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文檔簡介
1、僅供個人參考淺談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的運用王克卓數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),且 數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩種表達形式,數(shù)是形的抽象概括,形是數(shù) 的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形 結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,使得復(fù)雜問 題簡單化,抽象問題具體化,使抽象思維和形象思維相結(jié)合, 通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種 數(shù)學(xué)思想方法。顯然數(shù)形結(jié)合,不是兩者簡單的堆砌,而是 有機的結(jié)合,“數(shù)”具有精確性定特征,它可以闡明“形” 的某些屬性,并且可以通過運算法則、公式進行運算,比較 具體(雖然有時卻比較繁復(fù)),“形”具有幾何的直觀性,它 也可以表示數(shù)
2、之間的某些關(guān)系,“形”可以通過邏輯推理得到一些結(jié)果,其推理過程較簡捷(但可能有時比較抽象)。 但兩者結(jié)合,各取所長,則往往威力巨大,因此華羅庚教授 說:“數(shù)缺形時少直覺, 形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好, 隔裂分家萬事非?!盕or personal use only in study and research; not for commercial use數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)新課程所滲透的重要思想方法之 一,高中數(shù)學(xué)新教材之中的每一章節(jié)內(nèi)容都有以數(shù)形結(jié)合的 問題形式由現(xiàn),能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。 新教材中滲透這一方法,對發(fā)展學(xué)生的解題思路、尋找最佳 不得用于商業(yè)用途僅供個人參考解題
3、方法明顯帶有指導(dǎo)性作用,通過對問題進行正確的分 析、比較、合理聯(lián)想,訓(xùn)練學(xué)生思維、拓寬視野,逐步形成 正確的解題觀;還可在學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生對抽象概念給予形象 化的理解和記憶,提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力,并提升對現(xiàn)實世界的 認(rèn)識能力,從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),不斷完善自己。下面舉例說 明數(shù)形結(jié)合思想在各模塊中的應(yīng)用。一、利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題對于集合中各種概念、運算的理解,直接從自然語言和 符號語言上理解,往往難以搞清其本質(zhì);若借助簡單的韋恩 圖表示兩集合間的關(guān)系,可使問題變得直觀、具體,易于認(rèn) 清集合的特征,便于準(zhǔn)確、快速地解決問題。這就是數(shù)形結(jié) 合思想的應(yīng)用,顯然準(zhǔn)確地將集合問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系是關(guān) 鍵。解題時
4、常借助韋恩圖或用數(shù)軸、簡單函數(shù)的圖像等形來 集合問題,往往可以把問題中的條件直觀化、形象化,從而 使原題靈活、簡捷、準(zhǔn)確地獲解。例1 若I為全集,M,NJ且mcn=n,則下列結(jié)論中正確 的是。 CMmGN; MJCIN; GMJCIN; M3CIN(提示:由韋恩圖可以很容易知道答案為。)二、函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)知識的主要內(nèi)容,它的地位和作用 非常重要,數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題時尤為重要。函數(shù) 的圖像是表示函數(shù)關(guān)系的方式之一,它是從“形”的方面來 刻畫函數(shù)的變化規(guī)律,形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù) 量關(guān)系問題提供了 “形”的直觀性,它是探求解題途徑,獲得答案的重要工具。利用一次
5、函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖像來解決代數(shù)問題,有 利于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化聯(lián)想能力、觀察能力,如利用某些函數(shù) 表達式所具有的特征,與幾何中的距離、直線的斜率、線段 的長度(兩點間的距離)等聯(lián)系在一起,構(gòu)造幾何模型解決 問題,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性并提高創(chuàng)造性。心1"0 例2設(shè)函數(shù)f(X)=2,若”%)>1,則%的取值范圍1/x2, x>0分析:本題主要考查函數(shù)的基本知識, 利用函數(shù)的單調(diào)性解不 等式以及借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。解:如圖1,在同一坐標(biāo)系中,作由函數(shù) y = f(x)的圖像 和直線y=i,它們相交于(T,1)和(1,1)兩點。由
6、f(x)>i ,得x<-1或 X >1 O例3 方程lgx=sinx解的個數(shù)為 。分析:畫由函數(shù)y=lgx與y=sinx的圖像(如圖2)。注意兩個 圖像的相對位置關(guān)系。顯然,通過上兩題看由,函數(shù)的解析式和圖像的實質(zhì)是相同的,在解題時經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化,尤其是解決較為繁瑣的 (如方程解的個數(shù)、分類討論、求參數(shù)的范圍等)問題時,更要充分發(fā)揮圖像的直觀作用,把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換。但轉(zhuǎn)換時,要注意方式、方法,如方程f (x) =g (x)的解的個數(shù)可以轉(zhuǎn)換為函數(shù) y= f (x)和y= g (x)的圖像的交點個數(shù)問題;不等式 f (x) >g (x)的解 集可以轉(zhuǎn)
