論均方誤差計算公式本身的精確性

1、文某些結(jié)論不當，該文說多組系數(shù)假異常只出現(xiàn)該 極值兩側(cè)半個數(shù)護蓋寬度的地方（見圖9）,多組系數(shù) 法只要最后一個系數(shù)對應的"達1000伽傅左右，就可 引起明顯的誤差” o假如將1000分別乘以表7和 表9中土£ = 10的整數(shù)，所得值分別為176伽彳馬和32 而乘表7系數(shù)的值是乘表9的系數(shù)55倍。尤 其是用表8中的土 = 10的系數(shù)時，問題更大，因為 表8中士"10的系數(shù)都大于±"0的系數(shù)仍以1000 伽傅為例，若從羊平面上延 = 10的高度，按表8中士 f =】0的系數(shù)乘以1000,AZ值吻133.5伽侶'而10C0與 不考慮余項重算的

2、系數(shù)相乘，所得的4Z值為15.9伽 佟由此可見，乘表8的系數(shù)所得的值為乘新系數(shù)值的 84倍，因此，該文由圖9所得的結(jié)論是欠妥的?？傊? 按手冊，或該文的系數(shù)計算（指最未一項系數(shù)片只 要最后一個系數(shù)對應的AZ值越大，誤差就越大，秩至 于出現(xiàn)假異帑。該文涉及公式（4 ）的結(jié)論是不合適的.三、關(guān)于系數(shù)«磁法解釋推斷下冊中士 $ = 10的系數(shù)應改為表1 數(shù)值。該文表7中土 = 10時的系數(shù)應改為0.0032, 表8中士 £ = 10時的系數(shù)應改為表2數(shù)值$表9中±£ =20時的系數(shù)應改為表3值。 252 252 表1K/(A = 1)K$("2)K,

3、(A»3)K("4)100.00320.00620.00380.0108« 2±6K,(A«5)K,(A = 6)Kf(A = 7)Kf(A = 8)Kf(A = 9)K/(A = 10)100.012?0.01410.01500.01560.015860.01594表3土FKZ(A = 1)Kr(A = 2)K 心=3)K方7Kf(A = 5)K/<A = 6)K/(A=7)K/(A = 8)K,(小 9)K心= 10)200.0007960.001580.002340.003G60.003750.004390.004970.00550

4、0.005970.00634論均方誤差計算公式本身的精確性 252 252 252 一、問題的提出現(xiàn)在衡雖觀測址的精度常用均方誤莖公式。大家 熟知，根據(jù)其誤蹇A計算均方誤差的公式為*心士於型?。?1）按或然改正數(shù)。計算均方溟建的公式為,經(jīng)過間接觀測或條件觀測平差而計算平差后的均方誤差公式則為，"士/更£M - U式中力均為觀測個數(shù)）“為未知數(shù)個數(shù)' « - u = r 顯然是多余觀測數(shù)，在條件觀測平差中也就是條件 數(shù)，一股也稱它為自由度。有的書刊中用/表示，即 f "=仇_%一般知道，如果觀測次數(shù)"不大，公式（1）、（2）本身包含顯著的

5、誤差。同樣若多余觀測數(shù)即自 由度很小時，應用（3）式訃算也包含顯著的誤墊。這就產(chǎn)生均方溟菠公式本身的精度估計問題，也就是需 要計算公式本身的均方誤差”切，也簡稱它為均方誤 凳的均方誤差。從實踐中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，應用上述計算均方誤差的公 式來衡量精度，往往將精度估計Q過高了，即按上述 公式計算所得的均方溟差（本文中將稱它們?yōu)橛嬎憔?方謀淮，均用加表示）把實際可能的梢度人為她抬高 了，即將刪算小了，當"或f很小時.其弟卑更大。用數(shù)理統(tǒng)計學的術(shù)語來說，任何一種被觀測的 M,它可以隨機地攻值。這種被觀測量可能觀測到的 所有數(shù)據(jù)的全體構(gòu)戌-個舉聊也稱孚體）實總觀測 所獲得的任童”個觀測數(shù)疵血構(gòu)成一4

