用EXP-函數(shù)法求（2+1）維CD方程的精確解畢業(yè)論文

1、紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）2010年度本科生畢業(yè)論文（設計）用EXP-函數(shù)法求（2+1）維CD方程的精確解院 系: 數(shù)學學院 專 業(yè): 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級: 2006級 學生姓名: 學 號: 200605050248 導師及職稱: 2010年6月2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate EXP-function Method for Solving Exact Solution of CD EquationDepartment: College of MathematicsMajor: Mat

2、hematics and Applied MathematicsGrade: 2006Students Name: Jiang wei liangStudent No.:200605050248Tutor: Ding yu min（Professor）June, 2010畢業(yè)論文（設計）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設計）是我在導師的指導下進行的研究工作及取得的研究成果.據(jù)我所知,除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,本論文（設計）不包含其他個人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果.對本論文（設計）的研究做出重要貢獻的個人和集體,均已在文中作了明確說明并表示謝意. 作者簽名: 日期: 畢業(yè)論文（設計）授權(quán)使用說

3、明本論文（設計）作者完全了解紅河學院有關保留、使用畢業(yè)論文（設計）的規(guī)定,學校有權(quán)保留論文（設計）并向相關部門送交論文（設計）的電子版和紙質(zhì)版.有權(quán)將論文（設計）用于非贏利目的的少量復制并允許論文（設計）進入學校圖書館被查閱.學校可以公布論文（設計）的全部或部分內(nèi)容.保密的論文（設計）在解密后適用本規(guī)定. 作者簽名: 指導教師簽名: 日期: 日期: 摘要 利用指數(shù)函數(shù)展開法并借助Maple軟件，簡捷地獲得了(2+1)維CD方程的許多的新的行波解，包括各種類型的孤立波解和三角函數(shù)周期解,并用Maple畫出幾種典型的波形圖.關鍵詞: (2+1)維CD方程；指數(shù)函數(shù)法；行波解；孤立波解；三角函數(shù)周期

4、解.ABSTRACTIn this paper, with the aids of the mathematic software-Maple ,we briefly obtained many new travalling wave solutions of the (2+1)dimentional CD equation by utilizing exp-function expansion method. All of these solutions include all kinds of soliton-travelling solutions and Periodic Soluti

5、ons of trigonometric functions. As a result,we acquied many typical waveform pictures with the software-Maple.Keywords: (2+1)dimentional CD equation; exp-function expansion method; travalling wave solutions; soliton-travelling solutions; Periodic Solutions of trigonometric functions目錄 第一章 引言4第二章（2+1

6、）維CD方程的精確解22.1指數(shù)函數(shù)法的基本思想32.2 （2+1）維CD方程的求解及對解的變換分析32.2.1（2+1）維CD方程的一般解32.2.2（2+1）維CD方程的精確解4第三章 結(jié)論26參考文獻27致謝28 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計） 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）第一章 引言 以物理及其他學科為背景的微分方程的研究是當代數(shù)學的一個重要組成部分.目前，微分方程研究的主體是非線性偏微分方程，很多自然科學和工程技術問題，最終都歸結(jié)為非線性偏微分方程的研究.近幾十年來，對某些非線性偏微分方程的精確求解獲得了許多有效的方法，如齊次平衡法1、雙曲正切函數(shù)展開法2、試探函數(shù)法3、非線性變換法4

7、、 sine-Cosine法5、 Jacobi橢圓函數(shù)展開法6、混合指數(shù)法7等.然而非線性方程(尤其是非線性偏微分方程)的求解非常困難,而且求解非線性方程沒有也不可能有統(tǒng)一而普遍適用的方法,以上一些方法也只能具體應用于某些非線性方程的求解, 因此繼續(xù)尋找一些有效可行的方法仍是一項十分重要的工作. 方程介紹:由Calogero和Degasperis首先提出的CD方程（破裂孤立子方程） （1-1）是一個重要的非線性偏微分方程，它描述了（2+1）維非線性波方程的長波沿著x軸傳播，黎曼波沿y軸傳播的相互作用.在文獻8中張解放等用齊次平衡法和推廣的Hirota雙曲線方法獲得了破裂孤立子方程一些孤子解，在

8、文獻9中鄭斌用直接約化法得到了方程(1-1)的Backlund變換公式，從而獲得了該方程一些孤子解，在文獻10中高正暉用行波變換和截斷展開法，獲得了方程(1-1)的許多的新行波解。本文利將用指數(shù)函數(shù)方法11-14求(2+1)維CD方程新的精確解. 29第二章（2+1）維CD方程的精確解2.1指數(shù)函數(shù)法的基本思想對于給定的一個非線性偏微分方程(PDE) （2-1）為求方程的精確解,作變換 （2-2）其中為待定常數(shù).將代入方程,可將式行波約化為的常微分方程(ODE) （2-3）設可表示為的有限冪級數(shù),即 （2-4）其中是待定正整數(shù),是待定常數(shù).和的關系的確定,可以通過平衡方程的非線性項和最高階偏導

