19-1含參量積分

1、第十九章含參量積分(一) 教學(xué)目的：掌握含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理，掌握含參量正常積分的求導(dǎo)法那么.(二) 教學(xué)內(nèi)容：含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明；含參量正常積分的導(dǎo)數(shù)的計(jì) 算.根本要求：(1) 了解含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明，熟練掌握含參量正常 積分的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式.(2) 較高要求：掌握含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明.(三) 教學(xué)建議：(1) 要求學(xué)生必須理解含參量正常積分的定義.(2) 要求較好學(xué)生掌握含參量正常積分的連續(xù)性，可微性和可積性定理的證明含參積分:1以實(shí)例02xydy和X22x2xydy 引入.定義含

2、參積分dI (x) f (x, y)dy 和 G(x)cy2(x)yi(x)f(x, y)dy.含參積分提供了表達(dá)函數(shù)的又一手段.我們稱由含參積分表達(dá)的函數(shù)為含參積分1. 含參積分的連續(xù)性：定理19.1 假設(shè)函數(shù)f(x,y)在矩形域D a,b c,d 上連續(xù)，貝U函數(shù)dI (x) f (x, y)dy 在a,b上連續(xù).c、b同樣 J(y) f(x, y)dx在c, d 上連續(xù)a定理19.2 假設(shè)函數(shù)f (x, y)在矩形域D a,b c,d上連續(xù)，函數(shù)y,(x)和y2(x)在y2(x)a , b 上連續(xù)，貝U函數(shù)G(x)f (x,y)dy在a ,b 上連續(xù)yi ( X)定理19.3 (可微性)

3、假設(shè)函數(shù)f (x, y)及其偏導(dǎo)數(shù)fx都在矩形域D a, b c,d 上d連續(xù)，那么函數(shù)I(x) f (x,y)dy在a,b上可導(dǎo)，且cd d d；cf(x,y)dyfx(x, y)dy (即積分和求導(dǎo)次序可換 )證對(duì)于a,b內(nèi)任何一點(diǎn)x，設(shè)xx a,b(假設(shè)x取為區(qū)間端點(diǎn)，那么討論單側(cè)導(dǎo)數(shù))，那么l(x X)l(x)x:f(x x) f(x)dy。 cxIddc fx(x, y)dyx cc由微分中值定理及f(xxx)x的連續(xù)性，對(duì)任給的正數(shù)f (x)f(x x) f(x)x，存在正數(shù)，只要| X | ，就有fx(x, y)dyfx(x, y) | fx(xx, y) fx(x, y)|其中

4、 (0,1)。結(jié)合(20)式得到(dc) I dc fx(x, y)dyx c定理19.4 設(shè)函數(shù)f (x, y)及其偏導(dǎo)數(shù)fx都在矩形域D a,b c,d 上連續(xù), 函數(shù)y,x)和y2(x)定義在a,b,值域在c,d 上,且可微，那么含參積分y2 (x)G(x)心)f(x,y)dy在a,b上可微，且%(x)fx(x,y)dyf x, y2 (x) y2 (x)f x,%(x) yi(x).證 把G(x)作為復(fù)合函數(shù)看待：y2G(x) H(x,yi,y2)f (x, y)dy,其中yiy,x), y2y2(x).由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么和變動(dòng)上限積分的求導(dǎo)得到dF(x)HHyiHydxxy1xy2

5、xy2(x)''、,、fx(x,y)dy f (x, yi(x)yi(x)f (x, y? (x) y2(x)d定理i9.5(可積性)假設(shè)f (x, y)在矩形區(qū)域 Ra,b;c,d 上連續(xù)I (x) f(x, y)dy和 cbJ(y) f (x, y)dx分別在a, b和c,d上可積。a定理I9.6假設(shè)f (x,y)在矩形區(qū)域Ra,b; c,d上連續(xù)，那么dx f(x,y)dya cdy f (x,y)dxc a(x t)n i f(t)及其偏導(dǎo)數(shù)Fx(x,t)在原點(diǎn)的某個(gè)方鄰設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)驗(yàn)證當(dāng)|x|充分小時(shí)，函數(shù)(x)IX/+、n0 (x t)if