6、字樣；而侮一 個具體得到的現(xiàn)測數(shù)據(jù)為一個子樣值。五和次數(shù)”稱 為樣本數(shù)，”大時，稱這子樣為大樣本，佩小時稱為 小樣本。所以上述所謂實際可能的精度是指冊體的標 袪差，而按”次觀測而算得的均方俁差只是樣本數(shù)為 «的子樣標準差。標準逐的平方就超方差。子樣的標 準差能否代表母體的標準差，這就是子樣標準差的精 確性問題，也就是木文所討論的本質(zhì)問題。母體的標 準差用估計值"表示，也稱它為理論上的估計值，它表 示被觀測雖的離散程度。而子樣的標準差目前按經(jīng)典 方法就是由（1、<2）,或（3）式計算出來的。如果 由部分觀測值計算而得的子樣標準差加的數(shù)學期望 E （m）恰好等于被觀測蜃（

7、毎體）的方差則說明 這種術(shù)最將度的方法是可靠的，即精度沒有被系統(tǒng)歪 曲。但事實上，下面會證明，而且KM <0,所U提出了計算均方誤差的精確性問題，同時 討論了彌補的辦法。二、按正態(tài)分布論證均方誤差公式本身的精確度為了討論方便，我們從公式（2）著手，推導按 或然改正數(shù)”計算的均方俁差加的均方俁差如。這 是平差前的衡最，它只是應用了取簡單算術(shù)平均值 （也可推廣到不等精度的加權(quán)平均值）而求得的或然 改正值必“,2,“n）o任槪率論中，為了更好地反映觀測的離散程度， 可用比值夕來進行衡量，它也可用來分析E（,”）與。的 澄異。為此，首先推求夕的分布密度函數(shù)了（手若 被觀測量X服蘭正態(tài)分布，-般來

8、說，隨機變址X按 正態(tài)分布N（yta）的密度函數(shù)/（”）用了式表示而由隨機變最X計算而得的均方謀差為*與“的比值夕為具有參數(shù)（”-1）的K變量，它服從所謂兀分布，其分布密皮函數(shù)為”-1 （耳刃-2CH專）治。（丁躺（5） 其中廠（專）為埃列爾函數(shù)，也稱伽傅函數(shù)，一般來 說，它用如下積分來定義2-00廠（力二/-I廠.0"是非負整數(shù)，它有待性廠（p+l）=p廠（p）埃列爾 函數(shù)與廠分布密切相關(guān)具有分布密度為（5式的?的數(shù)學期望為，（J倚護心;北）晉®(7)將（5 ）式代入，積分后即有*即E （夕）= =C所以E（w） =Ctf（ 9 ）為了按刃展開（8）式，以便于計算C值，可

9、引 用較梢確的斯蒂令公式，r（p）=/>c ° o 2久（1 + L + _bI 12/>288戸139I八八石莎廠I<10） 可多閱復旦犬學數(shù)學系主編概率論與數(shù)理統(tǒng)計°上?？茖W技術(shù)版1961年第二章§】（） 可參閱波蘭M費史著< “糖率論及數(shù)理統(tǒng)計”中譯本第五章§8.P138-P143分布. 252 0C20.7981.25330.8861.12840.9211.08550.9401J6460.9521.05170.9591.04280.9651.03690.9691.032100.9731.028110.9751.025120

10、.9781.023130.9791.021140.981 '1.019150.9831.017160.9841.016170.9851.015180.9851.015190.9861.014200.9861.014250.9901.010300.9921.008350.9931.007400.9941.006450.9951.005500.9951.005600.9961.004700.9971.003800.9971.003900.9981.0021000.9981.002©O11表1又右關(guān)系式 (和-0(7-0取不同的力值，算得C和C"：鴿結(jié)果列于表1 中.由表

