中考數(shù)學(xué)—初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及答案

1、中考數(shù)學(xué)一初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)及答案一、旋轉(zhuǎn)1.如圖所示,(1)正方形ABCD及等腰RtAEF有公共頂點(diǎn)A,/EAF=90；連接BE、DF.將RAEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE、DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？結(jié)合圖(1)給予證明；(2)將(1)中的正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD,等腰RtAEF變?yōu)镽tAAEF7,且AD=kAB,AF=kAE,其他條彳不變.(1)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖(2)說(shuō)明理由；(3)將(2)中的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD,將RtAAEF變?yōu)锳EF,且/BAD=/EAF=q其他條彳不變.(2)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖(3),如果不變，直

2、接寫出結(jié)論；如果變化，直接用k表示出線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系，用a表示出直線BE、DF形成的銳角3.【答案】(1)DF=BE且DFLBE,證明見(jiàn)解析；(2)數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變，即DF=kBE,3=18。”DF=kBE,DF±BE；(3)不改變.【解析】【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中線段的長(zhǎng)度不變，得到AF=AE,又/BAE與/DAF都與/BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以FAg4EAB,因此BE與DF相等，延長(zhǎng)DF交BE于G,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出/EGF=90°,所以DF±BE;(2)等同(1)的方法，

3、因?yàn)榫匦蔚泥忂叢幌嗟龋鶕?jù)題意，可以得到對(duì)應(yīng)邊成比例，所以FA24EAB,所以DF=kBE,同理，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出/EHF=90°,所以DF,BE;(3)與(2)的證明方法相同，但根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出/£人5+/EHF=180°,所以DF與BE的夾角3=180-【詳解】(1)DF與BE互相垂直且相等.證明：延長(zhǎng)DF分別交ARBE于點(diǎn)P、G在正方形ABCD和等腰直角4AEF中AD=AB,AF=AE,/BAD=/EAF=90ZFAAZEAB.FACAEABZAFD=Z

4、AEB,DF=BEZAFD+ZAFG=180,ZAEG+ZAFG=180,ZEA曰90；ZEGR=180-90=90,DFXBEDF=kBE,DF±BE(2)數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變.延長(zhǎng)DF交EB于點(diǎn)H,.AD=kAB,AF=kAEAD,AF一k,一ABAEADAFABAEZBAD=ZEAF=aZFAAZEABAFADAEABDFAFkBEAEDF=kBE FADAEAB,ZAFDZAEB,ZAFD+ZAFH=180,ZAEH+ZAFH=180: ZEAR=90； ZEH已180-90=90；DFXBE(3)不改變.DF=kBE,3=180-a.延長(zhǎng)DF交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,AF

5、=kAE.AD=kAB,ADAB"kAEADAFABAE/BAD=/EAF=a/FAD=/EAB.FADAEABDFAF,kBEAE.DF=kBE由FADEAB得/AFD=/AEB /AFD+/AFH=180° /AEB+/AFH=180° 四邊形AEHF的內(nèi)角和為360: /EAF+ZEHF=180° /EAF=a,/EHF=3 ,a+片180:3=180-a【點(diǎn)睛】本題(1)中主要利用三角形全等的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明；(2)(3)利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明，要解決本題，證明三角形全等和三角相似是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在.2.在平面直

6、角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,4),B(4,4),點(diǎn)M,N是射線OC上兩動(dòng)點(diǎn)(OMVON),且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持/MAN=45。，小明用幾何畫板探究其中的線段關(guān)系.(1)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)M,N均在線段OB上時(shí)(如圖1),有OM2+BN2=MN2.他的證明思路如下：第一步：將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得aAPO,連結(jié)PM,則有BN=OP.第二步：證明APMANM,得MP=MM.第一步：證明/POM=90°,得OM'O卡nMP2.最后得到OM2+BN2=MN2.請(qǐng)你完成第二步三角形全等的證明.圖1圖2圖3（2）繼續(xù)探究：除（1）外的其他情況，OM，BN2=MN2的結(jié)論是否

7、仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）新題編制：若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題（不標(biāo)注新的字母），并直接給出答案（根據(jù)編出的問(wèn)題層次，給不同的得分）.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AAPO,連結(jié)PM,則有BN=OP.證明APMAANM,再利用勾股定理即可解決問(wèn)題;（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M,N在OB的延長(zhǎng)線上時(shí)結(jié)論仍然成立.證明方法類似（1）;（3）如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).利用（2）中結(jié)論，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.【詳解】A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得AP

