概念教學(xué)的想法

1、初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的想法 李瑤紅數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著極其重要地位。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的主要目的是：使學(xué)生認(rèn)識概念和意義，性質(zhì)及相互關(guān)系，明確概念的內(nèi)涵和外延，牢固掌握概念，使學(xué)生逐步獲得分析和概括能力，養(yǎng)成正確的邏輯思維，進(jìn)一步將學(xué)得的概念運(yùn)用于實(shí)際，解決實(shí)際問題。所以我認(rèn)為概念教學(xué)有三個組成部分。即概念的引、概念的鞏固和應(yīng)用概念解決實(shí)際問題。正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提，是解題的關(guān)鍵。概念不清就不能使定理、性質(zhì)、法則得到正確的運(yùn)用。一、 概念的引入。我們知道：數(shù)學(xué)概念，是主客觀事物的空間形式，數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映。各種數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展有各種不同的途徑。在教學(xué)上力求

2、形象化，聯(lián)系學(xué)生熟悉的事物從實(shí)例和已有知識出發(fā)引入新概念。1、 從學(xué)生所熟悉的生活中的實(shí)例、實(shí)物、模型教具等引入。數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，服務(wù)于現(xiàn)實(shí)又高于現(xiàn)實(shí)。對于中學(xué)數(shù)學(xué)概念的具體內(nèi)容，中學(xué)生在生活和學(xué)習(xí)過程中或多或少都有過接觸。如教學(xué)“數(shù)軸”概念，先舉幾個生活中的實(shí)例：（1）用稱桿上的“點(diǎn)”表示物體的重量。（2）用溫度計上的“點(diǎn)”表示溫度它們都有三要素，度量的起點(diǎn)，度量的單位，明確的增減方向。再從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，從而建立起新的概念。再如：學(xué)習(xí)“直角坐標(biāo)系”，先提出“人們到影院看電影是怎樣尋找自己的位置？只知道排號或坐號能否找到位置？5排10號與10排5號是否同一個位置？”通過上述較有興趣問題

3、的引入，使學(xué)生初步掌握確定平面內(nèi)的點(diǎn)的要點(diǎn)。從而變抽象的定義為形象化或富有實(shí)踐感。因而從具體到抽象，由特殊到一般，引入平面直角坐標(biāo)系。2、 從學(xué)生已有的舊知識引入新概念。數(shù)學(xué)中的很多概念是在舊概念的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。教學(xué)中必須使學(xué)生熟悉舊概念的基礎(chǔ)上引導(dǎo)他們建立起新概念。使學(xué)生感到自然和容易接受。另外，因?yàn)樾赂拍詈驮懈拍盥?lián)系緊密，只須抓住它們的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)這一本質(zhì)區(qū)別，就能使學(xué)生準(zhǔn)確地掌握概念。如“立方根”概念的數(shù)學(xué)，就可以從已學(xué)過的“平方根”的概念的基礎(chǔ)上引入。再如：“方程”的概念就是在“等式”的概念上建立起來的新概念。引入新概念后，首先引導(dǎo)學(xué)生明確“方程”來的本質(zhì)特征，將“方程”這個概

4、念的本質(zhì)要素從直觀材料中抽取出來，從而能比較準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵。（1）含有未知數(shù)。（2）是等式。接下來，讓學(xué)生發(fā)散思維，舉方程和等式的具體例子，還要說明為什么是方程？為什么是等式？使學(xué)生把定義的內(nèi)容具體化，最后通過具體實(shí)例闡明方程和等式的區(qū)別與聯(lián)系。區(qū)別：是等式，并不一定是方程，若是方程則一定是等式。聯(lián)系：等式包含方程，方程是等式的特例。此時，學(xué)生思維將會停滯，帶有滿足感，教者進(jìn)一步引導(dǎo)：下列等式是否是方程？為什么？（1）2x2=2x2，（2）3x+1=3x+1。由于有了上述的精辟分析，學(xué)生不難給出正確答案：不是方程，而是恒等式。這樣學(xué)生在認(rèn)識上初步完成了“感知理論實(shí)踐”的過程。學(xué)生獲得的就不

5、是死的結(jié)論，而是活的知識。3、 從解決實(shí)際問題本身入手。初一代數(shù)第一章有理數(shù)中正負(fù)數(shù)的引入必須抓住現(xiàn)實(shí)生活中的“具有相反意義的量”。為了區(qū)別“具有相反意義的量”，采用小學(xué)算術(shù)數(shù)附上單位的辦法是行不通的。因此，引入“正數(shù)”和“負(fù)數(shù)”和概念。使學(xué)生在快樂的情境中學(xué)習(xí)，在感覺是合情合理中接受新概念，于是感受到引入新概念的必要性和合理性。二、 概念的鞏固。概念是反映事物的本質(zhì)屬性的思維形態(tài)，概念在反映事物的本質(zhì)屬性的同時，也就反映了具有這些本質(zhì)屬性的事物 ，這就形成了概念的內(nèi)涵與外延兩個方面。1、 不斷揭示概念的內(nèi)涵和外延。學(xué)生在概念剛引入時，對概念的理解是初步的，膚淺的。就是說，學(xué)生則會說概念的定義

