積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（課堂PPT）

1、二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 一、引例一、引例 微積分的基本公式 第五章第五章 第二節(jié)1 在變速直線運(yùn)動中在變速直線運(yùn)動中, 已知位置函數(shù)已知位置函數(shù) s (t) 與與速度函數(shù)速度函數(shù) v (t) 之間有關(guān)系之間有關(guān)系:( )( )s tv t 物體在時間間隔物體在時間間隔T1, T2內(nèi)經(jīng)過的路程為內(nèi)經(jīng)過的路程為TTsv tt 21( )d一、引例一、引例這里這里s (t)是是v (t)原函數(shù)原函數(shù).s Ts T21()()2二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)( )yf x xbaoy( )x xxx ( )

2、( )dxaxf tt 就是就是 f (x) 在在a, b上上的一個原函數(shù)的一個原函數(shù), 即即定理定理1. 若若 f (x) C a, b, 則變上限函數(shù)則變上限函數(shù)d( )( )dd( )()xaxf ttxf xaxb 意義意義: 定理定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的;3變限積分求導(dǎo)變限積分求導(dǎo):( )f x ( )( )fxx ( )( ) ( )( )fxxfxx( )( )d( )d( )ddaxxaf ttf ttx d( )ddbxf ttx ( )d( )ddxaf ttx ( )( )d( )ddxxf ttx xaf t dt 4例例1

3、解解求求.cos02 xtdtdxd xtdtdxd02cos例例2解解求求.321 xtdtedxd這里這里dtext 321是是3x的函數(shù)的函數(shù), , 因而是因而是x的復(fù)合函的復(fù)合函令令,3ux 則則 utdteu1,)(2根據(jù)復(fù)合函數(shù)求根據(jù)復(fù)合函數(shù)求有有數(shù)數(shù), ,導(dǎo)公式導(dǎo)公式, ,.cos2x 5232xeu 623xex 321xtdtedxd23)(xu dxdudtedudut 126220d1)1d ;dxttx 324d12)d .d1xxtxt 練習(xí)練習(xí). 求下列導(dǎo)數(shù)求下列導(dǎo)數(shù)7例例3解解.lim21cos02xdtextx 求求分析分析: : 這是這是00型未定式型未定式,

4、 , 應(yīng)用洛必達(dá)法則應(yīng)用洛必達(dá)法則. .dtedxdxt 1cos2)(coscos12 xdtedudxuut)(cos2cos xex,sin2cos xex dtedxdxt cos1221cos02limxdtextx 故故完完xexxx2sinlim2cos0 .21e 8三、牛頓萊布尼茲公式三、牛頓萊布尼茲公式( )d( )( )baf xxF bF a (牛頓牛頓 - 萊布尼茲公式萊布尼茲公式)(微積分基本公式微積分基本公式) 定理定理2. 設(shè)設(shè)F (x)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) f(x)在在a, b (或或b, a)上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù), 則則記作記作)(xFab9例例4解

5、解求求.102dxx 33x是是2x的一個原函數(shù)的一個原函數(shù), , 由牛頓由牛頓-萊布尼茨公式得萊布尼茨公式得: :例例5 求求.112 dxx當(dāng)當(dāng)0 x時時, ,x1的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是|,|ln xdxx 1212ln1ln . 2ln 解解dxx 1023031 .31 1033x 12|ln x10例例6解解計(jì)算計(jì)算.|12|10dxx 因?yàn)橐驗(yàn)閨12| x所以所以dxx 10|12|02/122/102)()(xxxx .21 完完 21, 1221,21xxxxdxxdxx 12/12/11)12()21(11練習(xí)練習(xí)解解求定積分求定積分.cos13/2/2dxx 完完dxx 3/2/2cos1 dxx 3/2/|sin| dxxxdx 3/002/sinsin 3/002/coscos xx .23 dxx 3/2/2sin 12yoxsinyx 例例7. 計(jì)算正弦曲線計(jì)算正弦曲線 y=sinx 在在0, 上與上與x軸所軸所 圍成的平面圖形的面積圍成的平面圖形的面積. 解解:0dsinxxAxcos0112131. 微積分基本公式微積分基本公式( )dbaf xx 積分中值定理積分中值定理( )()Fba ( )( )F bF a微分中值定理微分中值定理( )()fba 牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式2. 變限積分求導(dǎo)