8、O,連結(jié)PM,則有BN=OP.3 /NAP=/OAB=90°,/MAN=45°,/MAN=/MAP,4 .MA=MA,AN=AP,5 .MANAMAP（SAS）.（2）如圖2中，結(jié)論仍然成立.理由：如圖2中，將4ANB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得APO,連結(jié)PM,則有BN=OP.6 /NAP=/OAB=90°,/MAN=45°,/MAN=/MAP,7 .MA=MA,AN=AP,.MANAMAP(SAS),.MN=PM,8 /ABN=ZAOP=135；/AOB=45；/MOP=90°,.PM2=OM2+OP2,9 .OM2+BN2=MN2；

9、(3)如圖3中，若點(diǎn)B是MN的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng).設(shè)MN=2x,貝UBM=BN=x,-，OA=AB=4,/OAB=90；.OB=4.2，OM=472-x,1OM2+BN2=MN2.(4應(yīng)-x)2+x2=(2x)2,解得x=-2、2+26或-2,2-2、,力(舍棄)MN=-472+4/6.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.AC=2CE=m,BC=D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且3.平面上，RtABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放，/B=90°,n,半圓O交

10、BC邊于點(diǎn)D,將半圓O繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)/ECD始終等于/ACB,旋轉(zhuǎn)角記為a(0°WaW)180°AE(3)若m=10,n=8,當(dāng)”=/ACB時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)；(4)若m=6,n=4J2，當(dāng)半圓。旋轉(zhuǎn)至與ABC的邊相切時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng).【答案】(1)90。，n;(2)無(wú)變化；(3)12;(4)BD=2j75或254.25,3【解析】CDCE試題分析：(1)根據(jù)直徑的性質(zhì)，由DE/AB得即可解決問(wèn)題.求出CBCABD、AE即可解決問(wèn)題.(2)只要證明ACa4BCD即可.(3)求出AB>AE,利用AC&BCD即可解決問(wèn)題.(4)分類討論：如圖5

11、中，當(dāng)a=90時(shí)，半圓與AC相切，如圖6中，當(dāng)a=90°4ACB時(shí)，半圓與BC相切，分別求出BD即可.試題解析：(1)解：如圖1中，當(dāng)"O寸，連接DE,則/CDE=90：ZCDE=ZB=90；.DE/AB,-CE-CD=1.BC=n,，CD=1n.故答ACCB22一。1案為90。，-n.2如圖2中，當(dāng)a=18叫，BD=BC+CD=-3n,AE=AC+CE=-3m,.故答案為CDBCn(2)如圖3中,ZACB=ZDCE/ACE=ZBCD.CEACm'.ACEABCD,BDBCAEACm(3)如圖4中，當(dāng)“=/ACB時(shí).在RABC中，,ACMO,BC=8,BDBCAEA

12、C .AB=JAC2_BC2=6.在RtABE中,/AB=6,BE=BC-CE=3, -AE=ZABBE2=.6232=3.5,由(2)可知AACaBCD,.-BD=,.BA12Y5.故答案為12Y5.3.51055(4)m=6,n=4&,，CE=3,CD=2點(diǎn)，AB=kABC2=2,如圖5中，當(dāng)a=90時(shí)，半圓與AC相切.在RtaDBC中，BD=,bc2cd2=J(4后(R2)2=2后.如圖6中，當(dāng)a=90°Z+ACB時(shí)，半圓與BC相切，作EMXABTM.ZM=ZCBM=ZBCE=90°,.四邊形BCEM是矩形，.BMEC3,ME4&，DB2.221141

13、-AM=5,AE=Jam2ME2=757,由(2)可知=,-BD=-AE33故答案為2M或214.3點(diǎn)睛：本題考查了圓的有關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確畫出圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)分類討論的思想，本題綜合性比較強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題.4.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC.將PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到P'CB的位置.(1)設(shè)AB的長(zhǎng)為a,PB的長(zhǎng)為b(b<a),求PAB旋轉(zhuǎn)到P'CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域(圖中陰影部分)的面積；(2)若PA=2,PB=4,/APB=135°,求PC的長(zhǎng).【答案】（1）S陰

