2020年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講義第二十講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

1、第二十一講圓的有關(guān)概念及性質(zhì)【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】考點(diǎn)一、圓的相關(guān)概念（3分）1、圓的定義在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段oa繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示以點(diǎn)O為圓心的圓記作“。O”，讀作“圓O”考點(diǎn)二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義（3分）（1）弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧?；∮梅?hào)一表示，以A,B為端點(diǎn)的弧記作“

2、能”，讀作“圓弧AB”或“弧AB大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表不）考點(diǎn)三、垂徑定理及其推論（3分）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1:（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：廣過(guò)圓心>垂直于弦直徑<平分弦>知二推三平分弦所對(duì)的優(yōu)弧I平分弦所對(duì)的劣?。┛键c(diǎn)四、圓的對(duì)稱性（3分）1、圓的軸對(duì)稱性圓是軸

3、對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。2、圓的中心對(duì)稱性圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形?？键c(diǎn)五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理（3分）1、圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等?？键c(diǎn)六、圓周角定理及其推論（38分）1、圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)

4、的圓心角的一半。推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】考點(diǎn)一：垂徑定理例1（2019掰山）如圖，OO的半徑OD，弦AB于點(diǎn)C,連結(jié)AO并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)E,連結(jié)EC.若AB=8,CD=2,則EC的長(zhǎng)為（）A.2Ti5B.8C.2VicD.2屈思路分析：先根據(jù)垂徑定理求出AC的長(zhǎng)，設(shè)。O的半徑為r,則可得出r的值，故可得出AE的長(zhǎng)，連接BE,由圓周角定理可知/中，根據(jù)勾股定理即可求出CE的長(zhǎng).解：1

5、.OO的半徑OD，弦AB于點(diǎn)C,AB=8,.AC=1aB=4,2設(shè)。O的半徑為r,則OC=r-2,在RtAOC中，.AC=4,OC=r-2,OC=r-2,由勾股定理即ABE=90,在RtBCE1.OA2=AC2+OC2,即r2=42+（r-2）2,解得r=5,.AE=2r=10,如圖，連接BE,.AE是。O的直徑，/ABE=90,在RtAABE中，.AE=10,AB=8,be=Jae2-AB2=6,在RtABCE中，BE=6,BC=4,'CE=,BE2+BC2=,62+42=2芯.故選D.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.對(duì)應(yīng)訓(xùn)

6、練1. （2019蒲寧）如圖，AB是。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E,且AE=CD=8,/CBAC=-/BOD,則。O的半徑為（）E2A.4&B.5C.4D.3考點(diǎn)二：圓周角定理）例2（2019?自貢）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,并且分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，已知B（8,0）,C（0,6）,則。A的半徑為（）A.3B.4C.5D.8思路分析：連接BC,由90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑，得到BC為圓A的直徑，在直角三角形BOC中，由OB與OC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，即可確定出圓A的半徑.解：如圖，連接BC,/BOC=90,.BC為圓A的直徑，即BC過(guò)圓心A,在RtB

7、OC中，OB=8,OC=6,根據(jù)勾股定理得：BC=10,則圓A的半徑為5.故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解本題的關(guān)鍵.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2. （2019?珠海）如圖，？ABCD的頂點(diǎn)A、B、D在。O上，頂點(diǎn)C在。的直徑BE上,/ADC=54,連接AE,則/AEB的度數(shù)為（）A.36°B.46°C.27°D,63°1.（2019次安）如圖，點(diǎn)A,B,C,在。上，/ABO=32°,/ACO=38°,則/BOC等于（）3.（20197B坊）如圖，OO的直徑BP:AP=1:5,貝UCD的長(zhǎng)為（AB=

8、12,CD是。O的弦,）CDLAB,垂足為P,且A. 4我B. 8亞D,4754.（2019銖蕪）如圖，在。中,A.135°B,122.5°C,115.55.（2019?臨沂）如圖，在OO中，/CBO=45,/CAO=15A.75B.60°C.45,則/AOB的度數(shù)是（D.30°D.BC=2ADC.ADE是等腰三角形ArB已知/OAB=22.5°,則/C的度數(shù)為（）D.112.56. （2019?日照）如圖，在4ABC中，以BC為直徑的圓分別交邊AC、AB于D、E兩點(diǎn),連接BD、DE.若BD平分/ABC,則下列結(jié)論不一定成立的是（）A.BDXA

9、CB.AC2=2AB?AE7. （2019?威海）如圖，CD為。O的直徑，CD±AB,垂足為點(diǎn)F,AO±BC,垂足為點(diǎn)E,AO=1.（1）求/C的大??；（2）求陰影部分的面積.7.解：（1）.CD是圓O的直徑，CDLAB,Ad=Bd,/C=1/AOD,2/AOD=/COE,/C=1/COE,2-.AO±BC,/C=30.(2)如圖，連接OB,由(1)知，/C=30,/AOD=60,，/AOB=120,在RtAAOF中，AO=1,ZAOF=60,.AF=,OF=L22AB=、3,.cc120二1211-1、3.S陰影=S扇形oab-Saoabux一3=-n.3602

10、234【備考真題過(guò)關(guān)】、選擇題1.（2019?廈門(mén)）如圖所示，在。o中，Ab=Ac,/a=30°,則/b=（）B. 75°C. 60°D. 15°D2. （2019?召通）如圖，已知AB、CD是。O的兩條直徑，/ABC=28,那么/BAD=（）A.28°C. 56°D. 84°3. （2019?®江）如圖，AB是。的直徑，/AOC=110°,則/D=（）B.35°D.70°A.25C.55°D6.（2019?蘭州）如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB

11、寬為8cm,水面最深地方的高度為2cm,則該輸水管的半徑為（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cmOO的半徑為（）A.10B.8o8.（2019溫州）在ABC中，/C作?AC,如圖所示.若AB=4,29二23二A.B,C.5D.3BCC為銳角，分別以AB,AC為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)B,A,AC=2,SS2=z，則S3-S4的值是（）C.比D.史447.（201歌州）如圖，AB是。O的直徑，弦CDLAB,垂足為P.若CD=8,OP=3,則9.（2019情通）如圖.RtAABC內(nèi)接于。O,BC為直徑，AB=4,AC=3,D是Ab的4. （2019?!昌）如圖，DC是。直徑，弦ABLCD于F,連接B

12、C,DB,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）a.Ad=BdB.AF=BFC.OF=CFD./DBC=90°4. C5. （2019溫州）如圖，在OO中，OC,弦AB于點(diǎn)C,AB=4,OC=1,則OB的長(zhǎng)是（）A.33B.75C.V15D.7T7中點(diǎn)，CD與AB的交點(diǎn)為E,則CE等于DE10. （2019?樂(lè)山）如圖，圓心在y軸的負(fù)半軸上，半徑為5的。B與y軸的正半軸交于點(diǎn)A（0,1）,過(guò)點(diǎn)P（0,-7）的直線l與OB相交于C,D兩點(diǎn).則弦CD長(zhǎng)的所有可能的整數(shù)值有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D,4個(gè)CD垂直.且/11. C12. （2019汝徽）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓。上的點(diǎn)，在以下

13、判斷中，不正確的是（）A.當(dāng)弦PB最長(zhǎng)時(shí)，APC是等腰三角形B.當(dāng)4APC是等腰三角形時(shí)，POXACC.當(dāng)POLAC時(shí)，/ACP=30D.當(dāng)/ACP=30時(shí)，BPC是直角三角形二、填空題13. （2019?長(zhǎng)家界）如圖，OO的直徑AB與弦BAC=40,貝U/BOD=.14. （2019溫城）如圖，將。O沿弦AB折疊，使Ab經(jīng)過(guò)圓心。，則/OAB=.15. （2019欲化）如圖，在。O中，弦AB垂直平分半徑OC,垂足為D,若。O的半徑為16. （2019琳洲）如圖AB是。O的直徑，/BAC=42°，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，則/DOC的度數(shù)是度.17. （2019渤州）如圖，已知。O的直徑A

14、B=6,E、F為AB的三等分點(diǎn)，M、N為Ab上兩點(diǎn)，且/MEB=ZNFB=60,貝UEM+FN=.18. （2019?廣州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，OP與x軸交于O,A兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,OP的半徑為JT3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.19. （2019褸底）如圖，將直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在圓心。上，斜邊和一直角邊分別與。O相交于A、B兩點(diǎn)，P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)（與A、B不重合），則/APB=.三、解答題20. （2019徐圳）如圖所示，該小組發(fā)現(xiàn)8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內(nèi)的路上，于是他們開(kāi)展了測(cè)算小橋所在圓的半徑的活動(dòng).

15、小剛身高1.6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米，同時(shí)測(cè)得EG的長(zhǎng)為3米，HF的長(zhǎng)為1米，測(cè)得拱tWj（弧GH的中點(diǎn)到弦GH的距離，即MN的長(zhǎng)）為2米，求小橋所在圓的半徑.21. 解：二小剛身高1.6米，測(cè)得其影長(zhǎng)為2.4米，8米高旗桿DE的影子為：12m,測(cè)得EG的長(zhǎng)為3米，HF的長(zhǎng)為1米，.GH=12-3-1=8（m）,.GM=MH=4m,.MN=2m,.GO2=MO2+42,，產(chǎn)=（r-2）2+36,解得：r=5,答：小橋所在圓的半徑為5m.20.（2019微陽(yáng)）在。O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D,連結(jié)CD.（1）如圖1,若點(diǎn)D與圓心O重合，AC=2,求。O的半徑

16、r；（2）如圖2,若點(diǎn)D與圓心O不重合，/BAC=25,請(qǐng)直接寫(xiě)出/DCA的度數(shù).20.解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OELAC于E,圖1圖2則AE=1AC=1X2=1,22翻折后點(diǎn)D與圓心O重合，.OE=Lr,2在RtAAOE中，AO2=AE2+OE2,即r2=12+(1廠)2,2解得r=氈；3(2)如圖2,連接BC,AB是直徑，/ACB=90,/BAC=25,./B=90°-ZBAC=90-25=65°,根據(jù)翻折的性質(zhì)，Ac所對(duì)的圓周角等于Adc所對(duì)的圓周角,./DCA=/B-/A=65-25=40°.21.（2019破陽(yáng)）已知：如圖，AB是。O的弦，OO的半徑為10,OE、OF分別交AB于點(diǎn)E、F,OF的延長(zhǎng)線交。O于點(diǎn)D,且AE=BF,/EOF=60.(1)求證：OEF是等邊三角形；(2)當(dāng)AE=OE時(shí)，求陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號(hào)和兀)21.(1)證明：作OCXAB于點(diǎn)C, .OCXAB,.AC=BC, .AE=BF,EC=FC, .OC±EF,.OE=OF,/EOF=60,.OEF是等邊三角形；(2)解：二在等邊OEF中，/OEF=/EOF=60,AE=OE,A=/AOE=30/AOF=90,.AO=10,OF=10,33.SaofX幽X1