7、化為函數(shù) y=f (x)的圖像位于函數(shù) y= g (x)的圖 像上方的那部分點的橫坐標(biāo)的集合。三、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)列問題數(shù)列可看成以n為自變量的函數(shù),等差數(shù)列可看成自然數(shù)n的“一次函數(shù)”,前n項和可看成n的無常數(shù)項的“二次 函數(shù)”,等比數(shù)列可看成自然數(shù) n的“指數(shù)函數(shù)”,在解決 數(shù)列問題時可借助相應(yīng)的函數(shù)圖像來解決。例4 若數(shù)列QJ為等差數(shù)列,ap = q,aq = P,求ap丸。如圖3,分析:不妨設(shè)p<q,由于等差數(shù)列中, 4關(guān)于n的圖像是 一條直線上均勻排開的一群孤立的點,故三點 (p,q),(q, p),( p+q, m)共線,設(shè)ap±=m , 由已知,得三點 (p,a
8、q),(q,ap),( p +q,apQ 共線。貝U kAB =kBc ,即-pqm- p ,得 m = 0 ,q-p p q -q即ap七=0 °四、不等式與解析幾何中的數(shù)形結(jié)合在解析幾何中,借助直線、圓及圓錐曲線在直角坐標(biāo)系 中圖像的特點,可從圖形上尋求解題思路,啟發(fā)思維,難題 巧解。例5 曲線y=-x-x2(0,xW2)與直線y = k(x-2)+2有兩個交 點時,實數(shù)k的取值范圍是。分析:曲線y = J2x-x2 (0x M2)的圖形是以(1,0)為圓心,以1為半徑的圓在x軸上方(包括x軸)的部分。直線y = k(x-2) + 2是過定點P(2,2)、斜率為k的直線。在同一直
9、角坐標(biāo)系中,分 別作由它們的圖形,觀察圖4,符合要求的直線l介于直線li,l2 之間(包括12,不包括ll),其中11與半圓相切,12過原點。通過計算容易求得的斜率為i, li的斜率為3。所以4:kEi。例6如果實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2 + y2=3,那么)的最大 y值是 O不得用于商業(yè)用途分析:等式(x-2)2+y2 =3有明顯的幾何意義,它表示以(2,0) 為圓心,r =囪為半徑的圓(如圖5)。而且則表示圓上 x x -0的點(x,y)與坐標(biāo)原點(0,0)的連線的斜率。如此以來,該問題 可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題:動點A在以(2,0)為圓心,以3為半徑的圓上移動,求直線 OA的斜率的最大值
10、。由圖 5可見,當(dāng) 點A在第一象限,且與圓相切時,OA的斜率最大,經(jīng)簡單計算,得最大值為tan60'73。五、求極值問題中的數(shù)形結(jié)合許多代數(shù)極值問題,存在著圖形背景,借助形的直觀性 解題是尋求解題思路的一種重要方法,通過圖形給問題以幾 何直觀描述,從數(shù)形結(jié)合中找由問題的邏輯關(guān)系,啟發(fā)思維,難題巧解。例7 直線y=a與函數(shù)f(x)=x3-3x的圖像有相異的三個 公共點,則a的取值范圍為 o分析:函數(shù)f(x)=x3-3X的導(dǎo)數(shù)為f«)=3x2-3。令f,(x)之0, 解得x>或xE-1 ;令f(勾勾,解得-1<x<1 ;則函數(shù)f(x)在(1尸) 上 單調(diào)遞增,在
11、(-,-1)上單調(diào)遞增。在(-1,1)上單調(diào)遞減。由 此畫由f(x)的草圖(圖6) o由圖形看由-2<a<2。六、數(shù)形結(jié)合在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義包括兩方面內(nèi)容:一是與復(fù)平面上的點 一一對應(yīng),二是與復(fù)平面上從原點生發(fā)的向量一一對應(yīng),這 使得復(fù)數(shù)可以從解析幾何的角度來審視,可借助數(shù)與形的互 化來解題。例8 已知zC,且|zW;,求|z + 1的取值范圍。分析:利用復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的圖形及其幾何意義解決 此類問題。圖7解:憶E2在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形為以原點為圓心,以:為 半徑的圓周及圓內(nèi)部,|z + l表示在復(fù)平面上z對應(yīng)的點與-1 對應(yīng)點間的距離。由圖7, Z+1最大值為|A
12、C =32, |z+l最小值 為 |AB =2。故 |z+12,|。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時要注意以下兩點:其一數(shù)與形轉(zhuǎn)化 的等價性,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單、熟知的數(shù)學(xué)問題,轉(zhuǎn) 化前后的問題必須是等價的;其二,利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性,像判斷公共點個數(shù)問題,轉(zhuǎn)化成圖形后要 保證“數(shù)”的精確性,才能得由正確結(jié)論。有些問題所對應(yīng) 的圖形不唯一,要根據(jù)不同的情況畫由相應(yīng)的圖形后,再進 行討論求解??傊?,要讓學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓,必須有 雄厚的基礎(chǔ)知識和熟練的基本技巧,如果教師只講解幾個典 型習(xí)題并把學(xué)生講懂了,就認(rèn)為學(xué)生領(lǐng)會了數(shù)形結(jié)合這一思 想方法,是偏面的。教師要有做好長期滲透的思想
13、,平時要 求學(xué)生認(rèn)真上好每一堂課,學(xué)好新教材的系統(tǒng)知識,掌握各 種函數(shù)的圖像特點,理解各種幾何圖形的性質(zhì)。 教師講題時, 要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的具體情況,多角度的觀察和理解問 題,揭示問題的本質(zhì)聯(lián)系,利用“數(shù)”的準(zhǔn)確澄清“形”的 模糊,用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計算,從而來解決問題。 教學(xué)中要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略,通過多渠道來溝通知識 間的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,并及時總結(jié)數(shù)形結(jié)合在解題 中運用的規(guī)律性,來訓(xùn)練學(xué)生的思維能力,提高理解和運用 的水平。只有這樣,不斷提高、深化數(shù)形結(jié)合運用的能力。僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究;不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' etu
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