6、 (t)dt(n i)!0的n i階導(dǎo)數(shù)存在，且(n)(x)f (x).F面舉例說(shuō)明含參量積分求導(dǎo)或求積運(yùn)算(或稱積分號(hào)下微分法或積分號(hào)下積分法)在計(jì)算定積分中的應(yīng)用。解 由于(2i)中被積函數(shù)F(x,t)(x)i(n i)!x0(ni)(xt)n 2 f (t)dti(n i)!(xx)nif(x)i(n 2)!xo(xt)n 2 f (t)dt域內(nèi)連續(xù)，于是由定理 20。ii有同理(x)(n 3)!如此繼續(xù)下去求得k次導(dǎo)數(shù)為(k)(x)(rnh(x t)nk1f(t)dt特別當(dāng)k n1時(shí)有(n °(x)xof(t)dt(n)(x)f(x).附帶說(shuō)明，當(dāng)x 0時(shí)，(x)及其各階導(dǎo)數(shù)

7、為(0) '(0)(n 1)(0) 0。利用含參量積分的可積性和可微性，可以計(jì)算一些其他方法難以計(jì)算的積分，其思路是b1)適當(dāng)引入?yún)⒘浚玫?I (t) f (x,t)dx, ta原那么是1 (t)bfx(x,t)dxa要容易求積2)利用端點(diǎn)條件，例如1 I()0, I()I，即可求出例1計(jì)算定積分I1 ln(1：)dx0 1x解引入?yún)⒘亢虸(a)1 ln(1ax)dx20 b aX Xx顯然I(0)0,I(1)I ,I(a)1I (a)da , 先求0S=sym('log(1+a*x)/(1+xA2)');diff(S,'a')ans =x/(1+a*

8、x)/(1+xA2)I I (t)dtI (a)I (a)2dx0 (1 x1 0 lnx1 bI ( xydx)dy，因 xy在0 a)(1 ax)計(jì)算這個(gè)積分'x',0,1)int( 'x/(1+a*x)*(1+xA2)',ans =1/4*(-4*log(1+a)+2*log(2)+a*pi)/(aA2+1)I (a)ln(1 a)a2罟利用端點(diǎn)條件I(0)0,I(1) I可得I (a)da101rv( 4ln2)da,'a',0,1)R0,1 ; a, b上連續(xù)，積分可交換積分次序in t('1/2*(log(2)/2+a*pi/

9、4)/(aA2+1)' ans =1/8*pi*log(2)ln28b 1I ( xydx)dya 0b 11 bdy Ina1 y1 a函數(shù)先看看函數(shù)圖象clf,fplot('gamma',0.01,10),hold onplot(-4,5,0,0,'r',0,0,-10,20,'r')axis(-4,6,-15,20)由圖象看出函數(shù)在定義域0,內(nèi)連續(xù)可微，下凸，因此有唯一極小點(diǎn)，位于區(qū)間(1,2)內(nèi),s/VmoH ss/Vims函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y=sym('xA(s-1)*eA(-x)');y1=diff(S,'s

10、')y1 =xa (s_1)*log(x)*e a(_x)s 1 xs 1 x I一(x e )dx x e l n xdx s2, 以外的整個(gè)b可以是無(wú)I(x).M c,使diff(y1,'s')ans =xA(s-1)*log(x)A2*eA(-x)(xs 1e x lnx)dxxs 1e x(lnx)2dxo so(n)s 1 xnx e (In x) dx0函數(shù)的遞推公式應(yīng)用分部積分法容易證明(S 1) s (s)函數(shù)的延拓(s 1)利用遞推公式(s)可以將函數(shù)延拓到除s 0,1s數(shù)軸，其圖象如下clf,fplot('gamma',-4,10),

11、hold onplot(-4,5,0,0,'r',0,0,-10,20,T)axis(-4,6,-15,20)§2含參量的反常積分含參無(wú)窮積分：函數(shù)f (x, y)定義在a,b c, )上(a,窮區(qū)間) 以 I(x)f (x, y)dy為例介紹含參無(wú)窮積分表示的函數(shù)c含參無(wú)窮積分的一致收斂性：逐點(diǎn)收斂(或稱點(diǎn)態(tài)收斂)的定義：x a,b,0,f(x,y)d引出一致收斂問(wèn)題定義(一致收斂性)設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在a,b c,)上.假設(shè)對(duì)0, M c,使得f(x,y)dy對(duì) x a ,b 成立，那么稱含參無(wú)窮積分f (x, y)dy在a ,b (關(guān)于x)一致收斂.c定理

