2013年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編7：立體幾何(修改)

1、2013 年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編 7：立體幾何：立體幾何一、選擇題1. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）如圖,有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高 8cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為 6cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為 （）ABCD35003cm38663cm313723cm320483cm【答案】A 2. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）設(shè)是兩條不同的直線,m n是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）, A若,則B若,則 mnmn/mn/mnC若

2、,則D若,則mnmnm/mn/n【答案】D 3. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）若兩個(gè)球的表面積之比為,則這兩個(gè)球的體積之比為1:4（）ABCD1:21:41:81:16【答案】C 4. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD 版含答案（已校對(duì)） ）已知正四棱柱中,則與平面所成角的正弦值等于（）1111ABCDABC D12AAABCD1BDCABCD23332313【答案】A 5. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）ABCD1688816 168 16【答案】A 6. （2013 年高考湖北卷（理）

3、 ）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成,其體積分別記為,上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體,則有1V2V3V4V（）ABC1243VVVV1324VVVVD2134VVVV2314VVVV 【答案】C 7. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱長為 1 的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為 1 的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于（）A BCD 122-122+12【答案】C 8. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,則該四棱臺(tái)的體積是 （）12211正視圖俯視圖側(cè)視

4、圖第第 5 5 題圖題圖ABCD41431636【答案】B 9. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 WORD 版含答案） ）已知nm,為異面直線,m平面,n平面.直線l滿足,則（）,lm ln llA/,且/lB,且lC與相交,且交線垂直于lD與相交,且交線平行于l【答案】D 10. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）已知三棱柱111ABCABC的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長為3的正三角形.若P為底面111ABC的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為（）A512B3C4D6【答案】B 11. （2013 年普通高等學(xué)

5、校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）某幾何體的三視圖如題 5圖所示,則該幾何體的體積為（）A5603B5803C200D240【答案】C 12. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）已知三棱柱的 6111ABCABC個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,若,則球的半徑為 （）O34ABAC，ABAC112AA OABCD 3 1722 101323 10【答案】C 13. （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,正AB CDA方體的六個(gè)面所在的平面與直線 CE,EF 相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,那么,m nmn（）A8

6、B9C10D11【答案】A 14. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 WORD 版含答案） ）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到正視圖可以為 （）ABCD【答案】A 15. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）在下列命題中,不是公理的是（）A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此

7、平面內(nèi)D如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn), 那么他們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線【答案】A 16. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）在空間中,過點(diǎn)作平面的A垂線,垂足為,記.設(shè)是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間任意一點(diǎn),B)(AfB,P,恒有,則（）)(),(21PffQPffQ21PQPQ A平面與平面垂直B平面與平面所成的(銳)二面角為 045C平面與平面平行D平面與平面所成的(銳)二面角為 060【答案】A 17. （2013 年高考四川卷（理） ）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是 【答案】D 二、填空題18. （2013 年高考

8、上海卷（理） ）在平面上,將兩個(gè)半圓弧和xOy22(1)1(1)xyx、兩條直線 和圍成的封閉圖形記為 D,如圖中陰影部分.記 D 繞22(3)1(3)xyx1y 1y y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為,過作的水平截面,所得截面面積為,試(0, )(| 1)yy 2418y利用祖暅原理、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長方體,得出的體積值為_【答案】. 221619. （2013 年高考陜西卷（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為_.31121【答案】 320. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD 版含答案（已校對(duì)） ）已知圓和圓是球OK的大圓和小圓,其公共弦長等于球的半

9、徑,且圓與圓所在的平面所成的一個(gè)二面OO32OK OK角為,則球的表面積等于_.60O【答案】 1621. （2013 年高考北京卷（理） ）如圖,在棱長為 2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_.1D1BPAD1CCEBA1A【答案】 2 5522. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對(duì)純 WORD 版含附加題） ）如圖,在三棱柱中,分別是的中點(diǎn),設(shè)三棱錐的體積為,ABCCBA111FED，1AAACAB，ADEF 1V三棱柱的體積為,則_.ABCCBA1112V21:VVABC1AD

