2015年高考數(shù)學真題分類匯編：專題03導數(shù)文科及答案

1、2015年高考數(shù)學真題分類匯編專題03導數(shù)文_TT1.12015高考福建，文12“對任意xw(0,J),ksinxcosx<x”是“k<1”的()2A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】Bkk一.【解析】當k<1時，ksinxcosx=sin2x,構造函數(shù)f(x)=-sin2x-x,則22f'(x)=kcos2x-1<0.故f(x)在xw(0,三)單調遞增，故f(x)<f(三)=三c0,則2221.ksinxcosxcx；當k=1時，不等式ksinxcosx<x等價于一sin2x<x,構造函數(shù)2

2、.1.一,g(x)=-sin2xx,則g(x)=cos2x1<0,故g(x)在x=(0,)遞增，故22,、，n、n_._一.一一.一一n、g(x)<g(一)=-一<0,則sinxcosxcx.綜上所述，“對任意x=(0,一)，222ksinxcosx<x"是"k<1”的必要不充分條件，選b.【考點定位】導數(shù)的應用.【名師點睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查三角函數(shù)和導數(shù)在單調性上的應用，根據(jù)已知條件構造函數(shù)，進而研究其圖象與性質，是函數(shù)思想的體現(xiàn)，屬于難題.2.12015高考湖南，文8】設函數(shù)f(x)=ln(1+x)ln(1x),則

3、3;(刈是()A,奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B,奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C,偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D,偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)【答案】A【解析】函數(shù)f(x)=ln(1+x)ln(1x),函數(shù)的定義域為(-1,1),函數(shù)111f(x)=ln(1x)-ln(1+x)=f(x)所以函數(shù)是奇函數(shù).f'(x)=+=2,1x1-x1-x在(0,1)上f'(x)>0，所以f(x)在(0,1)上單調遞增，故選A.【考點定位】利用導數(shù)研究函數(shù)的性質【名師點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)f(x)在(a,b)內的單調性的步驟：(1)求f'(x)；(2)確認f

4、9;(x)在(a,b)內的符號；(3)作出結論：f'(x)A0時為增函數(shù)；f'(x)<0時為減函數(shù).研究函數(shù)性質時，首先要明確函數(shù)定義域3.12015高考北京，文8】某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為（）A.6升B.8升C.10升D.12升【答案】B【解析】因為第一次郵箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內的耗油量，故耗油量V=48升.而這段時

5、間內行駛的里程數(shù)S=3560035000=600千米.所以這段時間內，該車每100千米平均耗油量為膽乂100=8升，故選B.600【考點定位】平均變化率.【名師點晴】本題主要考查的是平均變化率，屬于中檔題.解題時一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否則很容易出現(xiàn)錯誤.解此類應用題時一定要萬分小心，除了提取必要的信息外，還要運用所學的數(shù)學知識進行分析和解決問題.4.12015高考新課標1,文14已知函數(shù)f（x）=ax3+x+1的圖像在點（1,f（1）的處的切線過點（2,7），則a=.【答案】1【解析】試題分析：.f（x）=3ax2+1,f'（1）=3a+1,即切線斜率k=3a+

6、1,a2-n一一又f（1）=a+2,.切點為（1,a+2）,二.切線過（2,7）,a27=3a+1,解得a=1.1-2考點：利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線；常見函數(shù)的導數(shù)；【名師點睛】對求過某點的切線問題，常設出切點，利用導數(shù)求出切線方程，將已知點代入切線方程得到關于切點橫坐標的方程，解出切點的橫坐標，即可求出切線方程，思路明確，關鍵是運算要細心.5.12015高考天津，文11】已知函數(shù)f（x）=axlnx,xw（0,十比），其中a為實數(shù)，fx）為f(x)的導函數(shù)，若f'(1)=3，則a的值為.【答案】3【解析】因為f'(x)=a(1+lnx),所以f'(1)=a=3.