9、數(shù)項的最高次數(shù)來進行.同理,平衡方程的非線性項和最高階偏導數(shù)項的最低次數(shù),可以得到和的關系.再把和及和取一些特定的值,可將方程的左邊化為的多項式.令的系數(shù)為零,得到相應的代數(shù)方程組,求解這些代數(shù)方程,并將這些結(jié)果代入式便得到方程用表示的行波解的一般形式.2.2 （2+1）維CD方程的求解及對解的變換分析2.2.1（2+1）維CD方程的一般解為了求出（1-1）的行波解，作變換,， （2-5）其中為待定常數(shù).將（2-5）代入（1-1）得： （2-6）在方程（2-6）兩邊對進行積分并化簡得： （2-7)設（2-7）的解可表示為的有限冪級數(shù)，即 ， （2-8）其中是待定正整數(shù)，是待定常數(shù).為了確定和的

10、關系,平衡方程（2-7）中的非線性項和最高階偏導數(shù)項的最高次數(shù)：= （2-9） （2-10）其中是系數(shù).由（2-9）和（2-10）得,即.同樣,為了得到和的關系,平衡方程（2-7）中的非線性項和最高階偏導數(shù)項的最低次數(shù)：= (2-11) (2-12)其中是系數(shù).由（2-11）和（2-12）式，得,得：. 于是，得到（2+1）維CD方程的一般解為： (2-13)2.2.2（2+1）維CD方程的精確解情形I 當和時，由（2-13）式得： = （2-14） 將（2-14）式代入方程（2-7），并借助Maple計算得到： （2-15）其中 ； ；.令的系數(shù)為零，從而得到關于的代數(shù)方程組： 借助Mapl

11、e, 解上述代數(shù)方程得下列4組參數(shù)值： （2-16） （2-17） （2-18） （2-19）(1) 將（2-16）代入（2-14）得到方程的一組行波解：，其中:.當時，則變?yōu)橐粋€孤立波解：，其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(2) 將（2-17）代入（2-14）得到方程的一組行波解：，其中:.當時，可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(3) 將（2-18）代入（2-14）得到方程的一組行波解：,其中:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.又令為任意實數(shù)，則可化為：.(4) 將（2-19）代入（2-14）得到方程的一組行波解：,其中:.令

12、，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.為了使解更形象直觀，能看出解的性態(tài)，利用數(shù)學軟件Maple將幾個典型的波形圖繪制如下： 圖是行波：圖是孤立波：，圖是三角函數(shù)周期解：,.情形 當和時，由（2-13）式得： （2-20）借助Maple,由同樣的方法得到14組參數(shù)值：； （2-21） （2-22） （2-23）； （2-24） (2-25） （2-26） （2-27） （2-28） （2-29） （2-30） （2-31）（2-32） （2-33） （2-34）(5) 將（2-21）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令，則變?yōu)橐粋€孤立波解：

13、,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(6) 將（2-22）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令,則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(7) 將（2-23）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令則可變?yōu)橐粋€孤立波解：，其中:.又令為實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(8) 將（2-24）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(9) 將（2-25）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.(10) 將（2-26）代入（2

14、-20）得到方程的一組行波解： .其中:.(11) 將（2-27）代入（2-20）得到方程的一組行波解：，其中:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(12) 將（2-28）代入（2-20）得到方程的一組行波解：， 其中:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù),則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(13) 將（2-29）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.(14) 將（2-30）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令,則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(15) 將（2-31）代入

15、（2-20）得到方程的一組行波解：, 其中:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：, 其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(16) 將（2-32）代入（2-20）得到方程的一組行波解：其中:.令則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意函數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：(17) 將（2-33）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,.令為任意函數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(18) 將（2-34）代入（2-20）得到方程的一組行波解： , 其中:.同理，用Maple將幾個典型波形圖繪制如下： 圖是行波：，;圖是孤立波：;圖是三角函數(shù)周期波：.情形 令

16、時，由（2-13）式得： （2-35）為了計算簡單，令，借助Maple,由同樣的方法得到21組參數(shù)值： （2-36） （2-37） （2-38） （2-39） （2-40） （2-41） （2-42）（2-43） （2-44） （2-45） （2-46） （2-47） （2-48） （2-49） （2-50） （2-51） (2-52) (2-53） （2-54） (2-55) （2-56）(19) 將（2-36）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(20) 將（2-37）代入（2-35）得到方程的一組行波解： ，其中:.令則可變?yōu)楣铝⒉ń猓?，其?.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角

17、函數(shù)周期解：.(21) 將（2-38）代入（2-35）得到方程的一組行波解：，其中:.令則可變?yōu)楣铝⒉ń猓?其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：(22) 將（2-39）代入（2-35）得到方程的一組行波解： ， 其中:.令則可變?yōu)楣铝⒉ń猓?，其?.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(23) 將（2-40）代入（2-35）得到方程的一組行波解：其中:.(24) 將（2-41）代入（2-35）得到方程的一組行波解：，其中:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：, 其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(25) 將（2-42）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中

18、:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：, 其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(26) 將（2-43）代入（2-35）得到方程的一組行波解： 其中:.(27) 將（2-44）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(28) 將（2-45）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(29) 將（2-46）代入（2-35）得到方程的一組行波解： ,其中:.(30) 將（2-47）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(31) 將（2-48）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(32) 將（2-49）代入（2-35）得到方程的一組行波解： 其中:.(33)