12、19.7 ( Cauchy收斂準(zhǔn)那么)積分I (x) f (x, y)dy在a , b上一致收斂,c0, M 0, A, A2 M ,A2A1f(x,y)d例1證明含參量非正常積分Sinxydy在0 y其中 o.但在區(qū)間(0,)內(nèi)非一致收斂.3.含參無(wú)窮積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系：對(duì) x a , b 成立.)上一致收斂，例1計(jì)算積分1；TR例2設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 0的某鄰域內(nèi)連續(xù).驗(yàn)證當(dāng)|x|充分小時(shí)，函數(shù)(x)1Xn 10(X t) f(t)dt (n 1)! 0的n 1階導(dǎo)數(shù)存在，且(n)(x) f (x).定理19.8積分I(x)f(x, y)dy在a,b上一致收斂，對(duì)任一數(shù)列AncAn

13、1(A c), An /,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ° f (x, y)dy un(x)在a ,b 上一致收斂.n 1n 1(證略)二.含參無(wú)窮積分一致收斂判別法1. Weierstrass M判別法：設(shè)有函數(shù)g(y),使在a , b c,)上有|f(x,y)| g(y).假設(shè)積分 g(y)dy ,那么積分f(x,y)dy在a,b 致收斂.cc例2證明含參無(wú)窮積分osxydx在y內(nèi)一致收斂.0 1 x2Dirichlet判別法和Abel判別法：三.含參無(wú)窮積分的解析性質(zhì)含參無(wú)窮積分的解析性質(zhì)實(shí)指由其所表達(dá)的函數(shù)的解析性 質(zhì)1. 連續(xù)性：積分號(hào)下取極限定理.定理19.9設(shè)函數(shù)f (x, y)在a ,

14、 b c ,)上連續(xù).假設(shè)積分I (x) f (x, y)dy c在a ,b上一致收斂,那么函數(shù)I (x)在a, b上連續(xù).(化為級(jí)數(shù)進(jìn)行證明或直接證明)2. 可微性：積分號(hào)下求導(dǎo)定理.定理19.10設(shè)函數(shù)f和fx在a,b c,)上連續(xù).假設(shè)積分I(x) c f(x,y)dy在a ,b上收斂，積分fx(x, y)dy在a, b 一致收斂.那么函數(shù)I (x)在a , b上可微,c且 I (x) c fx(x, y)dy.3. 可積性：積分換序定理.定理19.11設(shè)函數(shù)f (x, y)在a ,b c,)上連續(xù).假設(shè)積分I (x) f (x, y)dy在a,b上一致收斂，那么函數(shù)I (x)在a ,

15、b上可積，且有cbba dx c f (x, y)dy c dy a f(x, y)dy .acca關(guān)于在a,) c,)上的積分換序問(wèn)題. 例3計(jì)算積分0, ba) 1P342. E4px sin bx sin ax ,edx,x§3 Euler 積分本節(jié)介紹用含參廣義積分表達(dá)的兩個(gè)特殊函數(shù),即(s)和B(p,q).它們統(tǒng)稱為Euler積分.在積分計(jì)算等方面,它們是很有用的兩個(gè)特殊函數(shù)一. Gamma 函數(shù)(s)考慮無(wú)窮限含參積分(s 0)1當(dāng)0 s s 0時(shí),仍用Cauchy判別法判得積分發(fā)散).因此，s 0時(shí)積分0收斂1: x2 xs 1e x xs 1e x 0 , ( x )

16、對(duì) s R 成立，.因此積分 1對(duì)s R收斂.綜上，s 0時(shí)積分0 xs 1e xdx收斂.稱該積分為Euler第二型積分.Euler第二型積分定義了 s (0,)內(nèi)的一個(gè)函數(shù),稱該函數(shù)為Gamma函數(shù),記為(s),即時(shí)，點(diǎn)X 0還是該積分的瑕點(diǎn).因此我們把該積分分為01來(lái)討論其斂散性.s 1時(shí)為正常積分.0 s 1時(shí)，xs 1e x0 .利用非負(fù)函數(shù)積的Cauchy判10 s 1時(shí)積分o收斂.(易見別法,注意到 lim x1 s(xs 1e x)1, 1 s 1,x 02.函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性:(s)在區(qū)間(0,)內(nèi)非一致收斂.這是因?yàn)閟 0時(shí)積分發(fā)散這里利用了下 面的結(jié)果：假設(shè)含參廣義積分