7、【考點定位】本題主要考查導數(shù)的運算法則.【名師點睛】本題考查內容單一，求出f'(x)=a(1+lnx)由，再由f'(1)=3可直接求得a的值，因此可以說本題是一道基礎題，但要注意運算的準確性，由于填空題沒有中間分，一步出錯，就得零分，故運算要特別細心.6.12015高考陜西，文15函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為.1答案y-'e1【斛析】y=f(x)=xe=f(x)=(1十x)e，令f(x)=0=x=-1,此時f(一1)=一一e1函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為y=-e【考點定位】：導數(shù)的幾何意義.【名師點睛】1.本題考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究曲線上某

8、點處切線方程等基礎知識，考查運算求解能力.2.解決導數(shù)幾何意義的問題時要注意抓住切點的三重作用：。1切點在曲線上；C2切點在切線上；。3切點處導函數(shù)值等于切線斜率.7.12015高考安徽，文21】已知函數(shù)f(x)=ax2(a>0,r>0)(xr)(I)求f(x)的定義域，并討論f(x)的單調性；(n)若a=400,求f(x)在(0,十£)內的極值.r【答案】(I)遞增區(qū)間是(-，)；遞減區(qū)間為(-巴-r)和(r,+8)；(n)極大值為100；無極小值.【解析】(I)由題意可知x#r所求的定義域為°°，lr)(-,+*).f(x)=ax(xr)2_axx

9、22xrr2f(x)=a(x22xrr2)-ax(2x2r)a(r-x)(xr)(x22xrr2)2(xr)4所以當x<-r或x>r時，f'(x)<0,當-r<x<r時，f*(x)>0因此，f(x)單調遞減區(qū)間為(_«,_r),(r,+oc)；f(x)的單調遞增區(qū)間為(r,r).(n)由(I)的解答可知f'(r)=0f(x)在(0,r)上單調遞增，在(r,y)上單調遞減.因此x=r是f(x)的極大值點，所以f(x)在(0,)內的極大值為,ara400f(r)=2=一=100,f(x)在(0,一)內無極小值；2r4r4綜上，f(x)在

10、(0,依)內極大值為100,無極小值.【考點定位】本題主要考查了函數(shù)的定義域，利用導數(shù)求函數(shù)的單調性，以及求函數(shù)的極值等基礎知識.【名師點睛】本題在利用導數(shù)求函數(shù)的單調性時要注意，求導后的分子是一個二次項系數(shù)為負數(shù)的一元二次式，在求f(x)A0和f'(x)<0時要注意，本題主要考查考生對基本概念的掌握情況和基本運算能力.2x8.12015局考北東，又19】(本小題滿分13分)設函數(shù)fx)=klnx,k>0.2(I)求f(x)的單調區(qū)間和極值；(ii)證明：若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1,jei上僅有一個零點.【答案】(I)單調遞減區(qū)間是(0,疝),單調遞增區(qū)間是(

11、Jk,十口)；極小值f(、k)=k(1Tnk)；(II)證明詳見解析.2【解析】試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷困數(shù)的單調性*利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值、均數(shù)零點問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力,轉化能力、計算能力.CI)先對了(句求導，令/(力=。解出工,將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調性，所以由表格知當工二五時，函數(shù)取得極小值，同時也是最小值f(ID利用第一問的表；知/1袤為函救的最小值，如果函數(shù)有零點，只需最小值網(wǎng).奴工0,從而解出下面再分情況分析附數(shù)有幾個零點.2試題解析：(I)由外芯)二丁一婦H,3匚>0)得f'kf(x)=x-x-

12、k由f'(x)=0解得x=Vk.,一'.f(x)與f(x)在區(qū)間(0,F上的情況如下:X(O,y/k)力+,8k(l-lnk)2*/所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,Jk),單調遞增區(qū)間是Qk,y);f(x)在x=、'k處取得極小值f(4k)=K9一巴2.2(n)由(I)知，f(x)在區(qū)間(0,+9)上的最小值為f(五);k(1Tnk).2因為f(x)存在零點，所以k(1Tnk)M0,從而kie.2當k=e時，f(x)在區(qū)間(1,Je)上單調遞減，且f(%；e)=0,所以x=%；e是f(x)在區(qū)間(1,xe上的唯一零點.當ke時，f(x)在區(qū)間(0,e)上單調遞減，且

13、f(i)=1>0,f(w'e)=e-k<0,22所以f(x)在區(qū)間(1川e上僅有一個零點.綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1Ae上僅有一個零點.考點：導數(shù)的運算，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)零點問題【名師點晴】本題主要考查的是導數(shù)的運算，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值和函數(shù)的零點，屬于難題.利用導數(shù)求函數(shù)f(x)的單調性與極值的步驟：確定函數(shù)f(x)的定義域；對f(xX導；求方程f'(x)=0的所有實數(shù)根；列表格.證明函數(shù)僅有一個零點的步驟：用零點存在性定理證明函數(shù)零點的存在性；用函數(shù)的單調性證明函數(shù)零點的唯一