10、EF1B1C【答案】 1:2423. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于_.2cm43233正視圖側(cè)視圖俯視圖（第 12 題圖）【答案】24 24. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,正方體的棱長為 1,P 為 BC 的中點(diǎn),Q 為線段上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) A,P,Q 的平面截該正方體1111ABCDABC D1CC所得的截面記為 S.則下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號(hào)).當(dāng)時(shí),S 為四邊形;當(dāng)時(shí),S 為等腰梯形;當(dāng)時(shí),S 與的交點(diǎn)

11、 R102CQ12CQ 34CQ 11C D滿足;當(dāng)時(shí),S 為六邊形;當(dāng)時(shí),S 的面積為.1113C R 314CQ1CQ 62【答案】 25. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_.【答案】 161626. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）已知某一多面體內(nèi)接于一個(gè)簡單組合體,如果該組合體的正視圖.測試圖.俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為 2 的正方形,則該球的表面積是_【答案】 1227. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）在如圖所示的正

12、方體中,異面直線1111ABCDABC D與所成角的大小為_1AB1BCD1C1B1A1DCAB【答案】 3三、解答題28. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）如圖,AB 是圓的直徑,PA 垂直圓所在的平面,C 是圓上的點(diǎn).(I)求證:PACPBC平面平面；(II)2.ABACPACPBA若，1，1，求證：二面角的余弦值【答案】 29. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖,四棱錐PABCD中,PAABCD 底面,2,4,3BCCDACACBACD ,F為PC的中點(diǎn),AFPB.(1)求PA的長; (2)求二面角BA

13、FD的正弦值.【答案】 30. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,圓錐頂點(diǎn)為.底面圓心p為,其母線與底面所成的角為 22.5.和是底面圓上的兩條平行的弦,軸與平面oABCDOOP所成的角為 60.PCD()證明:平面與平面的交線平行于底面; ()求.PABPCDcosCOD【答案】解: () PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD設(shè)面面直線且面面 . / /ABm直線ABCDmABCDAB面直線面/所以,. ABCDDPPAB的公共交線平行底面與面面C() . rPOOPFFCDr5 .22tan.60,由題知，則的中點(diǎn)為線

14、段設(shè)底面半徑為. 5 .22tan15 .22tan245tan,2cos5 .22tan60tan60tan,2CODrOFPOOF)223(3), 1-2(321cos, 1-25 .22tan12cos2cos22CODCODCOD. 212-17cos. 212-17cosCODCOD所以法二: 31. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,在四面體中,BCDA平面,.是的中點(diǎn), 是的中點(diǎn),點(diǎn)在線段ADBCD22, 2,BDADCDBCMADPBMQ上,且.ACQCAQ3(1)證明:平面;(2)若二面角的大小為,求的大小./PQBCDDB

15、MC060BDCABCDPQM（第 20 題圖）【答案】解:證明()方法一:如圖 6,取的中點(diǎn),且是中點(diǎn),所以.因?yàn)槭荕DFMAD3AFFDP中點(diǎn),所以;又因?yàn)?)且,所以,所以面BM/ /PFBD3AQQC3AFFD/ /QFBD面,且面,所以面; / /PQFBDCPQ BDC/ /PQBDC 方法二:如圖 7 所示,取中點(diǎn),且是中點(diǎn),所以;取的三等分點(diǎn),使BDOPBM1/ /2POMDCDH,且,所以,所以,且3DHCH3AQQC11/ / /42QHADMD/ / /POQHPQOH,所以面; OHBCD/ /PQBDC()如圖 8 所示,由已知得到面面,過作于,所以,過作ADB BD