17、在y (a,b內(nèi)收斂，但在點(diǎn)y a發(fā)散,那么積分在(a , b 內(nèi)非一致收斂.但(s)在區(qū)間(0,)內(nèi)閉一致收斂.即在任何a,b(0,)上,(s) 一致1 1 收斂.因?yàn)? a b時(shí)，對(duì)積分,有xs 1e x xa 1e x,而積分xa 1e xdx收斂.對(duì)積分1, xs 1e x xb 1e x,而積分1 xb 1e xdx收斂.由M 判法,它們都一致收斂,積分0xs 1e xdx在區(qū)間a,b上一致收斂.作類似地討論,可得積分(Xs匕0 x)sdx也在區(qū)間(0,)內(nèi)閉一致收斂.于是可得如下結(jié)論：(s)的連續(xù)性:(s)在區(qū)間(0,)內(nèi)連續(xù).(s)的可導(dǎo)性:(s)在區(qū)間(0,)內(nèi)可導(dǎo)，且(s)一

18、(xs 1e x)dx0 s0 xs1ex|nxdx.同理可得：(s)在區(qū)間(0,)內(nèi)任意階可導(dǎo)，且(n) (s) o xs 1e x( In x )n dx .3.(s)函數(shù)的凸性與極值：(s)0 xs 1e x( I nx)2dx 0 ,(s)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格下凸.(1)(2)1 (參下段),(s)在區(qū)間(0,)內(nèi)唯一的極限小值點(diǎn)(亦為最小值點(diǎn))介于1與2之間.4. (s)的遞推公式 函數(shù)表：(s)的遞推公式：(s 1) s (s), (s 0).證(s 1)xse xdxxs(e x) dx0 0s xs 1 x .s 1 x .x e o s x e dx s x e dx s (

19、s).o 0 0 ' /(1)x1 1e xdx e xdx 10 0于是,利用遞推公式得：(2)(11)1 (1)1 ,(3)(21)22 1 2!,(4)(31)33 2! 3! ,般地有(n1)n (n)n(n 1) (n 1)n!可見,在Z上，(s)正是正整數(shù) 階乘的表達(dá)式.倘定義s! (s 1),易見對(duì) s1,該定義是有意義的因此，可視(s 1)為(1,)內(nèi)實(shí)數(shù)的階乘.這樣一來(lái),我們很自然地把正整數(shù)的 階乘延拓到了( 1,)內(nèi)的所有實(shí)數(shù)上，于是,自然就有0!(0 1)1,可見在初等數(shù)學(xué)中規(guī)定0! 1是很合理的 函數(shù)表：很多繁雜的積分計(jì)算問(wèn)題可化為函數(shù)來(lái)處理.人們仿三角函數(shù)表、

20、對(duì)數(shù)表等函數(shù)表，制訂了函數(shù)表供查.由函數(shù)的遞推公式可見,有了 函數(shù)在0 s 1內(nèi)的值，即可對(duì)s 0,求得(s)的值.通常把1.00 s 2.00內(nèi)函數(shù)的某些近似值制成表,稱這樣的表為 函數(shù)表.5. 函數(shù)的延拓：s 0時(shí)，(s 1) s (s),(s) (s 1).該式右端在1 s 0時(shí)也有意義用其作為1 s 0時(shí)s的定義,即把s延拓到了 1,00,內(nèi).2 s 1時(shí)，依式 s利用延拓后的s,又可把s延拓到s2, 1 1,00,內(nèi).依此，可把S延拓到，內(nèi)除去x nn 0,1,2,的所有點(diǎn).經(jīng)過(guò)如此延拓后的s的圖象如1 P347圖表21 4.例 1 求( 4.85),(0.85),(2.15).(查

21、表得(1.85)0.94561.)( 4.85)3.85 (3.85)3.85 2.85 (2.85)3.85 2.85 1.85 (1.85)3.85 2.85 1.85 0.9456119.19506.(1.85)0.85 (0.85),(0.85)(1.85)0.945611.11248.0.850.85(2.15)(1.15)2.151( 0.15)2.151.151(0.85)2.15 1.150.150.945612.15 1.15 0.152.54967 .6. 函數(shù)的其他形式和一個(gè)特殊值：某些積分可通過(guò)換元或分部積分假設(shè)干次后化為 函數(shù).倘能如此，可查 函 數(shù)表求得該積分的值.

