三次樣條插值算法詳解

1、編輯課件編輯課件1 三次樣條插值三次樣條插值鑒于高次插值不收斂又不穩(wěn)定的特點，低次插值既具有收斂鑒于高次插值不收斂又不穩(wěn)定的特點，低次插值既具有收斂性又具有穩(wěn)定性，因此低次值更具有實用價值，但是低次插性又具有穩(wěn)定性，因此低次值更具有實用價值，但是低次插值的光滑性較差，比如分段線性插值多項式在插值區(qū)間中僅值的光滑性較差，比如分段線性插值多項式在插值區(qū)間中僅具有連續(xù)性，在插值節(jié)點處有棱角，一階導(dǎo)數(shù)不存在；分段具有連續(xù)性，在插值節(jié)點處有棱角，一階導(dǎo)數(shù)不存在；分段三次三次Hermite插值多項式在插值區(qū)間中僅具有一階導(dǎo)數(shù)即一插值多項式在插值區(qū)間中僅具有一階導(dǎo)數(shù)即一階光滑性但不具備二階光滑性，不能滿足某

2、些實際應(yīng)用比如階光滑性但不具備二階光滑性，不能滿足某些實際應(yīng)用比如汽車、輪船、飛機等的外形中流線形設(shè)計。樣條是在二十世汽車、輪船、飛機等的外形中流線形設(shè)計。樣條是在二十世紀初期經(jīng)常用于圖樣設(shè)計的一種富有彈性的細長條，多個樣紀初期經(jīng)常用于圖樣設(shè)計的一種富有彈性的細長條，多個樣條互相彎曲連接后沿其邊緣畫出的曲線就是三次樣條曲線。條互相彎曲連接后沿其邊緣畫出的曲線就是三次樣條曲線。后來數(shù)學(xué)上對其進行了抽象，定義了后來數(shù)學(xué)上對其進行了抽象，定義了m次樣條函數(shù)，并成為次樣條函數(shù)，并成為數(shù)值逼近的重要研究分枝，進一步擴大了樣條函數(shù)的應(yīng)用范數(shù)值逼近的重要研究分枝，進一步擴大了樣條函數(shù)的應(yīng)用范圍。圍。編輯課件

3、編輯課件2樣條函數(shù)的定義樣條函數(shù)的定義定義定義4.1設(shè)區(qū)間設(shè)區(qū)間a,b上給定一個節(jié)點劃分上給定一個節(jié)點劃分a=x0 x1xn-1xn=b如果存在正整數(shù)如果存在正整數(shù)k使得使得a,b上的分段函數(shù)上的分段函數(shù)s(x)滿足如滿足如下兩條：下兩條：(1)在在a,b上有直到上有直到k-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。(2)在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi,xi+1上是次數(shù)不大于上是次數(shù)不大于k的多項式。的多項式。則稱則稱分段函數(shù)分段函數(shù)s(x)是以是以(2.6)為節(jié)點集的為節(jié)點集的k次樣條函數(shù)。次樣條函數(shù)。編輯課件編輯課件3處的函數(shù)值為在節(jié)點如果函數(shù)nxxxxf,)(10njyxfjj, 1 , 0,)(njyx

4、Sjj, 1 , 0,)(三次樣條插值函數(shù)的定義三次樣條插值函數(shù)的定義并且關(guān)于這個節(jié)點集的三次樣條函數(shù)并且關(guān)于這個節(jié)點集的三次樣條函數(shù)s(x)滿足滿足插值條插值條件：件：則稱這個三次樣條函數(shù)則稱這個三次樣條函數(shù)s(x)為為三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)。編輯課件編輯課件4則其必滿足的三次樣條插值函數(shù)是如果,)()(xfxSnjyxSjj, 1 , 0,)(1, 1,)()(limnjmxSxSjjxxj1, 1),()(lim njxSxSjxxj1, 1,)()(limnjyxSxSjjxxj三次樣條插值函數(shù)的邊界條件三次樣條插值函數(shù)的邊界條件插值條件：插值條件：連續(xù)性條件：連續(xù)性條件：一