16、CCCGBDGCGBMDG于,連接,所以就是的二面角;由已知得到GHBMHCHCHGCBMD,設(shè),所以 813BM BDC, cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin,CDCGCBCDCGBCBDCDBD在中,所以在中, RT BCG2sin2 2sinBGBCGBGBCRT BHG,所以在中 2212 2sin332 2sinHGHGRT CHG 22 2cossintantan6032 2sin3CGCHGHG; tan3(0,90 )6060BDC32. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）如圖,在正三棱錐中,異面直線111ABCABC16AA 與所成

17、角的大小為,求該三棱柱的體積.1BC1AA6B1A1C1ACB【答案】解因?yàn)?. 1CC1AA所以為異面直線與.所成的角,即=. 1BC C1BC1AA1BC C6在 Rt中, 1BC C113tan62 33BCCCBC C從而, 233 34ABCSBC因此該三棱柱的體積為. 13 3 618 3ABCVSAA33. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對(duì)純 WORD 版含附加題） ）本小題滿分14 分.如圖,在三棱錐中,平面平面,過作,垂足ABCS SABSBCBCAB ABAS ASBAF 為,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).FGE，SCSA，求證:(1)平面平面;

18、(2)./EFGABCSABC ABCSGFE【答案】證明:(1),F 分別是 SB 的中點(diǎn) ABAS SBAF E.F 分別是 SA.SB 的中點(diǎn) EFAB 又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EFFG=F, EF.FG平面 ABC平面平面 /EFGABC(2)平面平面 SABSBC平面平面=BC SABSBCAF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面 SABBCSA BCAB 34. （2013 年高考上海卷（理） ）如圖,在長方體 A

19、BCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,證明直線 BC1平行于平面 DA1C,并求直線 BC1到平面 D1AC 的距離.D1C1B1A1DCBA【答案】因?yàn)?ABCD-A1B1C1D1為長方體,故, 1111/,ABC D ABC D故 ABC1D1為平行四邊形,故,顯然 B 不在平面 D1AC 上,于是直線 BC1平行于平面 DA1C; 11/BCAD直線 BC1到平面 D1AC 的距離即為點(diǎn) B 到平面 D1AC 的距離設(shè)為 h考慮三棱錐 ABCD1的體積,以 ABC 為底面,可得 111(1 2) 1323V 而中,故 1ADC115,2ACDCAD132AD CS所

20、以,即直線 BC1到平面 D1AC 的距離為. 13123233Vhh2335. （2013 年高考湖北卷（理） ）如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn),直線平面ABOCO,A BPC ,分別是,的中點(diǎn).ABCEFPAPC(I)記平面與平面的交線為 ,試判斷直線 與平面的位置關(guān)系,并加以證明;BEFABCllPAC(II)設(shè)(I)中的直線 與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,且點(diǎn)滿足.記直線與平面lODQ12DQCP PQ所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角的大小為,求證:ABCPQEFElC .sinsinsin第 19 題圖【答案】解:(I), EFACAACABC 平面EFABC 平面 EFABCA平

21、面又 EFBEF 平面 EFlA lPAC A平面(II)連接 DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很麻煩,特別是用向量不能方便的表示角的正弦.個(gè)人認(rèn)為此題與新課程中對(duì)立體幾何的處理方向有很大的偏差.) 36. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）如圖 1,在等腰直角三角形中,分別是上的點(diǎn),為的中點(diǎn).將ABC90A6BC ,D E,AC AB2CDBEOBC沿折起,得到如圖 2 所示的四棱錐,其中.ADEDEABCDE3A O() 證明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.A OBCDEACDBCDOxEA向量法