14、性.9.12015高考福建，文22已知函數(shù)f(x)=lnx(x二22(I)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;(n)證明：當x>1時，f(x)<x1；(出)確定實數(shù)k的所有可能取值，使得存在x0>1,當xw(i,x0)時，恒有f(xk(x1).【答案】(i)b上署j；(n)詳見解析；(出)(Q,1).1-x2x1-【斛析】(I)f(x)=x+1=,xW(0,y).xxx015由以)>0得«2解得0<x<-5.一xx102(1+、匕、故f(x)的單調遞增區(qū)間是0L*.2J(II)令F(x)=f(x)_(x-1),xw(0,").“1-x2則有F(

15、x尸.x當xW(1,+=c)時，F(xiàn)x)<0,所以F(x近I1,")上單調遞減，故當x>1時，F(xiàn)(x)cF(1)=0,即當x>1時，f(x)<x1.(III)由(II)知，當k=1時，不存在x0>1滿足題意.當k>1時，對于x>1,有f(x)<x-1<k(x-1),則f(x)<k(x-1),從而不存在x0>1滿足題意.當k<1時，令G(x)=f(x)k(x1),xw(0,+=c),nt.1-x1-kx1則有Gx=-x1-k=:xx由G'(x)=0得，x2+(1k)x+1=0.1-k-1-k41-k1-k4解

16、得x1二用<0,x2=世>1.22當xw(1,X2對,GH(x)>0,故G(x)在1,X2)內單調遞增.從而當xw(1,x2)時，G(x)>G(1)=0,即f(x)>k(x-1),綜上，k的取值范圍是(-0°,11【考點定位】導數(shù)的綜合應用.【名師點睛】利用導數(shù)判斷或求函數(shù)的單調區(qū)間，通過不等式f'(x)>0或f'(x)<0求解，但是要兼顧定義域；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再用單調性來證明不等式是函數(shù)，導數(shù)，不等式綜合中的一個難點，解題技巧是構造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性或最值，從而證得不等式，注意

17、f(x)Ag(x)與f(x)min>g(x)max不等價，f(x)min>g(x)max只是f(x)Ag(x)的特例，但是也可以利用它來證明，在2014年全國I卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導數(shù)的強大功能就是通過研究函數(shù)極值，最值，單調區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù).10.12015高考廣東，文21(本小題滿分14分)設a為實數(shù)，函數(shù)2f(x)=(xa)+x-a-a(a-1).(1)若f(0尸1,求a的取值范圍；(2)討論f(x)的單調性；4_(3)當a至2時，討論f(x)+在區(qū)間(0,七力)內的零點個數(shù).1【答案】(1

18、)i-ool；(2)f(x)在(a,收)上單調遞增，在(,a)上單調遞減；(3)當a=2,2一，一44時，f(x)+一有一個零點x=2；當a>2時，f(x)+一有兩個零點.xx【解析】試題分析：(1)先由f(0)<1可得|a|+aM1,再對a的取值范圍進行討論可得忖|+aE1的解，進而可得a的取值范圍；(2)先寫函數(shù)f(x)的解析式，再對a的取值范圍進行討論確定函數(shù)f（x廣勺單調性；（3）先由（2）得函數(shù)f（x）的最小值，再對a的取值范圍進行討論確一4一定f（x）+在區(qū)間（0,收）內的零點個數(shù).試題解析：（1）f（0）=a2+間a2+a=當aw0時，0W1,顯然成立；當a>0

19、,綜上所述，a的取值范圍是11.,222.x-（2a-1X,x>a（2）f（x）=,2'"x一（2a+1）x+2a,x<a對于u1=x2-（2a-1x,其對稱軸為x=所以f（x）在（a,+s）上單調遞增；2對于u1=x（2a+1x+2a,其對稱軸為所以f（x）在（-g,a）上單調遞減.a|+a,因為f(0®,所以|a|+a«1,.一，11則有2aE1,所以a<-.所以0<aW.222a-11=a<a,開口向上,222a11x=a+->a,開口向上,22綜上所述，f（x）在（a,）上單調遞增，在（-0o,a）上單調遞減.(