5、階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：編輯課件編輯課件5（1）因為）因為s(x)在每個小區(qū)間上是一個次小于三次的多在每個小區(qū)間上是一個次小于三次的多項式，故有四個未知系數(shù)；項式，故有四個未知系數(shù)；（2）因為）因為s(x)有有n分段，從而共有分段，從而共有4n個未知系數(shù)！個未知系數(shù)！（3）但）但插值條件與樣條條件插值條件與樣條條件僅給出僅給出4n-2個條件，無法個條件，無法定出定出4n個未知系數(shù)，還差個未知系數(shù)，還差2個條件！這個條件！這2個條件我們用個條件我們用邊界條件邊界條件給出！給出！ 編輯課件編輯課件6通常我們對插值多項式在兩端點的狀態(tài)加以要求也就是所謂的

6、邊界條件:第一邊界條件：由區(qū)間端點處的一階導(dǎo)數(shù)給出即第一邊界條件：由區(qū)間端點處的一階導(dǎo)數(shù)給出即30003()(),()(),nnns xmfxs xmfx編輯課件編輯課件7第二邊界條件：由區(qū)間端點處的二階導(dǎo)數(shù)給出即第二邊界條件：由區(qū)間端點處的二階導(dǎo)數(shù)給出即30003()(),()(),nnns xMfxs xMfx 特殊情況為特殊情況為自然邊界條件自然邊界條件：由區(qū)間端點處的二階導(dǎo)數(shù)恒為由區(qū)間端點處的二階導(dǎo)數(shù)恒為0給出即給出即3003()0()0nns xMs xM 編輯課件編輯課件8這樣三次樣條插這樣三次樣條插值問題就分成三值問題就分成三類！其實不止這類！其實不止這三類三類!第三類又稱周期邊

7、界條件：第三類又稱周期邊界條件：由區(qū)間端點處的函數(shù)值或?qū)?shù)值滿足周期條件給出由區(qū)間端點處的函數(shù)值或?qū)?shù)值滿足周期條件給出 303303303(0)(0)(0)(0)(0)(0)nnns xs xs xs xs xs x 編輯課件編輯課件9樣條函數(shù)的例子樣條函數(shù)的例子容易驗證：容易驗證：3215)18218(2115)1427163(1015)152611()(232323xxxxxxxxxxxxxS是滿足如下數(shù)據(jù)的第一類邊界樣條插值問題解：是滿足如下數(shù)據(jù)的第一類邊界樣條插值問題解：x0123y0000y10編輯課件編輯課件10樣條函數(shù)的例子樣條函數(shù)的例子3215)18218(2115)1427

8、163(1015)152611()(232323xxxxxxxxxxxxxS編輯課件編輯課件11通常有通常有三轉(zhuǎn)角法、三彎矩法、三轉(zhuǎn)角法、三彎矩法、B樣條基函數(shù)法樣條基函數(shù)法。三次樣條插值函數(shù)的求法三次樣條插值函數(shù)的求法這三種方法的基本思想是類似的，都是這三種方法的基本思想是類似的，都是通通過待定某些參數(shù)過待定某些參數(shù)來確定插值函數(shù)，但肯定來確定插值函數(shù)，但肯定不是待定不是待定4n個參數(shù)。而是利用已知條件將個參數(shù)。而是利用已知條件將待定參數(shù)減小到最少。待定參數(shù)減小到最少。 比如：比如：待定一階導(dǎo)數(shù)、待定二階導(dǎo)數(shù)待定一階導(dǎo)數(shù)、待定二階導(dǎo)數(shù)、采采用基函數(shù)方法用基函數(shù)方法來確定插值函數(shù)。來確定插值函