14、影=4（a2-b2”（2）PC=6.【解析】試題分析：（1）依題意，將/P'CB時(shí)針旋轉(zhuǎn)90?？膳c4PAB重合，此時(shí)陰影部分面積二扇形BAC的面積-扇形BPP的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，兩個(gè)扇形的中心角都是90。，可據(jù)此求出陰影部分的面積.（2）連接PP；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BP=BP；旋轉(zhuǎn)角ZPBP'=90°,則4PBP是等腰直角三角形，/BP'C=/BPA=135,/PP'C=/BP'C-ZBP'P=135°-45=90°,可推出PP'C是直角三角形，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理求出PC的長(zhǎng).試題解析：（1）二,將

15、4PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AP'CB位置，.PABAP'CB,Sapae=Sxp'cb,HS陰影=s扇形bac-S扇形bpp=斗（a2-b2）;（2）連接PP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：APBCPp.BP=BP',=P'C=PA=2PBP'=90°PBP是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又/BPC=BPA=135,./PP'CBP'-aBP'P=1355°=90；即APP'是直角三角形.PC=6.考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.正方形的性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性

16、質(zhì).5.如圖1.在4ABC中，/ACB=90°,點(diǎn)P為4ABC內(nèi)一點(diǎn).（1）連接PRPC,將4BCP沿射線CA方向平移，得到DAE,點(diǎn)B、CP的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A、E,連接CE. 依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形； 如果BP±CE,AB+BP=9,CE=373,求AB的長(zhǎng).（2）如圖3,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將4ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60彳導(dǎo)至iJAMN,連接PAPRPC,當(dāng)AC=4,AB=8時(shí)，根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值.【答案】見(jiàn)解析，AB=6;4".【解析】分析：（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；CD=連接BD、CD.根據(jù)平移的性質(zhì)和/ACB=90°,得到四邊

17、形BCAD是矩形，從而有AB,設(shè)CD=AB=x,則PB=DE=9X,由勾股定理求解即可；（2）當(dāng)CP、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求解即可.詳解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示；如圖：連接BD、CD.BCP沿射線CA方向平移，得到ADAE,2 .BC/AD且BC=AD,PB=DE.3 ZACB=90°,，四邊形BCAD是矩形，.-.CD=AB,設(shè)CD=AB=X,則PB=9X,DE=BP=9X,.BPXCEBP/DE,DE±CE,22CE2DE2CD2,3j39xx2,X6,即AB=6；(2)如圖，當(dāng)GP、M、N四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最小.易得

18、APM、ABN都是等邊三角形，PA=PM,PA+PB+PC=PM+MN+PC=CNI,-.BN=AB=8,/BNA=60°,/PAM=60；/CAN=/CAB+/BANI=60+60=120:/CBN=90:在RtABC中，易得：bc=Jab2AC2席44/3，在RtBCN中，CNJbC2BN2J48644斤點(diǎn)睛：本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.6.小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：對(duì)折矩形紙片ABCD(AB>BC)

19、使AB與DC重合，得到折痕EF,把紙片展平；沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處，再折出PB、PC,最后用筆畫出4PBC圖1).(1)求證：圖1中的/iPBC是正三角形：(2)如圖2,小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個(gè)正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.求證：IH=IJ請(qǐng)求出NJ的長(zhǎng)；(3)小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長(zhǎng)為6cm,當(dāng)另一邊的長(zhǎng)度a變化時(shí)，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會(huì)有所不同.請(qǐng)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說(shuō)明問(wèn)題即可)，并直接寫出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；12-6石(3)3j3

20、va4j3,a>4、,3【解析】分析：(1)由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PCPB=CB得出PB=PC=CEHP可；(2)利用"HlffiRtIHMRtIJN即可得；IJ上取一點(diǎn)Q,使QI=QN,由RtAIHMRtIJN知/HIM=/JIN=15:繼而可得ZNQJ=30°,設(shè)NJ=x,貝UIQ=QN=2x、QJ=J3x,根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；(3)由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫出圖形即可.(1)證明：對(duì)折矩形紙片ABCD(AB>BC)使AB與DC重合，得到折痕EF，PB=PC 沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上