20、3)由(2)得f(x)在(a,y)上單調遞增，在(0,a)上單調遞減，所以2f(x)min=f(a)=a-a.r2-一-x23xx之2(i)當a=2時，f(x)min=f(2)=2,f(x)=2,、x5x+4,x<2人44一令f(x)+-=0,即f(x)=(xA0).xx因為f(x)在(0,2)上單調遞減，所以f(x)>f(2)=2.44.、.而y=在(0,2)上單調遞增，y<f(2)=2,所以y=f(x)與y=在(0,2)無交點.xx當x之2時，f(x)=x2-3x=,即x3-3x2+4=0,所以x32x2x2+4=0,所x24_以(x2f(x+1)=0,因為x22,所以x

21、=2,即當a=2時，f(x)+一有一個零點x=2.x(ii)當a>2時，f(x)min=f(a)=aa2,當xw(0,a)時，f(0)=2a>4,f(a)=aa2,而y=,在xw(0,a)上單調遞增,x一44當x=a時，y=_-.下面比較f(a)=aa與的大小aa因為a-a2-(a3-a2-4)-(a-2)(a2a2)M=：0一,o4所以f(a)=a-aa4結合圖象不難得當aa2時，y=f(*)與y=有兩個交點.x44綜上所述，當a=1【答案】(I)f(x)=-(e-e),g(x)=-(e+e).證明：當x>0時，e>1,0<e<1,2時，f(x)十一有一個

22、零點x=2；當a>2時，f(x)十一有兩個零點.xx考點：1,絕對值不等式；2,函數(shù)的單調性；3,函數(shù)的最值；4,函數(shù)的零點.【名師點晴】本題主要考查的是絕對值不等式，函數(shù)的單調性，函數(shù)的最值和函數(shù)的零點，屬于難題.零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區(qū)間，去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每段結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值.判斷函數(shù)的單調性的方法：基本初等函數(shù)的單調性；導數(shù)法.判斷函數(shù)零點的個數(shù)的方法：解方程法；圖象法.11.12015高考湖北，文21】設函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，xf(x)+g(x)=e,其中

23、e為自然對數(shù)的底數(shù).(I)求f(x),g(x)的解析式，并證明：當x>0時，f(x)>0,g(x)>1;(n)設a<0,b>1,證明：當x>0時，ag(x)十(1a)<f(x)<bg(x)十(1b).x故f(x)0.1又由基本不等式，有g(x)=-(e+e-)>Jee-=1,即g(x)>1.(n)由(I)得x.1x1.1xe1x_xf(x)=z(e)=(e+x)=7(e+e)=g(x)2e2e2x.1 x1.1xe1x_xg(x)=(e+)=(e-2T)=(e-e)=f(x)2e2e2當x>0時，Ux2>ag(x)+(1a

24、)等價于f(x)>axg(x)十(1a)x_L(2<bg(x)十(1b)等價xx于f(x)<bxg(x)+(1-b)x.于是設函數(shù)h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x,由，有h(x)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1一c)=(1一c)g(x)-1-cxf(x).當x>0時，(1)若cW0,由，得h(x)0,故h(x)在0,yc)上為增函數(shù)，從而h(x)h(0)=0,即f(x)>cxg(x)+(1-c)x,故成立.(2)若c至1,由，得h'(x)<0,故h(x)在0,書C)上為減函數(shù)，從而h(x)<h(0)=0,f(x)即f(x

25、)<cxg(x)+(1c)x,故成立.綜合，得ag(x)+(1-a)<<bg(x)+(1-b).x(解析】(I)由73,式K)的奇偶性及/3+式工)=得一汽琦+g=門.聯(lián)立解得/W=厚-干。，式砧二柒+廣當工0時，F(xiàn)1,0e-*1,故又由基本不等式，有=:1,即巨(幻.®11)由(1)得一付=*37+；)，t十°氣rq羯一盧*-&七AD111七普1乳工”l(e*+ly=i(e47)=i(e-Af，pq有11得x.七二Dq當工0B寸，四口)+0-a)等價于；5式0,、1-0女，x以絲+(1-8)等價于/(:)蜒+1-5比®X設函數(shù)貼/口)-