9、數(shù)。編輯課件編輯課件12三轉(zhuǎn)角法三轉(zhuǎn)角法:待定一階數(shù)待定一階數(shù)為了確定三次樣條插值函數(shù)的表達式為了確定三次樣條插值函數(shù)的表達式 S(x)，我們采用待定系數(shù)法來求解，我們待定什么系數(shù)呢？我們采用待定系數(shù)法來求解，我們待定什么系數(shù)呢？考慮到帶一階導(dǎo)數(shù)的分段三次考慮到帶一階導(dǎo)數(shù)的分段三次Hermite插值多項式插值多項式)()()()()(11111010)(3iiiiiiiihxxiihxxiihxxihxxiihmhmyyxH1, 1 , 0,1nixxhiiinnnxxxxHxxxxHxxxxHxH1)1(321)1(310)0(33)()()()(編輯課件編輯課件13njmxSjj, 1 ,

10、 0,)(我們采用待定一階導(dǎo)數(shù)的方法即設(shè)我們采用待定一階導(dǎo)數(shù)的方法即設(shè)因為因為分段三次分段三次Hermite插值多項式已經(jīng)至少是一階連續(xù)插值多項式已經(jīng)至少是一階連續(xù)可導(dǎo)可導(dǎo)了，為了讓它成為三次樣條函數(shù)只需確定節(jié)點處了，為了讓它成為三次樣條函數(shù)只需確定節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)使這些節(jié)點處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即可！的一階導(dǎo)數(shù)使這些節(jié)點處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即可！1, 1),0()0( nixSxSii)()()()()(11111010iiiiiiiihxxiihxxiihxxihxxihmhmyyxS1, 1 , 0,11nixxhxxxiiiii212) 1()(,) 1)(12()(xxxxxx編輯課件編輯課件

11、14并整理后得求二階導(dǎo)數(shù)對,)(xSi)()2(6)(131iiiiiiyyhxxxxS 11122624642iiiiiiiixxxxxxmmhh112642lim( )(0)()iiiiiixxiiiSxSxyymmhhh112111624lim( )(0)()iiiiiixxiiiSxSxyymmhhh編輯課件編輯課件15(0)(0),1,2,1iiSxSxin由于在內(nèi)部節(jié)點處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：11111)11(21iiiiiiimhmhhmh)(321121iiiiiihyyhyy1, 1ni111112iiiiiiiiimhhhmmhhh)(3111111iiiiiiiiiiiihy

12、yhhhhyyhhh整理化簡后得：整理化簡后得：編輯課件編輯課件16112,1,1iiiiiimmmg in1iiiihhh111iiiiihhh 1113()iiiiiiiiiyyyyghh個未知量個方程共個1,1nn稱為三轉(zhuǎn)稱為三轉(zhuǎn)角法基本角法基本方程組方程組以上推導(dǎo)還沒有考慮邊界以上推導(dǎo)還沒有考慮邊界條件！針對不同類型的三條件！針對不同類型的三次樣條問題，就可以導(dǎo)出次樣條問題，就可以導(dǎo)出不同的方程組！不同的方程組！編輯課件編輯課件17第一類三次樣條插值問題方程組第一類三次樣條插值問題方程組00)(mxSnnmxS)(基本方程組化為基本方程組化為n-1階方程組階方程組0112112fgmm

13、kkkkkkgmmm1122, 3 ,2nknnnnnnfgmm111212由于已知：由于已知：化為矩陣形式化為矩陣形式編輯課件編輯課件181111022223333422221111222222nnnnnnnnnmgmmgmgmgmgm這是一個嚴格對角占優(yōu)的三對角方程組，這是一個嚴格對角占優(yōu)的三對角方程組，用追趕法可以求解！用追趕法可以求解！編輯課件編輯課件19第二類三次樣條插值問題的方程組第二類三次樣條插值問題的方程組00)(MxS nnMxS )(時，稱為自然邊界條件00nMM由于已知：由于已知：)(6)(01200yyhxS 004mh102mh0M)(6)(121 nnnnyyhxS