22、常見變形有:i > 令xPt (P0),有(s) =xs 1e xdx ps ts 1e ptdt,0L 0，因此，0s 1px Ix e dxsp(s),( p 0, s 0).ii > 令 xt2,(s)22s 1 t2 M2 t e dt .01t2 eJa2dt 2-V1.772454 .2 02s 1iii > 令 xIn t(0),得(s)s 1 1 一In- t dt.取1,得0 ts 11(s)0In1 t1dt(0 In t)s1dt.云，得(S)的一個(gè)特殊值一 2注意到1 P277 E7的結(jié)果° e x dx2t x 1n -.解 I 一 t 2

23、e dt2 0(n1 (2n 1)!12 (2(2n1)!2n1例2計(jì)算積分0 x2ne x dx ,其中n Z二. Beta 函數(shù) B(p,q)Euler 第一型 積分：1. Beta函數(shù)及其連續(xù)性：1稱(含有兩個(gè)參數(shù)的)含參積分0xp 1(1 x)q1dx(p 0, q 0)為Euler第一型積分.當(dāng)p和q中至少有一個(gè)小于1時(shí)，該積分為瑕積分.下證對(duì)p 0 , q 0 ,該 1一1積分收斂.由于p ,q 1時(shí)點(diǎn)x 0和x 1均為瑕點(diǎn).故把積分分成2和1考慮.00212 : p 1時(shí)為正常積分；0 p 1時(shí)，點(diǎn)x 0為瑕點(diǎn).由被積函數(shù)非負(fù)，0x1 pxp 1(1 x)q1 1, (x 0 )

24、和 1 p 1,一 一(由Cauchy判法) 積分:收斂(易見P 0時(shí)積分：發(fā)散).1一 ：q 1時(shí)為正常積分；0 p 1時(shí)，點(diǎn)x 1為瑕點(diǎn).由被積函數(shù)非負(fù)，2(1 x)1 q(1 x)q 1xp 11, (x 1 )和 1 q 1,11(由Cauchy判法) 積分i收斂(易見q 0時(shí)積分i發(fā)散).221綜上,p o, q 0時(shí)積分0收斂.設(shè)d (p,q)|0 p , o q ,1于是,積分0定義了 D內(nèi)的一個(gè)二元函數(shù).稱該函數(shù)為Beta函數(shù)，記為B(p,q),即B(p,q)= 0xp 1(1 x)q1dx ( p 0, q 0)不難驗(yàn)證,B函數(shù)在D內(nèi)閉一致收斂.又被積函數(shù)在D內(nèi)連續(xù),因此,B

25、函 數(shù)是D內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù).2. B 函數(shù)的對(duì)稱性：B(p,q) B(q,p).1x 1 t0證 B(p,q)= oxp1(1 x)q 1dx1 (1 t)p1tq1dt10tq1(1 t)p1dt B(q,p).由于B函數(shù)的兩個(gè)變?cè)菍?duì)稱的,因此，其中一個(gè)變?cè)哂械男再|(zhì)另一個(gè)變?cè)匀灰簿哂?證 B(p 1, q 1)1xp(10 x)qdx10(1q p 1、 x) d(x )1(1 x)q 1dx1o xp 1(1 x)q 1dx , *3.遞推公式：B(p 1,q 1) p H 1B(p 1,q).xp(1x)q 1dx1Oxp(1 x)qdxB(p 1,q) B(p 1,q 1),代入

26、*)式，有 B( p 1 ,qqq 1) inB(p 1,q)1B(p 1解得 B( p 1 , q 1)B( p 1, q ).由對(duì)稱性,又有B( p1)1B(p,q1).4.b函數(shù)的其他形式：(1dx1 1-0y(11y) y1dy1°y1(1y)1dy1b因此得(1 x)dx0,ii >cosx,可得02sin xcos xdx1,1.特別地02si nnxdx1b2iii >有 B(p,q) =1(1x)q 1dx =tp(1t)P qdt.Jp1(1t)p q dtB(p,q),0,q 0)iv >b a可得ba(xx m 1a) (bx)n1dx (b a)mn1 fc/ 、B(m, n),0, n 0.1xm 1(1 x)0n 1 1(a x)m-dx ；WB(m,n),a0,1; m 0, n 0.三. 函數(shù)和B函數(shù)的關(guān)系： 函數(shù)和B函數(shù)之間有關(guān)系式(p) (q)B(P,q), (P 0,q0)(P q)以下只就p和q取正整數(shù)值的情況給予證明 p和q取正實(shí)數(shù)值時(shí)，證明用到函數(shù)的變形和二重?zé)o窮積分