26、£花(工)一(1-6,由，有萬=式工)港一8。)-。一0他出一1一爾儂一當”0時3(1)若由得才付:0,故方在H功上為增函數(shù)：從而3沖川。”0,即/3咚+。-加，故成立(2)若C”由得打?！?,時G)在兇產(chǎn))上為減函數(shù)，從而貼”雙o)h,即fa”蟀出+。-木，故成立綜合勤得速a)+(i-&K幽4姐+。-辦X【考點定位】本題考查函數(shù)的奇偶性和導數(shù)在研究函數(shù)的單調性與極值中的應用，屬高檔題【名師點睛】將函數(shù)的奇偶性和導數(shù)在研究函數(shù)的單調性與極值中的應用聯(lián)系在一起，重點考查函數(shù)的綜合性，體現(xiàn)了函數(shù)在高中數(shù)學的重要地位，其解題的關鍵是第一問需運用奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義及性質建立方程組進

27、行求解；第二問屬于函數(shù)的恒成立問題，需借助導數(shù)求解函數(shù)最值來解決.12.12015高考山東，文20】設函數(shù)一已知曲線在點(1,f(1)處的切線與直線-平行.(I)求a的值；(n)是否存在自然數(shù)k,使得方程錯誤！未找到引用源。在(k,k+1)內存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；(出)設函數(shù)錯誤！未找到引用源。(minp,q表示，p,q中的較小值)，求m(x)的最大值.4【答案】a=1；(II)k=1；(ill).e【解析】(I)由題意知，曲線在點(1,f(1)處的切線斜率為2,所以f'(1)=2,a又f(x)=lnx+1,所以a=1.x(II)k=1時，方程f(x)

28、=g(x)在(1,2)內存在唯一的根.2設h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)lnx與，e當xW(0,1時，h(x)<0.-44又h(2)=3ln2-2=ln8-211=0,ee所以存在W(12),使h(xo)=0.1x(x-2)一.1因為h'(x)=lnx+1+x，所以當x=(1,2)時，h'(x)A1>0,當x=(2,十元)時，xeeh'(x)>0,所以當xW(1,)時，h(x)單調遞增.所以k=1時，方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內存在唯一的根(III)由(11)知，方程f(x)=g(x)在(1,2)內存在唯一的根,且xw(0,x0)

29、時,工(x1)lnx,x(0,xof(x)<g(x),xw(x°,+)時，f(x)Ag(x),所以m(x)=x2x，x(xo,二)e當xw(0,%)時，若xw(0,1,m(x)<0;1右x二(1,x0),由m'(x)=lnx+1>0,可知0<m(x)<m(x0);故m(x)<m(x0).x當xw(x0,y)時，由m'(x)=x(2xx)，可得x"(x0,2)時,m'(x)a0,m(x)單調遞增；exw(2,+)時,m'(x)<0,m(x)單調遞減；4可知m(x)<m(2)=，且m(x0)<

30、m(2).e八，一,，一，一，4綜上可得函數(shù)m(x)的最大值為-2.e【考點定位】1.導數(shù)的幾何意義；2.應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，最值；3.函數(shù)零點存在性定理.【名師點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，應用導數(shù)研究函數(shù)的性質，函數(shù)零點存在性定理等，解答本題的主要困難是(II)(III)兩小題，首先是通過構造函數(shù)，利用函數(shù)零點存在性定理，作出判斷，并進一步證明函數(shù)在給定區(qū)間的單調性，明確方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內存在唯一的根.其次是根據(jù)(II)的結論，確定得到m(x)的表達式，并進一步利用分類討論思想，應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，最值.本題是一道能力題，屬于難題.在考查導數(shù)的幾何意義，

31、應用導數(shù)研究函數(shù)的性質，函數(shù)零點存在性定理等基礎知識的同時，考查考生的計算能力，應用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力及分類討論思想.本題是教輔材料的常見題型，有利于優(yōu)生正常發(fā)揮13.12015高考四川，文21已知函數(shù)f(x)=-2lnx+x2-2ax+a：其中a>0.(I)設g(x)為f(x)的導函數(shù)，討論g(x)的單調性；(n)證明：存在ae(0,1),使得f(x)>0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1,)內有唯一解.【解析】(I)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8)g(x)=f'(x)=2(x-1-lnx-a)22(x-1)所以g(x)=2=-xx當xC(0,1)時，

32、g'(x)<0,g(x)單調遞減當xC(1,+8)時，g(x)>0,g(x)單調遞增(n)由f'(x)=2(x1lnxa)=0,解得a=x1Inx令(x)=2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1lnx)2=(1+lnx)22xlnx則(1)=1>0,(e)=2(2e)<0于是存在xc(1,e),使得(x。)=0令a°=x°1lnx0=u(x°),其中u(x)=x-1-lnx(x>1)由u'(x)=11>0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1,+8)上單調遞增x故0=u(1)va0=u(x°)v