14、112nnmhnnmh14nM故得：故得：編輯課件編輯課件200000110232MhhyymmnnnnnnnMhhyymm23211110gng稍加整理得212222121132211nnnnmmmmm1210nnggggg1210聯(lián)合基本方程組得一個聯(lián)合基本方程組得一個n+1階三對角方程組，階三對角方程組，化成矩陣形式為：仍然是嚴格對角占優(yōu)化成矩陣形式為：仍然是嚴格對角占優(yōu)編輯課件編輯課件21第三類樣條插值問題的方程組立即可得下式：nnmmxSxS00)0()0(由于：)0()0(0 nxSxS)2(2)(6)0(01001200mmhyyhxS )2(2)(6)0(11121nnnnnn

15、nmmhyyhxS 編輯課件編輯課件22nnnnngmmm211110013nnnnnnhyyhyygnnnnnnhhhhhh1,101100其中：聯(lián)合基本方程得一個廣義三對角或周期三對角方程組：聯(lián)合基本方程得一個廣義三對角或周期三對角方程組：1111112222311222222nnnnnnmgmgmg這個方程這個方程組的系數(shù)組的系數(shù)矩陣仍然矩陣仍然是嚴格對是嚴格對角占優(yōu)陣！角占優(yōu)陣！編輯課件編輯課件23求解這些不同類型的樣條插值問題的方程組，我們可得求解這些不同類型的樣條插值問題的方程組，我們可得所要待定的一階導(dǎo)數(shù)：所要待定的一階導(dǎo)數(shù)：稱為三次樣條插稱為三次樣條插值問題三轉(zhuǎn)角公值問題三轉(zhuǎn)角

16、公式！式！nmmmm,210再代入再代入S(x)的每一段表達式，就求得三次樣條函數(shù)的表達式的每一段表達式，就求得三次樣條函數(shù)的表達式!)()()()()(11111010iiiiiiiihxxiihxxiihxxihxxihmhmyyxS1,.,2 , 1 , 0ni編輯課件編輯課件24例1. 對于給定的節(jié)點及函數(shù)值1 2 4 5() 1 3 4 2kkxf x的近似值并求插值函數(shù)的三次樣條求滿足自然邊界條件)3(),(0)()(0fxSxSxSn 解:這是自然邊界條件下的樣條問題。3213123113221kkkkhhh11kkkkhhhk 1編輯課件編輯課件25291g272g60g63g

17、我們可以將上述計算列于表中：)(3111kkkkkkkkkhyyhyyg00001023MhhyygnnnnnnMhhyyg23111k0123xk1245yk1342mk?Mk0?0hk121*k*2/31/3*k*1/32/3*gk69/2-7/2-6編輯課件編輯課件26213/223/13/123/2123210mmmm3210gggg由些得如下方程組：819,45,47,8173210mmmm利用三轉(zhuǎn)角公式：)()()()()(11111010iiiiiiiihxxiihxxiihxxihxxihmhmyyxS編輯課件編輯課件27)()()()()(010001010110001000

18、0hxxhxxhxxhxxhmhmyyxS)2() 1()2(3) 1(147181700 xxxx21147838123xxxx)()()()()(1211121111211102011hxxhxxhxxhxxhmhmyyxS)()()(4)(32412522127240220 xxxx42147838123xxxx同樣可以求得第三段表達式！編輯課件編輯課件283232321371 12884137( )1 2488434510333 45884xxxxS xxxxxxxxx417)3()3( Sf編輯課件編輯課件29編輯課件編輯課件30三彎矩法三彎矩法:待定二階導(dǎo)數(shù)待定二階導(dǎo)數(shù)() (0,