11、1可見，當於為有限數(shù)時，始終存在著關(guān)系C<1,即EM<(J(12)只有當傳TOO時，才有C=le這就證明了為什么按 一般公式，例如(1)、(2)式等計算的均方誤差都把 精度估計過高，產(chǎn)生了不可?，F(xiàn)象?，F(xiàn)在計算均方誤差公式本身的均方誤差，即求 叫 它也是協(xié)的方差滬(尬)的平方根。按方差的定，(權(quán))=E(m- E(w)2)(13)將此式展開，有a2(m) = £(ma - 2mE(m) + E2(m)將(9 )式代入上式，有<Jl(m) = E(m2 -2m(T + C2(r2)按數(shù)學期望的性質(zhì)，有工 E(m2) 一 2C</E(m) + C9 = E(m2)-2

12、W + C2 = E(m2) - CM(14)若協(xié)按公式(2)算得，則有如下關(guān)系：n r n其中丁是觀測值，即子樣的均值，而$是母體的均值。由于(丁1匕+。2二ii+ *-£)2-2(丁一冷(初-£) = 2(T-小+刀5卡 ji-2( % -f)為 3-£)所以 E（m）2 = -i- V （才廣鏟 + 二（；-£）2n - 1厶w 1卑（了-的二斗力5-»M - 1移 一 1按方差定義，故有E(m2) = - <Jlw-1 n-1 n-1所以E(護)二滬(15)將此式代入(14)式，即得我們所要求的結(jié)果，二，-C衍5 （l-CJ，（m

13、） = mm = （Jv/ 1 - C?（16）式中C值是觀測個數(shù)”的函數(shù)，已由（11）式算得其結(jié) 果載于表1中?？梢姰斄8時，CT1,這時協(xié)浪- 0,只有在這種情況下，應用（2）式才是最精確的但 若 tt =3,則 C =0.886,這時nim = 6f TO. 785 = 0.463（?可見此i吳差很大，這說明了當”小時，應用協(xié)=/啤進行計算是很不可滋的。上述結(jié)論同樣適合于公 式（1同樣，在區(qū)域重力測址中，若應用閉合環(huán)的 增量閉合差計算精度，由于環(huán)數(shù)少，顯然很不椅確。過去曾經(jīng)便用過這樣的近似公式，即若觀測結(jié)果 的慳著服從正態(tài)概率分布，則按真謀差計算的均 方誤差旳m,有公式m畑=J $j（

14、17）而按或然改正數(shù)。訃算必（按公式（2）的均方i吳差 力加為tx/2Gi - 1)(18)這兩公式是近似的，這可以從16）式丟棄高階項后 看出來。只要這樣驗證一下，由（U）式，一于. v I " 4 力S2n22(n- 1)1 - CJ-2G-1) 代入(16)式，(19)由于母體的標準差莎仍是未知數(shù)，（18）式中用仰來近 似代替0,就更為近似了。但實用上作為一般估計，當 稍大時，也可以便用它，這從表2可以看出。表211-1J 1心7 - 1>2(n-l)10.7070.6030.75620.50C0.4630.52331 0.40EQ.3890.42240.3540.341

15、0.36350.3160.3080.323100.2240.2210.226200.1580.1570J59旳了精確一些，可作這樣變換，由（9）戌知代入（16）式，得= E（m）C-= E（m）心7 （20） 用（18）、（16）、（20）三式，對不同的刃值我們獲 得了計算舛,的三種系數(shù)，將計算結(jié)來敦于表2中。 它們分別是均方課差,4母體標佳差莎和計算均方 差的數(shù)學期望E（協(xié)）的比例因子。（18）式是近似式， 另外二式是否精珂，關(guān)鍵在于所用?；駿g 是否椎 確。實際計算時，若已知E（nO,則（20）式可用，否 則采用加代替FGn）, 即mm =C*2 - 1（21）但它比（18）式還是要緒確些