33、u(e)=e2v1即aoC(0,1)當a=a0時，有f'(x0)=0,f(x°)=(x°)=0再由(I)知，f'(x)在區(qū)間(1,+8)上單調遞增當xC(1,x°)時，f'(x)<0,從而f(x)>f(x0)=0當xC(x0,+8)時，f(x)>0,從而f(x)>f(x0)=02又當xC(0,1時，f(x)=(xa°)2xlnx>0故x(0,+8)時，f(x)>0綜上所述，存在aC(0,1),使得f(x)>0恒成立，且f(x)=0在區(qū)間(1,+8)內有唯一解.【考點定位】本題主要考查導數(shù)的

34、運算，導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，函數(shù)的零點等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程，數(shù)形結合，化歸與轉化等數(shù)學思想.【名師點睛】本題第(I)問隱藏二階導數(shù)知識點，由于連續(xù)兩次求導后，參數(shù)a消失，故函數(shù)的單調性是確定的，討論也相對簡單.第(n)問需要證明的是：對于某個a(0,1),f(x)的最小值恰好是0,而且在(1,+8)上只有一個最小值.因此，本題仍然要先討論f(x)的單調性，進一步說明對于找到的a,f(x)在(1,+8)上有且只有一個等于0的點，也就是在(1,十°°)上有且只有一個最小值點.屬于又!題.14.12015高考天津，文20】(本小題

35、滿分14分)已知函數(shù)f(x)=4x-x4,x?R,(I)求f(x)的單調區(qū)間(II)設曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為P,曲線在點P處的切線方程為y=g(x),求證：對于任意的正實數(shù)x,都有f(x)£g(x);1(川)若方程f(x)=a(a為實數(shù))有兩個正實數(shù)根x1,x2，且x1<x2，求證：x2-x,<-9+43.3【答案】(I)f(x)的單調遞增區(qū)間是(口,1),單調遞減區(qū)間是(1,十無)；(II)見試題解析；(III)見試題解析.【解析】(I)由f(x)=4-4x3，可得f(x)的單調遞增區(qū)間是,1)，單調遞減區(qū)間是(1,);(II)g(x)=f'(x。

36、Xxx。)，F(xiàn)(x)=f(x)-g(x),證明F(x)在(血內)單調遞增，在評調遞減，所以對任意的實數(shù)x,F(x)WF(xo)=O,對于任意的正實數(shù)x,都有1af(x)£g(x);(III)設萬程g(x)=a的根為x?，可信x2=一彳2+43,由g(x)在單調遞減，得g(x2瘴f(x2產(chǎn)a=g(x2'),所以x2<x2.設曲線y=f(x)在原點處的切線為y=h(x),方程h(x)=a的根為x；,可得x；=a,由h(x)=4x在在4(3,收)單調遞增，且h(x；)=a=f(x1)Mh(x1),可得x；Mx1,所以1a3x2-x1=x2-x1=-343.試題解析：(I)由f

37、(x)=4x-x4,可得f位)=4-4x3，當f'(x)a0，即x<1時，函數(shù)f(x)單調遞增；當f'(x)<0,即x>1時，函數(shù)f(x)單調遞減.所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(-°0,1)，單調遞減區(qū)間是(1,+8).1(II)設P(x0,O)，則x0=43,f'(xo)=12,曲線y=f(x)在點P處的切線方程為y=f'(x°卜-),即g(x)=f'(x。Xx-x0),令F(x)=f(x)-g(x)即F(x)=f(x)-f'(x)x-x)則F'(x尸f'(x)-f'(x).由于

38、f位)=4-4x3在(-«,y)單調遞減，故F'(x)在(，單調遞減，又因為F'(Xo)=0,所以當XW(-°o,Xo)時，F(xiàn)'(x)>0,所以當xw(%,+=c)時，F(xiàn)'(x)c0,所以F(x)在(3,X0)單調遞增，在(x0,y)單調遞減，所以對任意的實數(shù)x,F(x)WF(x0)=0,對于任意白正實數(shù)x,都有f(x)£g(x).i、i(III)由(II)知g(x)=12x4弓,設方程g(x)=a的根為x；，可得x2'=2+4%<J12因為g(x而(q*)單調遞減，又由(II)知9汽2后f(x2)=a=g(x2