21、的點(diǎn)P處，PB=BCPB=PC=BC .PBC是正三角形：(2)證明：如圖.UKI 矩形AHIJ/H=ZJ=90° MNJ是等邊三角形.MI=NI在RtAMHI和RtJNI中MINIMHNJ RtAMHIRtAJNI(HL).HI=IJ在線段IJ上取點(diǎn)Q,使IQ=NQRtAIHMRtAIJN,/HIM=ZJIN,/HIJ=90、/MIN=60；h/HIM=ZJIN=15,°由QI=QN知/JIN=/QNI=15,設(shè)NJ=x,則IQ=QN=2x,QJ=QN2NJ2=.3x,IJ=6cm,2x+£x=6,-x=12-673,即NJ=12-6/3(cm)(3)分三種情況

22、：如圖:設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為b,則0vbw。則tan60=餐,2如圖.0丹=3百；當(dāng)DF與DC重合時(shí)，DF=DE=6.a=sin60x°dE63=3V3，2當(dāng)DE與DA重合時(shí)，a=sin6063433<3<a<4出;DEF是等邊三角形/FDC=30°61DF=COS30，a>4逐點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大.7.如圖1,4ABC中，CA=CB,ZACB=90°,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AFL于點(diǎn)F,B已l于點(diǎn)E

23、.(1)求證：4AC陣CBE(2)將直線旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接DE.若AB=4,/CBE=30；求DE的長(zhǎng).【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)J2褥【解析】試題分析：(1)根據(jù)垂直的定義得到/BEC=/ACB=90。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/EBO/CAF,即可得到結(jié)論；(2)連接CD,DF,證得BCEACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF,CE=AF,證得DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=&DE,EF=C&BE,進(jìn)而得至ijDE的長(zhǎng).試題解析：解：(1)BEXCE,ZBEC=ZACB=90°, /EBG/BCE=/B

24、CEnZACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于點(diǎn)F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE與AACF中，EBCACF,/.AACFACBE(AAS);BCAC(2)如圖2,連接CD,DF.BEXCE,./BEC=/ACB=90°, /EBG/BCE=/BCEnZACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于點(diǎn)F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE與ACAF中，EBCACF,ABCEACAF(AAS)；BCACBE=CF.D是AB的中點(diǎn)，CD=BD,ZCDB=90；./CBD=/ACD=45；而B(niǎo)ECF/EBO/CAF,./EBD=/DCF.在BDE與CDF

25、中，EBDFCD,BDCF.,.BDEACDF(SAS,./EDB=/FDC,DE=DF./BDE+/CDE=90；/FDG/CDE=90；即/EDF=90；.EDF是等腰直角三角形，.EF=72DE,EF=CE+CF=CE+BE./CA=CB,/ACB=90；AB=4&,.BC=4.又/CBE=30°,.CE=1bC=2,BE=73CE=273,EF=CE+BE=2+2V3,DE=-EF=23=2+V6.點(diǎn)睛：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證得BCEACF是解題的關(guān)鍵.8.把兩個(gè)直角邊長(zhǎng)均為6的等腰直角三角板AB

26、C和EFG疊放在一起（如圖），使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)。重合.現(xiàn)將三角板EFG繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角“滿足條件：0°<a<90。），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中兩三角板的重疊部分（如圖）.（1）探究：在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BH與CK的數(shù)量關(guān)系以及四邊形CHGK的面積的變化情況（直接寫出探究的結(jié)果，不必寫探究及推理過(guò)程）；（2）利用（1）中你得到的結(jié)論，解決下面問(wèn)題：連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一位置，使4GKH的面積恰好等于4ABC面積的彳萬(wàn)？若存在，求出此時(shí)BH的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由.5【答案】（1）BH=CK;（2）存在，使GRH的

27、面積恰好等于ABC面積的有的位置，此時(shí)BH的長(zhǎng)度為3士巫.【解析】(1)先由ASA證出CGKBGH,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；(2)根據(jù)面積公式得出SghK=S四邊形ckgh-Sack干-x2-3x+9,根據(jù)GKH的面積恰好等于2ABC面積的3,代入得出方程-x2-3x+9=X-X6求出即可.122122解：(1)BH與CK的數(shù)量關(guān)系：BH=CK理由是：連接OC,由直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出OC=BGAC=BC,。為AB中點(diǎn)，/ACB=90；/B=/ACG=45；CO±AB,/CGB=90=ZKGH, 者B減去/C

