即可得到,如圖1的右半局部所示,這是提升方法的又一個特點.逆向變換的公式如下:rs=AU(y),s.=y+P(s.),(2)ts=(s,s.),實現(xiàn)提升方法的關(guān)鍵是尋找合理的預測算子和修正算子.2用提升方法構(gòu)造傳統(tǒng)小波離散小波變換的一個

6、根本概念是濾波器組,包括分析濾波器組無,罾和綜合濾波器組h,g.前向小波變換是把信號s通過低通濾波器無和高通濾波器吾進行濾波,然后向下抽樣,得到低頻信號A和高頻信號y,各自的信息量只為原來信號s的一半.由A和y重建s的過程(即逆向小波變換)是:首先對A和向上抽樣,然后各自通過低通濾波器h和高通濾波器g,再把濾波后的兩個信號相加即可.其示意圖見圖2.完全重構(gòu)條件為fh(z)(z一)+g(z)吾(一)=2,【(z)無(一z一)+g(z)罾(一z)=0.,圖2離散小波的前向和逆向變換示意圖Fig,2Discretewavelet:forwardandinversetransform器h=hk.,h,

7、其z變換為一Laurent多項式:k2(z)=,=l(FIR)濾波(4)第1期郭顯久,等:提升小波變換及其在信號去噪中的應用53可以用多相表示法表示h(z),即:h(z)=.()+Z-Ih.(),其中:h.為包含偶數(shù)序號的系數(shù),h.為包含奇數(shù)序號的系數(shù),且.(z)=h2,z一,ho(z)=h2lz一,或.():,ho():.對于綜合濾波器h,g,定義矩陣P(z)為(5)那么P(z)是h,g的多相表示.對于分析濾波器組元,吾同樣可定義(z),此時離散小波變換的多相表示如圖3所示.itr一(:一)P(z)(一口),_+一圖3離散小波變換的多相表示由圖3可以看出,用多相矩陣表示關(guān)于小波的完全重構(gòu)的條

8、件為P(z)P(z)'=J.(7)由于矩陣P(z),(z)的各個元素都是z的Laurent多項式,不失一般性,設矩陣P(z)的行列式為I,即detP(z)=I.如果滿足這一條件,那么h,g為互補.由式(7)可得:無(z)=go(z),無.(z)=一(Z-1),(8)吾(z)=一.(z),一吾.()=.(-1).從懶惰小波(Laz)rwavelet)開始,通過提升方法可以把一個已經(jīng)存在的小波經(jīng)變換生成一個具有某種特性的新小波,下面的定理便說明了這一構(gòu)造方法】.定理1(提升定理)如果h,g為互補的濾波器組,那么任何與h互補的有限長濾波器g一可以表示為g"(z)=g(z)+h(z)

9、s(z2),(9)k2其中:s(z)=s為Laurent多項式.反之,任何具有形式g一的濾波器一定與h互補.;l定理2(對偶提升定理)如果h,g為互補的濾波器組,那么任何與g互補的有限長濾波器一可以表示為"(z)=(z)+g(z)t(z2),(10)其中:(z)=一組Laurent多項式通過Euclidean定理進行有限次的分解,可以將其轉(zhuǎn)化為三角矩陣的連乘表大連水產(chǎn)學院第2O卷示.定理3(分解定理)如果h,g為互補的濾波器組,那么存在一組Laurent多項式s(Z),t(z)(1m)和一個非0的常數(shù)后,使得P(z)滿足:=.pcz=垂(一.一.?1(三一1一1r(./i1Z1/后/

10、1.=,一s.1,I),U根據(jù)上述定理,用提升方法構(gòu)造前向小波變換和逆向小波變換的示意圖見圖4,5.-章棗團圓幾I:圖4前向提升小波變換的示意圖圖5逆向提升小波變換的示意圖(11)(12)利用上述3個定理,可將目前比擬常用的小波構(gòu)造成提升小波,下面通過立方B一樣條小波說明其構(gòu)造過程.立方B一樣條雙正交綜合濾波器組的h,g的z變換為(z)=3+1(z+z一)+1z2+z一),g(z)=-z5_一妾(1+z)一百3(z+z)一(z2+z一),(z)=3+1(z+z一),.(z)=1(z+1),(z)=一(1+z)一(z+z),g.(z)=5(z"Z-1),Pcz=÷i1二)一(

