例談法向量在高考題中的運(yùn)用

1、例談法向量在高考題中的運(yùn)用（祝志奇 蘄春理工中專）摘要：新教材中空間向量的出現(xiàn)，為解立體幾何提供了強(qiáng)有力的工具，尤其是法向量的引入，在很大程度上避開了思維的高強(qiáng)度轉(zhuǎn)換和各種輔助線添加的難處，代之以空間向量的計(jì)算與證明，使思路變得順暢，充分顯示出其獨(dú)特的優(yōu)勢，本文試圖結(jié)合2008年高考試卷中立體幾何題目，談?wù)劮ㄏ蛄吭诹Ⅲw幾何中的運(yùn)用。關(guān)鍵詞：法向量 立體幾何 高考 數(shù)學(xué)前言：自2002年課程改革以來，雖然向量在立體幾何中應(yīng)用只是選修內(nèi)容，但是向量在高考中所占的份量越來越重。以2008年高考為例，幾乎各個(gè)省市的高考試題重都涉及到向量的解法，而向量運(yùn)用的最多的是“法向量”?，F(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教科書提到的法

2、向量的定義：如果向量平面a，那么向量叫做平面a的法向量.法向量在立體幾何中的運(yùn)用主要在兩大部分：1. 利用法向量處理角度問題；2. 利用法向量處理距離問題。3. 利用法向量處理垂直問題，4. 利用法向量處理平行問題 1. 利用法向量處理角度問題在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中刪掉三垂線定理，及其逆定理，這時(shí)在求二面角方面，法向量起著非同尋常的作用。其實(shí)當(dāng)涉及的角有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等關(guān)于角的計(jì)算，均可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角。對于空間向量,有cos1.1利用法向量處理異面直線的夾角例1：（福建高考理）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD，底面ABCD為直角

3、梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PB與CD所成角的大??；（）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解:（1）略（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以異面直線PB與CD所成的角是arccos.(3)略評注：如果用幾何綜合法來做，首先要找到它們的夾角，這樣就要作輔助線：連接BO,通過解直角三角形。但是這個(gè)

4、題目法向量的方法來做使得計(jì)算簡潔。 1.2利用法向量處理線面夾角例2：(海南，寧夏高考理) 如圖，已知點(diǎn)P在正方體的對角線上，ABCDPxyzH（1）求DP與所成角的大??；（2）求DP與平面所成角的大小ABCDP解：（1）略 （2）如圖，以為原點(diǎn)，為單位長建立空間直角坐標(biāo)系則，平面的一個(gè)法向量是因?yàn)椋?所以可得與平面所成的角為評注：在這個(gè)題目，若用傳統(tǒng)的幾何法，就必須過D點(diǎn)找到D點(diǎn)到面ABP的高線才能構(gòu)造出一個(gè)直角三角形。而這個(gè)高線是非常難找的，是這個(gè)題目的難點(diǎn)，這樣就增加了做題的難度。要是用向量法來做要注意建立合適的直角坐標(biāo)系，才能方便計(jì)算。 1.3利用法向量處理二面角 筆者調(diào)查了2008年

5、高考（理）試卷發(fā)現(xiàn)19種試卷中有13個(gè)涉及到二面角的知識(shí)，現(xiàn)在筆者試圖以湖南卷為例來講解法向量的運(yùn)用。例3：（湖南高考理）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （1）平面PBE平面PAB;（2）平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.解：（1）略（2）如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0）B（1，0，0），P（0，0，2），易知 設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取 于是，cos 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）

6、的大小是評注：（1）運(yùn)用法向量求二面角，避免了用幾何法難以找出或作出二面角，解決了多數(shù)學(xué)生感到頭痛的問題。如果該題不用向量法來做的話，就要涉及到三垂線定理，首先要找出二面角所在的平面分別延長AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.過點(diǎn)A作AHPB于H，找到平面，這樣一來對學(xué)生的空間想象能力的要求太高，一般的學(xué)生很難想到通過延長AD、BE 來找到平面。(2)用向量法只需要學(xué)生正確建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量后根據(jù)公式即可求出二面角。（3）用法向量求二面角時(shí)要注意：平面的法向量有兩個(gè)相反的方向取的方向不同求出來的角度當(dāng)然就不同所以最后還應(yīng)根據(jù)這個(gè)二面角的實(shí)際形態(tài)確定其大小 2.利用法向量解空間中距離問題立