22、圖向量法圖yzB.COBDEACDOBEA圖 1圖 2【答案】() 在圖 1 中,易得 3,3 2,2 2OCACAD CDOBEAH連結(jié),在中,由余弦定理可得 ,OD OEOCD 222cos455ODOCCDOC CD 由翻折不變性可知, 2 2A D所以,所以, 222A OODA DA OOD理可證, 又,所以平面. A OOEODOEOA OBCDE() 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié), OOHCDCDHA H因?yàn)槠矫?所以, A OBCDEA HCD所以為二面角的平面角. A HOACDB結(jié)合圖 1 可知,為中點(diǎn),故,從而 HAC3 22OH 22302A HOHOA所以,所以二面

23、角的平面角的余弦值為. 15cos5OHA HOA HACDB155向量法:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, OOxyz則, 0,0, 3A0, 3,0C1, 2,0D所以, 0,3, 3CA 1,2, 3DA 設(shè)為平面的法向量,則 , ,nx y zA CD,即,解得,令,得 00n CAn DA 330230yzxyz 3yxzx 1x 1, 1, 3n 由() 知,為平面的一個(gè)法向量, 0,0, 3OA CDB所以,即二面角的平面角的余弦值為. 315cos,535n OAn OAn OA ACDB15537. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）

24、）如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E為棱AA1的中點(diǎn). () 證明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上, 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為, 求線段AM的長. 26【答案】 38. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）如圖,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()證明 ABA1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所

25、成角的正弦值.【答案】()取 AB 中點(diǎn) E,連結(jié) CE,1AB,1AE, AB=1AA,1BAA=060,1BAA是正三角形, 1AEAB, CA=CB, CEAB, 1CEAE=E,AB面1CEA, AB1AC; ()由()知 ECAB,1EAAB, 又面 ABC面11ABB A,面 ABC面11ABB A=AB,EC面11ABB A,EC1EA, EA,EC,1EA兩兩相互垂直,以 E 為坐標(biāo)原點(diǎn),EA 的方向?yàn)閤軸正方向,|EA |為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 有題設(shè)知 A(1,0,0),1A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),則BC =(1,0,

26、3),1BB=1AA=(-1,0,3),1AC=(0,-3,3), 設(shè)n=( , , )x y z是平面11CBBC的法向量, 則100BCBB nn,即3030 xzxy,可取n=(3,1,-1), 1cos, ACn=11|ACACn|n|105, 直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值為105 39. （2013 年高考陜西卷（理） ）如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O平面ABCD, . 12ABAA() 證明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小. OD1B1C1DACBA1【答

27、案】解:() ;又因?yàn)?在正方形 AB CD 中,BDOAABCDBDABCDOA11,面且面. BDCAACACAACABDAACOABDAC11111,，故面且面所以；且在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 111OAOAART中，在. OECAOCEAEDB1111111為正方形，所以，則四邊形的中點(diǎn)為設(shè)，所以由以上三點(diǎn)得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD111111E.E,.(證畢) DDBBCA111面() 建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題. 以 O 為原點(diǎn),以 OC 為 X 軸正方向,以 OB 為 Y 軸正方向.則 . ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1

28、(),100(),001 (,0 , 1 , 0111CABACB，）（由()知, 平面BB1D1D的一個(gè)法向量 .0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 (111）（OCOBCAn設(shè)平面OCB1的法向量為，則0, 0,2122OCnOBnn ).1- , 1 , 0(向向向2n為解得其中一個(gè). 21221|,cos|cos212111nnnnnn所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角為 340. （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,四棱錐中,PABCDPA,ABCD EBD 平面為的中點(diǎn)OD1B1C1DACBA1,連接并延長交于.GPD為的中點(diǎn)，3,12DA

29、BDCB EAEBABPA ，CEADF(1) 求證:;ADCFG 平面(2) 求平面與平面的夾角的余弦值.BCPDCP【答案】解:(1)在中,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以, ABDEBD1EAEBEDAB故, ,23BADABEAEB 因?yàn)?所以, DABDCB EABECB 從而有, FEDFEA 故,又因?yàn)樗? ,EFAD AFFD,PGGDFGPA又平面, PAABCD所以故平面. ,GFADAD CFG(3) 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則, A33(0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0)22ABCD(4) ,故 3(0,0, )2P1333 333(0),(,