19、1,2, )kkMSxkn選擇二階導(dǎo)數(shù)作為待定參數(shù)選擇二階導(dǎo)數(shù)作為待定參數(shù):(1)1111()( )() , ,()kkkkkkkkkkkkkkSxMMMSxxxMxxxSxMh由于三次樣條由于三次樣條S(x)是三次多項式是三次多項式,故它的二階導(dǎo)數(shù)是一次多項故它的二階導(dǎo)數(shù)是一次多項式式,從而從而1(0,1,1)kkkhxx kn思考思考:(1)的原因的原因?編輯課件編輯課件31(2)21( )()()2kkkkkkkkMMSxxxMxxph(3)321( )()()()62kkkkkkkkkkMMMSxxxxxpxxqh()kkkkkSxyqy111111112()(),6()=)kkkkk

20、kkkkkkkkkMMSxSxypf xxhSxy利用編輯課件編輯課件32321234( )()()() (2.7)kkkkkkkS xsxxsxxsxxs1121314622,6kkkkkkkkkkkkkkkkMMshMsMMspf xxhsqy從而推導(dǎo)出了三次樣條從而推導(dǎo)出了三次樣條S(x)在第在第k個小區(qū)間個小區(qū)間xk,xk+1上的上的表達式為表達式為:0,1,2,1kn它的系數(shù)都是它的系數(shù)都是用二階導(dǎo)數(shù)與用二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值表示函數(shù)值表示!編輯課件編輯課件3311()() (1,2,1)()k-1k()kk+1kkkkkkkkSxS xknSxS x（是在區(qū)間， ；是在區(qū)間 ，）1126

21、 (2.16)kkkkkkMMMd對所有中間節(jié)點對所有中間節(jié)點xk,k=1,2,n-1,左邊小區(qū)間與右邊小區(qū)間上左邊小區(qū)間與右邊小區(qū)間上的三次多項式的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)當連續(xù)的三次多項式的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)當連續(xù)!確定二階導(dǎo)數(shù)確定二階導(dǎo)數(shù)kx1kx1kx1(0,1,1)kkkhxx kn編輯課件編輯課件34三彎矩法基本方程三彎矩法基本方程1126 (2.16)1,2, -1kkkkkkMMMdkn11(1) ,1,kkkkkkhhh 110011, (1,2,1)(2.17),(2.18), , ,kkkknnndf xxxkndf x xdf xx注意到這個基本方程只注意到這個基本方程只包括了包括了n-1個

22、方程個方程!但卻但卻有有n個二階導(dǎo)數(shù)需要待定個二階導(dǎo)數(shù)需要待定,這是一個欠定方程組這是一個欠定方程組,還還需要根據(jù)邊界條件再確定兩個方程需要根據(jù)邊界條件再確定兩個方程!編輯課件編輯課件35曲率調(diào)整樣條曲率調(diào)整樣條00(),()nnMfxMfx這種樣條的邊界條件是已知兩端點的二階導(dǎo)數(shù)值這種樣條的邊界條件是已知兩端點的二階導(dǎo)數(shù)值!這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定其它這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定其它n-2個待定參數(shù)個待定參數(shù)的方程組的方程組:1111022222222111126262626nnnnnnnnnMdMMdMdMdM編輯課件編輯課件36自然樣條自然樣條00,0nMM這種樣條的邊界條件

23、是這種樣條的邊界條件是:已知兩端點的二階導(dǎo)數(shù)值為已知兩端點的二階導(dǎo)數(shù)值為0!這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定其它這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定其它n-2個待定參數(shù)個待定參數(shù)的方程組的方程組:1112222222211126262626nnnnnnnMdMdMdMd編輯課件編輯課件37固支樣條固支樣條00(),()nnmfxmfx這種樣條的邊界條件是這種樣條的邊界條件是:已知兩端點的一階導(dǎo)數(shù)值已知兩端點的一階導(dǎo)數(shù)值!根據(jù)前面推導(dǎo)過程中得到的樣條函數(shù)根據(jù)前面推導(dǎo)過程中得到的樣條函數(shù)S(x)的一階導(dǎo)數(shù)的表的一階導(dǎo)數(shù)的表達式達式(2.11),得方程得方程00001000111()26()/()26(