28、GH得：/BGH=ZCGK在CGK和4BGH中ZKCG=ZECG二BG,NKGC二NBGH .CGKABGHI(ASA), .CK=BH即BH=CK；四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的面積不變，始終等于四邊形CQGZ的面積，即等于4ACB面積的一半，等于9;5(2)假設(shè)存在使GKH的面積恰好等于ABC面積的一的位置.12設(shè)BH=x,由題意及(1)中結(jié)論可得，CK=BH=xCH=CB-BH=6-x,.Sachk=1CHXCK=3x1x2,c1212Saghk=S四邊形ckghSackh=9(3xx2)=-x23x+9,5.GKH的面積恰好等于ABC面積的一,12-1x2-3x+9=

29、!6>62122解得K3，6,x23y6(經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意).存在使4GKH的面積恰好等于ABC面積的3的位置，此時(shí)x的值為3J612'熏睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，此題有一定的難度，但是一道比較好的題目.9.已知：如圖1,將兩塊全等的含30o角的直角三角板按圖所示的方式放置，/BAC=/BiAiC=30°,點(diǎn)B,C,Bi在同一條直線上.(1)求證：AB=2BC(2)如圖2,將4ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0Va<180),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)AB與AiC、A1B1分別交于點(diǎn)D、E,AC與A1B1交于點(diǎn)F.當(dāng)a等于多少度時(shí)，

30、AB與A1B1垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖3,當(dāng)4ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至如圖所示的位置，使AB/CB,AB與AC交于點(diǎn)D,試說(shuō)明A1D=CD.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30°時(shí)，AB與A1B1垂直.(3)理由見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)由等邊三角形的性質(zhì)得AB=BB1,又因?yàn)锽B1=2BC,得出AB=2BC；(2)利用AB與A1B1垂直得/A1ED=90°,則/A1DE=90°-/A1=60°,根據(jù)對(duì)頂角相等得/BDC=60,°由于/B=60；利用三角形內(nèi)角和定理得/A1CB=180-ZBDC-ZB=60°,所

31、以/ACA1=90°-/A1CB=30°,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到旋轉(zhuǎn)角等于30°時(shí)，AB與A1B1垂直；(3)由于AB/CB,ZACB=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得/ADC=90°,在RtADC中，根據(jù)含130度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=2AC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AC,所以_1_CD=A1C,貝UA1D=CD.2試題解析：(1) .ABBi是等邊三角形；AB=BBi BBi=2BC，AB=2BC(2)解：當(dāng)AB與AiBi垂直時(shí)，/AiED=90°, /AiDE=90-ZAi=90-30=60°, /B=60；/BC

32、D=60； /ACAi=90-60=30°,即當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于30°時(shí)，AB與AiBi垂直.(3).AB/CB,/ACB=90°,/CDB=90，。即CD是4ABC的高，設(shè)BC=a,AC=b，貝U由(i)得AB=2a,AiC=b,ci.i'''SabcBCACABCD,22rrii-即，ab12aCD22i.iCDb,即CD=-AiC,22.AiD=CD.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.i0.如圖所示，在4ABC中，D

33、、E分別是ARAC上的點(diǎn)，DE/BC,如圖，然后將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖，然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N,使DM=4bD,EN=gcE,得到圖，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(i)若AB=AC,請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：在圖中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是;在圖中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/MAN與/BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若AB=kAC(k>i),按上述操作方法，得到圖，請(qǐng)繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/MAN與/BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證【答案】(1)BD=CE;AM=AN,/MAN=/BAC理由如下：在圖中，DEBC,AB=AC.AD="AE.

34、"AR=AC,=£.CAEf.A-A_,AD-AE_在ABD與AACE中AABDAACE.BD=CE/ACE玄ABD.在ADAM與EAN中,11111/AEN=ZACE-+ZCAE,DMBD,ENCE,BD=CE，DM=EN,/ADM=/ABD+ZBAD,/AEN=ZADM.y.'AE=AD,AADMAAEN.'.AM=AN,/DAM=/EAN.，/MAN=/DAE=/BAC.AM=AN,/MAN=/BAC.(2) AM=kAN,/MAN=/BAC.【解析】(1)根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AE®4ADB,所以BD=CE;根據(jù)題意可知ZCAE=BADA