11、1+一z-詈1)-+3一(.Z15+z',l(z+1)一詈(z+z)j'第1期郭顯久,等:提升小波變換及其在信號去噪中的應用55Pz=(÷(11+.一(.l+)一(11+一'02.,O''O由式(7)得:z一'=言一ll+(+l一)(÷.+.由上式可得提升小波的前向變換,其逆向變換可由前向變換移項得到,結(jié)果見表1.3提升小波變換在信號去噪中的應用設原信號為廠'噪聲信號為,含有噪聲的信號為廠n,那么廠n=廠+.信號去噪就是在廠n中估計出廠的最正確逼近信號小波去噪的方法是首先對表1用提升方法構(gòu)造的傳統(tǒng)小波進行小波變換:=w

12、f+耽.由于噪聲主Tab?1Thetraditionalwaveletformedbyusinglift要分布在信號的高頻段,所以先對其小波系數(shù)提升小波的前向變換提升小波的逆向變換進行收縮處理,然后利用收縮后的小波系數(shù)進y:y÷(A+A+.)y=÷行小波逆變換,到達去噪聲的目的.作者給出A;:A+.A:2Aj基于提升小波變換的信號去噪方法也分成3,步:首先對信號進行提升小波變換,每一次變y:一素(A;+A+)=素(A+A+,)換將信號分解為新的近似尺度系數(shù)A?和小波A=寺AAl-A一.t系數(shù)y;然后對變換后的小波系數(shù)進行閾值y:2yyl-y一÷(A+A:+.)收縮

13、;最后對收縮后的小波系數(shù)和尺度系數(shù)進,.行合成,形成去噪后的信號閾值的設定利用Donoho和Johnstone提出的硬閡值法】,其:二:公式如下:'=,=med(1y1)/o.6745,其中:y?是第n層分解的小波系數(shù);是閾值;為小波系數(shù)的樣本個數(shù);是噪聲的標準偏差估計;reed(?)是中值函數(shù).作者利用此方法進行了去噪試驗,并和其它小波去噪進行了比擬.將一維信號(采樣點個數(shù)為2048點)加上高斯白噪聲,噪聲方差=0.5,然后分別用Daubechies(9/7)小波和其對應的提升小波進行去噪(圖6).同時還給出了兩種方法的信噪比,均方差和時間的比照結(jié)果(表2).本次試驗利用的是Matl

14、ab6.5仿真軟件編程,在P2.4計算機上實現(xiàn).表2兩種方法去噪的結(jié)果比擬4結(jié)果通過試驗可以看到,用Daubechies<9/7)小波和其對應的提升小波進行信號去噪時,當?shù)竭_近似相同的信噪比和均方差時,用提升小波去噪所用的時間遠遠小于其對應的傳統(tǒng)小波去噪,并且計算及編程的復雜度也要小得多.因此,本文中作者給出的信號去噪方法具有較好的實用性.56大連水產(chǎn)學院第20卷32l0.1.2-3-432l0,.12-3_4參考文獻0500l000l50020002500t/s(a)原始信號0500l000l50020002500t/s(c)Daubechies(9/7)tJ渡去噪321O.1

15、?2-3_40500l000l50020002500Us(b)參加噪聲信號0500l00ol500200025oot/s(d)提升小波去噪圖6去噪試驗結(jié)果1SWELDENSW.Thelifitingscheme:AcustomdesignconstructionofbiorthogonalwaveletsJ.ApplComputHarmonAnal,1996,3:1862oo.2345637SWELDENSW.Thelifitingscheme:AconstructionofsecondgenerationwaveletsJ.SIAMJMathAnal,1997,29:511546.DAUBE

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