39、),所以x；Wx；.類似的，設曲線y=f(x)在原點處的切線為y=h(x),可得h(x)=4x,對任意的4xw(-00,依)，有f(x)h(x)=x<0即f(x產(chǎn)h(x).設萬程h(x)=a的根為x1,可得x;=a,因為h(x)=4x在(-oo，-)單調遞增，且h(x；)=a=f(x1h(x1),因a1此，x1<x1,所以x2-x1<x2-x1=一§+43.【考點定位】本題主要考查導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的應用.考查函數(shù)思想，化歸思想及綜合分析問題解決問題的能力【名師點睛】給出可導函數(shù)求單調區(qū)間，實質是解關于導函數(shù)的不等式，若函數(shù)解析式中不含參數(shù)，一般比較容易.不過要注

40、意求單調區(qū)間，要注意定義域優(yōu)先原則，且結果必須寫成區(qū)間形式，不能寫成不等式形式；利用導數(shù)證明不等式是近幾年高考的一個熱點，解決此類問題的基本思路是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值破解.15.12015高考新課標1,文21(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)=e2x-alnx.(I)討論f(x)的導函數(shù)f'(x)的零點的個數(shù)；2(II)證明：當a>0時f(x)之2a+aln.a【答案】(I)當a£0時，fx)沒有零點；當a>0時，f欽)存在唯一零點.(II)見解析【解析】試題分析：(I)先求出導函數(shù)，分2£0與2>0考慮f'(x)

41、的單調性及性質，即可判斷出零點個數(shù)；(II)由(I)可設f(x)在(0,+¥)的唯一零點為小,根據(jù)f<x)的正負，即可判2a+aln-,即證明了所a定函數(shù)的圖像與性質，求出函數(shù)的最小值，即可證明其最小值不小于證不等式.試題解析：(I)f(x)的定義域為(0,+¥),fx)=2e2x-(x>0).當a£0時，f(x)>0,f版)沒有零點;當a>0時，因為e2x單調遞增，-a單調遞增，所以f(x)在(0,+¥)單調遞增.又f(a)>0,當b滿足0<b<9且b<1時，f(b)<0,故當a>0時，f(x

42、)存在唯一零點.44(II)由(I),可設f霰)在(0,+¥)的唯一零點為x0,當x?(0,%)時，f錢)<0;當xgf(x0,+)時，f4x)>0.故f(x)在(0,M)單調遞減，在(x0,+¥)單調遞增，所以當x=xg時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).2aln一.a2xaa2由于2e=0,所以f(x0)=+2ax0+aIn-?2ax2x0a2故當a>0時，f(x)?2aaln.a考點：常見函數(shù)導數(shù)及導數(shù)運算法則；函數(shù)的零點；利用導數(shù)研究函數(shù)圖像與性質；利用導數(shù)證明不等式；運算求解能力.【名師點睛】導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點和熱點，解決此類

43、問題，要熟練掌握常見函數(shù)的導數(shù)和導數(shù)的運算法則，掌握通過利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值研究函數(shù)的圖像與性質.對函數(shù)的零點問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質，畫出函數(shù)圖像草圖，結合圖像處理；對恒成立或能處理成立問題，常用參變分離或分類討論來處理16.12015高考浙江，文20(本題滿分15分)設函數(shù)f(x)=x2+ax+b,(a,bwR).2a(1)當b=+1時，求函數(shù)f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表達式；4(2)已知函數(shù)f(x)在-1,1上存在零點，0Eb2aE1,求b的取值范圍2aa-+a+2,a<-2,4廠【答案】(1)g(a)=<1,-2<a<2,；(2)-3,9-4752-a+2,a>2,4(1)將函數(shù)進行配方，利用對稱軸與給定區(qū)間的位置關系，通過分類討論確定函數(shù)在給定上的最小值，并用分段函數(shù)的形式進行表示；(2)設定函數(shù)的零點，根據(jù)條件表示兩個零點之間的不等關系，通過分類討論，分別確定參數(shù)b的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)b的取值范圍2試題解析：(1)當b=a-十1時，f(x)=(x+a)2+1,故其對稱軸為42.a2當aw2時，g(a)=f(1)=+a+2.4a當2<aE2時，g(a)=f(a)