35、B=AC,AD=AE,所以得到BA44CAE,在ABM和ACN中，1 1DM=BD,EN=CE：,可證ABM0ACN,所以AM=AN,即/MAN=/BAC.工人(2)直接類比(1)中結(jié)果可知AM=k?AN,/MAN=/BAC.11.(1)觀察猜想如圖，在4ABC中，/BAC=90,AB=AC點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作正方形DEFG使點(diǎn)A,C分別在DG和DE上，連接AE,BG,則線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是(2)拓展探究將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后(旋轉(zhuǎn)角度大于0。，小于或等于360°),如圖2,則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)

36、明理由.解決問(wèn)題若BC=DE=2在(2)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，直接寫出AF的值.【答案】(1)BG=AE.(2)成立.如圖，連接AD.ABC是等腰三直角角形，/BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.分7(3)由(2)知，BG=AE,故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大.正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)270°時(shí)，BG最大，如圖.若BCDE=2,貝UAD=1,EF=2.在RtAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+

37、22=13.AF=【解析】解：(1)BG=AE.(2)成立.如圖，連接ad.ABC是等腰三直角角形，/BAJ90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大.Z+X+X+K因?yàn)檎叫蜠EFG在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形是以點(diǎn)D為圓心，DG為半徑的圓，故當(dāng)正方形DEFG旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)位于BC的延長(zhǎng)線上(即正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)270°)時(shí)，BG最大，如圖.若BC=DE=2,則AD=1,EF=2.在RtAEF

38、中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.-af=a/b.即在正方形DEFG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，AF=JJ.12.如圖，在4ABC中，/CAB=70°,在同一平面內(nèi)，將4ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AB'的位【答案】400.【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由CC/AB得/ACC=CAB=70,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AC,/BAB'/CAC；于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有/ACC'AC'C=7然后利用三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出/CAC=40；從而得到/BAB的度數(shù).【詳解】 .CC7/AB, ZACCZ=CAB=70

39、；.ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AB'白Ca置， .AC=AC,'/BABZCAC；在ACC中，AC=AC /ACCZAC'C=70° /CAC'=1800-70=40； /BAB'=40°【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.13.如圖1,O為直線AB上一點(diǎn)，OC為射線，/AOC=40°,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊OD在射線OA上，另一邊OE與OC都在直線AB的上方.(1)將三角板繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若OD恰好平分/AOC(如圖2),試說(shuō)明

40、OE平分/BOC;(2)將三角板繞點(diǎn)O在直線AB上方順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OD落在/BOC內(nèi)部，且ZCOD=1,一/BOE時(shí)，求/AOE的度數(shù)：3(3)將圖1中的三角板和射線OC同時(shí)繞點(diǎn)O,分別以每秒6。和每秒2。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，求第幾秒時(shí)，OD恰好與OC在同一條直線上？【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)142.5。；(3)第10秒或第55秒時(shí).【解析】【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)及同角的余角相等，可得答案；(2)設(shè)/COD=a,則/BOE=3a,由題意得關(guān)于a的方程，求解即可；(3)分兩種情況考慮：當(dāng)OD與OC重合時(shí)；當(dāng)OD與OC的反向延長(zhǎng)線重合時(shí).【詳解】解：(1).OD恰好平分/AOC/A

41、OD=/COD/DOE=90°ZAOD+ZBOE=90；ZCOD+ZCOE90°/BOE=/COEOE平分/BOG(2)設(shè)/COD=a,貝U/BO3a,當(dāng)OD在/BOC的內(nèi)部時(shí)，/AOD=/AOG/COD=40°+a /AOD+ZBOE=180-90=90° .40°+“斗3)位° a=12.5°/AOE=180:3A142.5° /AOE的度數(shù)為142.5.°(3)設(shè)第t秒時(shí)，OD與OC恰好在同一條直線上，則ZAOD=6t,ZAOC=2t+40°；當(dāng)OD與OC重合日6t-2t=40° t=10(秒)；當(dāng)OD與OC的反向延長(zhǎng)線重合時(shí)，6t-2t=180+40° .t=55(秒)，第10秒或第55秒時(shí)，OD恰好與OC在同一條直線上.【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、余角的性質(zhì)，角度的計(jì)算，進(jìn)行分類討論不漏解是關(guān)鍵.14.在4ABC中，AB=BC=2,ZABC=120°,將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(0°VaV90°)得A1BC1,A1B交AC于點(diǎn)E,A1C1分別交ACBC于D、F兩點(diǎn).(1)如圖1,觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段BE與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；(2)如圖