24、)/nnnnnnnnSxmMMdmhSxmMMmdh編輯課件編輯課件38固支樣條固支樣條這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定這樣從三彎矩基本方程可以導(dǎo)數(shù)確定n個待定個待定參數(shù)的方程組參數(shù)的方程組:00001111111116()/2162 (2.20)626()/12nnnnnnnnMdmhMdMdMmdh編輯課件編輯課件39非扭結(jié)樣條非扭結(jié)樣條0121( )( ),( )( )nnSxS x SxSx這種樣條的邊界條件是這種樣條的邊界條件是:要求樣條要求樣條S(x)在開始的兩個小在開始的兩個小區(qū)間區(qū)間x0,x1,x1,x2上的三階導(dǎo)數(shù)相同上的三階導(dǎo)數(shù)相同,在最后兩個小區(qū)間在最后兩個小區(qū)間xn-2

25、,xn-1,xn-1,xn上的三階導(dǎo)數(shù)相同上的三階導(dǎo)數(shù)相同.對表達式對表達式(2.9)再求一次導(dǎo)數(shù)得方程再求一次導(dǎo)數(shù)得方程1( )() (2.9)kkkkkkMMSxxxMh0112111211() (2.21)1()nnnnnMMMMMM編輯課件編輯課件40非扭結(jié)樣條非扭結(jié)樣條再由三彎矩基本方程再由三彎矩基本方程,可得可得11222222221162162 (2.22)62612nnnnnnMdaaMdMdMdbb編輯課件編輯課件41周期樣條周期樣條01126nnnnnnMMMMMd這種樣條的邊界條件是這種樣條的邊界條件是:要求樣條要求樣條S(x)及其導(dǎo)數(shù)是以區(qū)及其導(dǎo)數(shù)是以區(qū)間長度間長度xn

26、-x0為周期的函數(shù)即為周期的函數(shù)即000()(),()(),()()nnnS xS xS xS xSxSx這些條件可以確定如下兩個方程這些條件可以確定如下兩個方程:編輯課件編輯課件42再由三彎矩基本方程再由三彎矩基本方程,可得可得1111222211116262 (2.23)6226nnnnnnnndMdMdMMd 周期樣條周期樣條編輯課件編輯課件43在在MatlabMatlab中數(shù)據(jù)點稱之為斷點。如果三次樣條插值沒有邊中數(shù)據(jù)點稱之為斷點。如果三次樣條插值沒有邊界條件，最常用的方法，就是采用非扭結(jié)（界條件，最常用的方法，就是采用非扭結(jié)（not-a-knotnot-a-knot）條件。這個條件強

27、迫條件。這個條件強迫第第1 1個和第個和第2 2個三次多項式的三階導(dǎo)數(shù)個三次多項式的三階導(dǎo)數(shù)相等，對最后一個和倒數(shù)第相等，對最后一個和倒數(shù)第2 2個三次多項式也做同樣地處理。個三次多項式也做同樣地處理。MatlabMatlab中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)：中三次樣條插值也有現(xiàn)成的函數(shù)：y=interp1(x0,y0,x,spline)y=interp1(x0,y0,x,spline)；y=spline(x0,y0,x)y=spline(x0,y0,x)；pp=csape(x0,y0,conds),pp=csape(x0,y0,conds),pp=csape(x0,y0,conds,valcon

28、ds)pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)y=ppval(pp,x)。其中其中x0,y0 x0,y0是已知數(shù)據(jù)點，是已知數(shù)據(jù)點，x x是插值點，是插值點，y y是插值點的函是插值點的函數(shù)值。數(shù)值。對于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù)對于三次樣條插值，我們提倡使用函數(shù)csapecsape，csapecsape的返的返回值是回值是pppp形式，要求插值點的近似函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)形式，要求插值點的近似函數(shù)值，必須調(diào)用函數(shù)ppvalppval。MATLAB中三次樣條函數(shù)法實現(xiàn)中三次樣條函數(shù)法實現(xiàn)編輯課件編輯課件44pp=csape(x0,y0,con