16、。從表2還可看出，當"數(shù)目較大時，上述三種因 子之間差別兪來愈小了。以上分析了便用現(xiàn)有計算均方誤差公式的缺陷 并推算了它的精確度。那末在實用中怎樣解決這個問 題呢？實際上有了上述推演，問題已很簡單了，只需 應用公式（9）就可以。因為我們實際要求知道的是毋 體的方差。，但它不易知道，甚至E M 也不易求得 在某些測址中它們是可以知道的），那末只有應用枷 來代替E（”）,這時0 = C"!E（m）= mf帥'士士C"礙呂（22）應用此式計算比用（2 ）式要精確，特別當«較小時。 C"值可由表1査得。以上討論均假定觀測址是正態(tài)分布，如果存在偏

17、 態(tài)，則由下節(jié)討論。三、非正態(tài)分布時均方課差計算公式本身的均方誤差若觀測結(jié)果不是正態(tài)分布的，即存在偏態(tài)，這時 誤差分布曲線不呈對稱狀態(tài)，則上節(jié)公式就應有色議 變。設概率分布的偏態(tài)量用了表示，由槪率論可知， 計算僞態(tài)的公式為y =-3（23）式中從是分布的四階中心矩，/即母體標準殺的四 次方，7是一個無址綱的比例系數(shù)。如果觀測得到的是真溟差Ao按它求得的均方 誤蓬（按公式（1）杓 同樣存在謀差，“，當偏態(tài) 時，它的計算公式推導如下，因為加=則其方差為 D陽）=巴仲=勿儼（24） 25* 因為 D(A?)»B(AHE(A；»,)-E(An2-2A|(E(A?) + E?(A?)

18、 -E(A；)-2E(A?£(A?) + E(Ea(A?) 由于數(shù)學期望的數(shù)學期望仍為原數(shù)學期望，所以 £)(；) =£(A) -2E(A?)E(AJ) +E2(A?) -F(A；)-E3<AD G = lt2n)(25)按定義E(. E)T 則(；)»-，<26)代入(23)式有 n2E("】= 4E(CAn55 (n- l)a2n+匚2（護.2力+ 30 n經(jīng)整理后，得D（卩2）=（力二 1）燈“ - l）（”一3r n刃兒-叫-”n2n再將（30）式的如值代入，經(jīng)初等變換后化為D(W= 2G-1因為加二#并，將加和腫均視作隨機

19、變量，則 按方差的特性，它們的方差之間有關(guān)系，）"仆34）4ma(28)將（26）式代入，則D(小 ??；*4wwr(29)由（22）式知代入（29）式則，"廠滬（7+3）(30)再將此式代入（33）式，即有D（”，）語（1 嚀 *）代入（28）式，且用，“代替”（枷）二v/瓦了，則有D(w)=i£r(y+2)=(31)若用計算均方誤差代替上式右端的久則求得偏態(tài) 時的”切為*(32容易看出，（32）式是（17）式的普遍形式，因為 正態(tài)分布的偏態(tài)最7竽于羋，將y =0代入（32）式即 為（17）式。另外，若”，根捋（2）式算得，則偏態(tài)時叫又 是另一形式，推證如下：首先

20、將（2 ）式兩邊平方后再取其方差，有T徑爭（33）D（w） = 2（ti）wX1 + IT） （35） 開方后，即為“五給曲乓卑（36） 同樣，若將。近似地用也代替，即得實用的偏態(tài) 時”加（其中協(xié)按（2）式算得："厶爲）/“專1（3?）它也是一個普遍形式，即對正態(tài)分布來說，7 =0,（37） 式即變?yōu)椋?8）式形丸要指出，以上偏態(tài)量了是按（23）式定義的，若 按某些書刊上將偏態(tài)I：定義為人哼（則以上公式要作相應變換。此式中八代表偏態(tài)：t,叫 為分布的三階中心矩。為了使（32） （37）式稍微精確些，可采用如下修改：利用公式（9）,宀去中燦），代人（31）式,由課差理論中已知公式WXQV-鳥丄及關(guān)系即為可得D("2E(W)-EUW)若近似地認為Egf 就有-E2( CAlD -(34)(39)(40)類似地相應干（33）式的有要指出，這里所用符號是對所有tG = lt2,n） 求總和。將此式右端展開，考慮到：(41)255最后我們舉例闡明一下觀測謀差的分布是偏