6、時，并不一定真的理解概念，所以，教師應(yīng)加強(qiáng)對概念的分析，講清數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，溝通溝通知識的內(nèi)在聯(lián)系，切忌不要讓學(xué)生死背硬記。如教學(xué)“算術(shù)根”概念必須抓住兩個非負(fù)的要求：被開方數(shù)和方根非負(fù)。只有正確理解這一本質(zhì)屬性后，學(xué)生才會進(jìn)一步明確：（1）符號“（a0）”總表示算術(shù)根。（2）（n為偶數(shù)）要有意義必須0。而且在根式的運(yùn)算中要特別注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)根式的隱含條件。如化簡： 從知隱含根式即這一條件，而學(xué)生常常將這一條件忽略。將：出現(xiàn)錯誤。2、 概念引入后，要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)概念中的關(guān)鍵詞語，逐句逐字加以推敲，分析。如教學(xué)“因式分解”概念時，引導(dǎo)學(xué)生分析：對多項(xiàng)式變形。變成幾個整式的積。學(xué)生往往對后一句

7、話印象淡薄。導(dǎo)致出現(xiàn)不應(yīng)該出現(xiàn)的錯誤，此時不妨出一些不同概念混淆在一起的練習(xí)題，讓學(xué)生通過練習(xí)、討論、判斷，使他們加強(qiáng)識別概念的能力。同時，也會命名大會他們更加理解和鞏固所學(xué)過的概念。下列從左到右的變開，哪些是因度分解？哪些不是？為什么？ 這樣在初二學(xué)習(xí)時，避免錯誤的產(chǎn)生。三、 從不同方面啟發(fā)學(xué)生理解和掌握所學(xué)概念。1、 把數(shù)學(xué)概念滲透問題之中，不要機(jī)械地講授數(shù)學(xué)課概念。通過對一些問題的解答，加深學(xué)生對概念的理解，且這種理解從其深度和廣度都是概念下面分析所達(dá)不到的。如：“非負(fù)數(shù)“的概念，教者引導(dǎo)學(xué)生歸納出包括（1）算術(shù)根。）（2）偶次方。（3）絕對值。此時，教師設(shè)計以題目來加深這個概念的理解。

8、（1） ，（2） ，（3）若有意義，則 ，（4）若，則 ，（5）已知：，則 。通過以上題組，目的在于讓學(xué)生在頭腦中深深地打上算術(shù)根、絕對值、一個數(shù)的偶次方是一個非負(fù)數(shù)的烙印。并且明確，若幾個非負(fù)數(shù)之和等于零，則這幾個非負(fù)數(shù)必為零。再如學(xué)習(xí)幾個簡單的特殊函數(shù)后，出示：（1）m為何值時，是正比例函數(shù)，反比例函數(shù)。（2）若是二次函數(shù)，那么m的值為（ ）。學(xué)生容易遺漏的是（1）不論哪一種情況m-10。（2）學(xué)生只考慮，而忽略這一重要條件。從而進(jìn)一步加深理解正、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的概念。2、用對比的方法分清易混淆的概念。數(shù)學(xué)中的某些概念既有聯(lián)系又有區(qū)別。在學(xué)習(xí)中學(xué)生極易混淆。教學(xué)中采用對比的方法，有利

9、于學(xué)生掌握概念，提高辨別是非的能力。如在計算算術(shù)根時，學(xué)生也容易知道是非負(fù)的，但在解方程時，就不能立刻斷定它無解，而通過移項(xiàng)，平方解出X=10，然后驗(yàn)出增根，白花了時間。教師要隨時提醒他們注意。 如教學(xué)“圓周角”的概念時，引導(dǎo)學(xué)生找出概念的內(nèi)涵：（1）頂點(diǎn)在圓上。（2）兩邊都和圓相交。此時教者進(jìn)一步點(diǎn)撥，“圓心角是怎樣定義的？與圓周角的區(qū)別是什么？圓心角的定義為什么不強(qiáng)調(diào)兩邊都和圓相交？”通過以上類比，使學(xué)生真正透徹的理解所學(xué)概念。這時，教者進(jìn)一步指出：（1）當(dāng)周角的頂點(diǎn)離開圓周運(yùn)動變化時，有幾種可能情形？進(jìn)而引出除“圓心角”之外的“圓內(nèi)角”和“圓外角”概念。（2）當(dāng)“圓周角”的一邊運(yùn)動變化，