29、ds,valconds)pp=csape(x0,y0,conds,valconds)condsconds指定插值的邊界條件，其值可為：指定插值的邊界條件，其值可為：complete complete 邊界為一階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的值在邊界為一階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的值在valcondsvalconds參數(shù)中給出。參數(shù)中給出。not-a-knot not-a-knot 非扭結(jié)條件非扭結(jié)條件periodic periodic 周期條件周期條件second second 邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值在邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值在valcondsvalconds參數(shù)中給出，若忽略參數(shù)中給出，若忽略valcon

30、dsvalconds參數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的參數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的缺省值為缺省值為0, 00, 0。MATLAB中三次樣條函數(shù)法實現(xiàn)中三次樣條函數(shù)法實現(xiàn)編輯課件編輯課件45例例2：第一邊界條件的例題：第一邊界條件的例題x1245y1342y17/8-19/8clear;x=1,2,4,5;y=1,3,4,2;pp=csape(x,y,complete,17/8,-19/8);pp.coefsMATLAB代碼代碼編輯課件編輯課件46第一邊界條件的例題第一邊界條件的例題pp = form: pp breaks: 1 2 4 5 coefs: 3x4 double pieces: 3 order: 4 dim:

31、1pp.coefs -0.1250 0 2.1250 1.0000 -0.1250 -0.3750 1.7500 3.0000 0.3750 -1.1250 -1.2500 4.00003323320.125(1)2.125(1) 1( )0.125(2)0.375(2)1,75(2)30.375(4)1.125(4)1.25(4)4xxs xxxxxxx 分段多項式結(jié)構(gòu)與系數(shù)矩陣分段多項式結(jié)構(gòu)與系數(shù)矩陣編輯課件編輯課件47如下代碼求解上述樣條問題：如下代碼求解上述樣條問題：x-4-3-2-101234y00.151.122.362.361.460.490.060y00例例3：自然邊界條件例題

32、：自然邊界條件例題編輯課件編輯課件48x=-4 -3-2-101234;y=00.151.122.362.361.460.490.060;pp=csape(x,y,second);xx=-4:0.01:4;yy=ppval(pp,xx);hold on;plot(x,y,ok);plot(xx,yy,k-);hold off;MATLAB程序程序編輯課件編輯課件49pp = form: pp breaks: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 coefs: 8x4 double pieces: 8 order: 4 dim: 1分段多項式結(jié)構(gòu)：分段多項式結(jié)構(gòu)：編輯課件編輯課件50 pp

33、.coefs= 0.161 0.000 -0.161 0 -0.803 0.54256811487482 0.51171207658321 0.000 -0.39373527245950 0.28972754050074 1.344 1.120 0.14922128129602 -0.896 0.74225699558174 2.360 0.540 -0.44381443298969 -0.593 2.360 0.236 -0.348 -1.888 1.460 -0.483 0.36687039764359 -0.73650773195876 0.490 -0.303 0.18578240058910 -0.607 0.000分段多項式的系數(shù)矩陣：分段多項式的系數(shù)矩陣：編輯課件編輯課件51圖像圖像編輯課件編輯課件5221 1,1125yxx 例例4：對如下：對如下Runge現(xiàn)象中的函數(shù)，求用現(xiàn)象中的函數(shù)，求用n分點作節(jié)分點作節(jié)點的三次樣條插值多項式點的三次樣條插值多項式s3(x)的圖象。的圖象。取取n=5,10,15,20等，將區(qū)間等分成等，將區(qū)間等分成n份，取分點作為插值份，取分點作為插值節(jié)點，利用