7、體幾何中涉及到距離的問題比較多，如兩平面的距離，點(diǎn)到線的距離，點(diǎn)、線到面的距離，兩異面直線之間的距離等，這是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容若用向量來處理這類問題，則思路簡單，解法固定我們可以將空間距離問題(即異面直線間的距離,點(diǎn)到平面的距離,直線到平面的的距離,兩平行平面的距離)的計(jì)算統(tǒng)一起來,即(P,M兩點(diǎn)可分別為異面直線上兩點(diǎn)或兩異面上的點(diǎn)或一固定點(diǎn)與一平面上的點(diǎn))，在這里統(tǒng)一的公式,是解決立體幾何問題的必備公式,要讓學(xué)生掌握公式的實(shí)質(zhì),從而能熟練地解決立體積何中求空間距離的問題現(xiàn)以點(diǎn)到面的距離為例講解這一公式。ACBPACBPzX yHE例4：(北京高考題理) 如圖，在三棱錐中，（

8、1）求證：；（2）求二面角的大小；（3）求點(diǎn)到平面的距離 解： （1），（2）略 （3）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)，令法向量，則有則則d=評注：為了求點(diǎn)到面的距離，就要過點(diǎn)C作，垂足為H,然后通過建構(gòu)三角形來求解CH的長度用向量法只需代進(jìn)公式就可以了，避免了不必要的麻煩。3.向量在求證垂直中的運(yùn)用空間向量在證明立體幾何的平行問題和垂直問題中也非常方便,這些都是現(xiàn)在高考在立體幾何方面的熱點(diǎn)問題,而利用空間向量解決立體幾何問題,可以避開復(fù)雜、抽象的邏輯推理,使問題通過清晰、簡捷的向量運(yùn)算來解決。3.1在求證兩面的垂直中的運(yùn)用平面的法向量分別為：，若，則例5：（陜西高考試卷理）三棱錐被平行

9、于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的大小A1AC1B1BDCA1AC1B1BDCzyx解：（1）以A點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，又，平面，又平面，平面平面（2）略評注：如果該題用綜合法的話，就要轉(zhuǎn)換到線面垂直，這樣做沒有向量法簡潔！3.2在求證線面垂直中的運(yùn)用設(shè)直線的法向量為，平面的法向量為，若，則例6：（江西高考試卷理）如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、兩兩垂直，且長度均為2、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作平面與側(cè)棱、或其延長線分別相交于、，已知（1）求證：平面；（2）求二面角的大??；解: （1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

10、則所以所以所以平面由得，故：平面(2)略 評注：如果該題用綜合法的話，就要轉(zhuǎn)換到線線垂直，對于學(xué)生而言在有限的時(shí)間里準(zhǔn)確找到哪兩條線垂直是比較困難的，不如直接用向量法來證明直接。4向量在求證平行中的運(yùn)用4.1在求證線面平行中的運(yùn)用設(shè)直線在平面外,的方向向量為，平面的法向量為，若則。例7(浙江高考試卷理) 如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（1）求證：AE/平面DCF；（2）當(dāng)AB的長為何值時(shí),二面角A-EF-C的大小為DABEFCyzx證明：（1）點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，從而，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面故?/p>

11、面（2）略評注：如果用綜合法的話，就要過點(diǎn)作交于，在通過證明為平行四邊形，轉(zhuǎn)換到線線平行，這樣就增加了做題的難度。（另注：法向量在證明面面平行中也起著重要作用，但今年的高考試卷中均為涉及，所以筆者在這里也不詳述）后記：向量由于具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將“數(shù)”和“形”有機(jī)地結(jié)合起來，成為重要的數(shù)學(xué)工具，立體幾何計(jì)算與證明中，借助法向量可以克服平面的垂線難作、角難找、圖難畫等難點(diǎn)。同時(shí)，把向量的思想方法融合到傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法中，降低了思維的難度，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)方法和解題方法的創(chuàng)新，對強(qiáng)化學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，提高學(xué)生應(yīng)用向量意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力起到很好的啟發(fā)作用。但是法向量解立體幾何，要求圖形是規(guī)則的圖形才行，以后在運(yùn)用法向量時(shí)也要注意。參考文獻(xiàn)：1 向鴻 空間向量在立體幾何中的運(yùn)用J 凱里學(xué)院學(xué)報(bào) 2008年6月2陳方濤 例談運(yùn)用法向量求二面角J 中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年第四期3劉秋鳳 賞析“法向量”J 中國教育與教學(xué) 2006年7月，第四卷，第2期4胡勇 法向量在有關(guān)距離