10、另一邊不動時，又有幾種可能？讓學(xué)生發(fā)散思維，針對其中的一種運(yùn)動的一邊和圓相切，從而引入“弦切角”概念，接下來，引導(dǎo)學(xué)生分別研究與圓有想的五種角。采用類比的方法，指出其聯(lián)系和區(qū)別以及各自具有的性質(zhì)，使學(xué)生自始自終參與探索活動，不斷發(fā)展著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。3、運(yùn)用反倒，強(qiáng)化概念。在教學(xué)中，用學(xué)生多犯的共性錯誤、范例去強(qiáng)化，透徹理解概念。如的平根是±9；又如：學(xué)習(xí)“函數(shù)”概念之后，讓學(xué)生思考：（A），（B）。它們是相同函數(shù)嗎？學(xué)生容易把以上函數(shù)思考為相同函數(shù)。因?yàn)樗^相同函數(shù)，是代數(shù)式式經(jīng)過化簡后相同，且自變量X的取值范圍亦相同。它忽略了函數(shù)本身代數(shù)式的意義。如就其函數(shù)本身是分式，因此x

11、0而y=x沒有任何限制。，其一 -x0，其二，而且y=x不論是自變量x還是函數(shù)y可以是任何實(shí)數(shù)。因此，它們不是相同函數(shù)。換句話說，學(xué)生所以能判斷錯誤，歸根結(jié)底是沒有掌握“函數(shù)”定義的內(nèi)涵“函數(shù)” 定義的三要素。又如學(xué)習(xí)“無理數(shù)”概念之后，可讓學(xué)生思考以下反例。（1）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（2）無限小數(shù)是無理數(shù)（3）兩個無理數(shù)的和、差、積、商仍然是無理數(shù)。總之，在引入新概念后，有計劃組織一系列反例練習(xí)，是加深對概念理解的有效方法之一。4、對某些抽象的概念，由學(xué)生親自演示獲得。如教學(xué)“中心對稱和中心對稱圖形”。由于生活中的實(shí)例較少，兩個概念本身比較抽象，課本上的文字?jǐn)⑹鲆搽y理解。學(xué)生難以弄清兩者的

12、聯(lián)系和區(qū)別。因而教學(xué)時，首先引導(dǎo)學(xué)生自己動手實(shí)驗(yàn)、操作、觀察現(xiàn)象，讓學(xué)生自己畫一個平行四邊形，圓。再剪下來，分別沿對角線的交點(diǎn)和圓心旋轉(zhuǎn)180，會有什么情況發(fā)生？不難發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的圖形和原來圖形互相重合。也就是圖形和它本身重合。這時教師點(diǎn)明課題，引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)。在學(xué)生自這過程中，有學(xué)生提出圓的旋轉(zhuǎn)時的異議，即“對圓旋轉(zhuǎn)任意一個角，不必是180，也能與原來位置互相重合?！苯陶呤紫瓤隙ㄟ@個結(jié)論是正確的。表揚(yáng)他的求異思維。接著點(diǎn)明圓的這種性質(zhì)是它本身所具有的另一重要性質(zhì)圓的旋轉(zhuǎn)不變性。是我們學(xué)過的其它圖形所不具備的性質(zhì)。但本節(jié)我們研究“中心對稱和中心對稱圖形”再給學(xué)生課前準(zhǔn)備的教具做演示實(shí)驗(yàn)。在教師引

13、導(dǎo)下，對“中心對稱圖形”的定義，不僅有了感性認(rèn)識，而且對定義的三要點(diǎn)：對稱中心，旋轉(zhuǎn)180，圖形和它本身重合。有了正確而清晰的認(rèn)識。同時，對圓的旋轉(zhuǎn)不變性有了較明確的認(rèn)識，對初三學(xué)習(xí)垂徑定理奠定了良好基礎(chǔ)。進(jìn)而再引導(dǎo)學(xué)生闡明“中心對稱、中心對稱圖形”與“軸對稱、軸對稱圖形”的區(qū)別和聯(lián)系。這樣處理，把抽象的概念刻化得栩栩如生，突破了教學(xué)難點(diǎn)，使學(xué)生對每一個概念深入研究，弄清它們的來龍去脈、相互的因果關(guān)系、從屬關(guān)系。達(dá)到同感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的認(rèn)識過程。5、約定式概念的教學(xué)。數(shù)學(xué)中的某些概念，采用約定條件的方式下定義。對這類概念的教學(xué)，首先需要學(xué)生弄懂為什么這樣約定？其次，在應(yīng)用時刻注意約定的條