19、 將（2-50）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.令則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(34) 將（2-51）代入（2-35）得到方程的一組行波解： , 其中:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(35) 將（2-52）代入（2-35）得到方程的一組行波解：/ 其中:.令則可變?yōu)橐粋€孤立波解： , 其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：(36) 將（2-53）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.令則可變?yōu)橐粋€孤立波解： ,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解

20、：.(37) 將（2-54）代入（2-35）得到方程的一組行波解：其中:.令，則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解： (38) 將（2-55）代入（2-35）得到方程的一組行波解： 其中:.令則可變?yōu)橐粋€孤立波解：其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：.(39) 將（2-56）代入（2-35）得到方程的一組行波解： ,其中:.令則可變?yōu)橐粋€孤立波解：,其中:.令為任意實數(shù)，則可變?yōu)橐粋€三角函數(shù)周期解：同理，用Maple將幾個典型波形圖繪制如下： 圖行波：圖孤立波：圖周期波：.第三章 結(jié)論本文利用函數(shù)法,簡捷、方便的得到了方程的行波解，用該方法求出的

21、行波解具有一般性,包括各種孤波解和三角函數(shù)周期解.本文主要結(jié)果如下:1.利用-函數(shù)法得到了(2+1)維CD方程的一般解;2.將所得到的一般解利用三角變換化簡、分析、討論,從而得到了方程的各種精確解;3. 利用軟件畫出了幾種典型的波形圖,這樣更形象直觀地看出本文所得解的性態(tài).本文對非線性(2+1)維CD方程的解只就文中所列三種情形進行了研究.對CD方程的求解研究還有許多的工作要做，作者擬在今后對此問題進行更深的研究,以期得到非線性(2+1)維CD方程的更豐富、更完美的解. 紅河學院本科畢業(yè)論文（設計）參考文獻1 丁雙雙，孫維君.累次齊次平衡法及其應用J.數(shù)學的實踐與認識,2008,38(12):

22、127-135.2 王家玉.一類非線性發(fā)展方程的精確解J.濰坊學院學報,2008,8(6):8890.3 劉法貴,魏凱.廣義KDV-MKDV方程的精確解J.華北水利水電學院學報,2009,30(5):9899.4 楊瓊芬.非線性方程Klein-Gordon新的行波解J.綿陽師范學院學報,2009,28(5):1519.5 熊莉,張健.廣義(3+1)維立方Schrodinger方程新的精確解J.四川師范大學學報（自然科學報），2009,32（1）:3638.6 高娃,長龍.廣義隨機KP方程的橢圓周期解J.數(shù)學的實踐與認識,2008,38(24):219224.7 張善卿.簡化的混合指數(shù)方法及其應

23、用J.杭州電子科技大學報,2007,27(2):4548.8 張解放，郭冠平.（2+1）維破裂孤子方程的新多孤子解J.物理報,2003,52(10):2359-2362.9 鄭斌.破裂孤子方程的新孤子解J.量子電子學報,2006,23(4):451-455.10 高正暉.(2+1)維CD方程的精確行波解J.科學技術與工程學報，2009,9（8）：21222133.11 丁玉敏,冀小明.利用函數(shù)展開法求 波方程的精確解J.西南民族大學學報(自然科學版),2007,34(1):2026. 12 趙云梅，芮偉國.用EXP-函數(shù)法求Equal Width波方程的精確解J.河南科技大學學報，自然科學版，

24、2008，29（2）：1672-6871.13 蔣永清,吳玉紅.利用指數(shù)函數(shù)法求解變系數(shù)KdV方程J.紹興文理學院學報,2007,27(10):4953.14 鄭珊.廣義PC方程的孤立波解J.內(nèi)江師范學院學報.2008,23(8):1921.致謝 在本文的完成過程中，我的導師丁玉敏老師一直在耐心的教導我，幫助我.他嚴肅的科學態(tài)度,嚴謹?shù)闹螌W精神,精益求精的工作作風,深深地感染和激勵著我.從課題的選擇到論文的最終完成,丁老師都始終給予我細心的指導和不懈的支持.在這過程中,不僅使我接受了新的思想觀念,樹立了明確的目標,領會了基本的思考方式,而且還使我明白了許多待人接物與為人處世的道理.正是由于他在

25、百忙之中多次審閱和指導,對一些細節(jié)進行修改,并為本文的撰寫提供了許多寶貴的意見,本文才得以成型. 在此特向丁老師致以衷心的謝意！向他無可挑剔的敬業(yè)精神、嚴謹認真的治學態(tài)度、深厚的專業(yè)修養(yǎng)和平易近人的待人方式表示深深的敬意！同時,四年來,我的領導、師長及同學給予我許多關心和幫助,使我終生受益,我也真心地感謝他們.內(nèi)部資料，請勿外傳！9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#XuyUP2kNXpRWXmA&UE9aQGn8xp$R#͑GxGjqv$UE9wEwZ#QcUE%&qYpEh5pDx2zVkum&g

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