14、件。只有這樣才能真正理解并掌握概念，避免解題中不必要的錯誤產(chǎn)生。如“一元二次方程”、“一元二次不等式”、“正比例函數(shù)”、“反比例函數(shù)”、“一次函數(shù)”、“二次函數(shù)”及指數(shù)一章中的有關(guān)定義等等。以上概念都是采用約定條件的方式定義。如指數(shù)一章中“零指數(shù)”的定義：。本人以為例，數(shù)學(xué)實(shí)況如下：為什么約定？當(dāng)時無意義。教者再指出：為什么無意義？因?yàn)榱悴荒茏龀龜?shù)。如無意義。同樣無意義。所以自然它們就不可應(yīng)用冪的運(yùn)算法則得出，因此就不能從的法則中產(chǎn)生出來。因此說無意義。進(jìn)而。四、 精選例題、設(shè)計巧題、加強(qiáng)練習(xí)等方法鞏固和運(yùn)用概念。學(xué)生認(rèn)識和形成概念，理解和掌握之后，概念的鞏固和應(yīng)用概念解決實(shí)際問題是不可缺少的

15、環(huán)節(jié)。而學(xué)生感到困難的是引進(jìn)概念后如何加以鞏固。使學(xué)生熟練掌握，然后才能談得上靈活運(yùn)用。為此：1、選擇概念性、典型性的習(xí)題組加深概念本質(zhì)的理解。如學(xué)習(xí)了“非負(fù)數(shù)”的概念后，舉全例如下：（1）已知x、y為實(shí)數(shù)，且，則（2）的結(jié)果是_若沒有呢？（3）如果x<4，那么的值等于_.2、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)在推理、運(yùn)算、論證中的指導(dǎo)作用。如：m取什么值時，方程，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根？學(xué)生往往只注意判別式0。解得m<1，但沒有考慮到二次項(xiàng)系數(shù)為非零。因此，應(yīng)除m+10即m-1去即。這類錯誤是學(xué)生極容易產(chǎn)生的常見錯誤之一。究其根源出在學(xué)生沒有養(yǎng)成綜合解決問題的習(xí)慣；出在不會運(yùn)用概念來解題。如果學(xué)生一

16、開始就注意方程是一元二次方程必定想到m+10。所以教師注意提醒學(xué)生運(yùn)用概念，使他們養(yǎng)成全面觀察和解決問題的習(xí)慣。3舉循環(huán)論證的典型錯誤例題，加深理解概念。在幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤之一是犯循環(huán)論證的錯誤。教學(xué)中適時舉例。如教學(xué)證明三角形內(nèi)角和定理。例如： 已知：求證：（略）證明：ACD是ABC中的一個外角ACD=A+B又ACD+ACB=180° A+B+ACB=180° ABCD教者一針見血的指明其錯誤根源。以上證明過程中用到的，恰是用內(nèi)角和定理導(dǎo)出的，所以這個證明是循環(huán)的。發(fā)生個錯誤的原因是學(xué)生邏輯思維掌握的不好。由此，對學(xué)生進(jìn)行邏輯思維訓(xùn)練。教師要隨時引導(dǎo)學(xué)生糾正

17、其錯誤，指出其錯誤產(chǎn)生的根源。這對加深理解和鞏固概念是有好處的。避免和克服負(fù)遷移，進(jìn)一步理解并掌握所學(xué)概念，培養(yǎng)提高學(xué)生的思維能力。五、引導(dǎo)學(xué)生隨時把學(xué)得的概念進(jìn)行系統(tǒng)整理。適時的，恰當(dāng)?shù)母爬偨Y(jié)所學(xué)概念是教學(xué)的又一重要環(huán)節(jié)，也是一種點(diǎn)撥藝術(shù)。是引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)概念的外延系統(tǒng)整理的過程。例如，可以按各種不同的性質(zhì)進(jìn)行分類，使學(xué)生在縱橫兩個方面都能比較清晰的理解某個概念所處位置，對各概念的聯(lián)系及內(nèi)涵、外延、相互關(guān)系的較深入的理解，溝通知識間的聯(lián)系，舉一反三。例如讓學(xué)生把“有理數(shù)”的概念，按數(shù)的性質(zhì)分類，也可以按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類。再如：四邊形的分類。另外，有些概念看起來是不相同的，但用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)去看，又可以聯(lián)系起來。如：三角形中位線性質(zhì)和梯形中位線性質(zhì)，當(dāng)梯形的一個底逐漸縮短，最后縮短成一點(diǎn)時，它們就可以看成相同。又如：圓的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理，如用變化兩弦的