30、 ),(,0)2222222BCCPCD ，設(shè)平面的法向量,則 , BCP111(1,)ny z111130223330222yyz解得,即. 113323yz 13 2(1, )33n 設(shè)平面的法向量,則,解得, DCP222(1,)nyz 222330223330222yyz2232yz即.從而平面與平面的夾角的余弦值為. 2(1, 3,2)n BCPDCP1212423cos41689n nn n 41. （2013 年高考四川卷（理） ）如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,11ABCABC1AA ABC,分別是線段的中點(diǎn),是線段的中點(diǎn).12ABACAA120BAC1,D D11,BC BCPA

31、D()在平面內(nèi),試作出過點(diǎn)與平面平行的直線 ,說明理由,并證明直線平面ABCP1ABCll ;11ADD A()設(shè)()中的直線 交于點(diǎn),交于點(diǎn),求二面角的余弦值.lABMACN1AAMND1DCBA1B1C1AP【答案】解:如圖,在平面內(nèi),過點(diǎn)做直線 /,因?yàn)?在平面外, ABCPlBCl1ABC 在平面內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知, /平面. BC1ABCl1ABC由已知,是的中點(diǎn),所以,則直線. ABACDBCBCADlAD因?yàn)槠矫?所以直線 .又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi),且與相交,所1AA ABC1AA l1,AD AA11ADD AAD1AA以直線平面 11ADD A解法一: 連接,過作于,

32、過作于,連接. 1APA1AEAPEE1EFAMFAF由知,平面,所以平面平面. MN 1AEA1AEA1AMN所以平面,則. AE 1AMN1AMAE所以平面,則. 1AM AEF1AM AF故為二面角的平面角(設(shè)為). AFE1AAMN設(shè),則由,有,. 11AA 12ABACAA120BAC60BAD2,1ABAD又為的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn),且, PADMAB1,12APAM在中, ;在中, . 1Rt AAPA152AP 1Rt A AMA12AM 從而, 1115AAAPAEAP1112AAAMAFAM所以. 2sin5AEAF所以. 22215cos1 sin155故二面角的余弦值為

33、1AAMN155解法二: 設(shè).如圖,過作平行于,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)檩S,11AA 1A1AE11BC1A111,AE AD 1AAx軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(點(diǎn)與點(diǎn)重合). yzOxyzO1A 則,. 10,0,0A0,0,1A因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以分別為的中點(diǎn), PAD,M N,AB AC故, 3 13 1,1 ,12222MN所以,. 13 1,122AM10,0,1A A 3,0,0NM 設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則 1AAM1111,nx y z即故有 1111,nAMnA A 11110,0,nAMnA A 1111113 1,10,22,0,0,10,x y zx y

34、z從而 1111310,220.xyzz取,則,所以. 11x 13y 11,3,0n 設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則 1AMN2222,nxy z即故有 212,nAMnNM 2120,0,nAMnNM 2222223 1,10,22,3,0,00,xy zxy z從而 2222310,2230.xyzx取,則,所以. 22y 21z 20,2, 1n 設(shè)二面角的平面角為,又為銳角, 1AAMN則. 12121,3,00,2, 115cos525nnnn故二面角的余弦值為 1AAMN15542. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對(duì)純 WORD 版含附加題） ）本

35、小題滿分10 分.如圖,在直三棱柱中,點(diǎn)是的中點(diǎn)111ABCABCACAB 2 ACAB41AADBC(1)求異面直線與所成角的余弦值BA1DC1(2)求平面與所成二面角的正弦值.1ADC1ABA【答案】本題主要考察異面直線.二面角.空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及基本運(yùn)算,考察運(yùn)用空間向量解決問題的能力. 解:(1)以為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系, 1,AAACABxyzA 則, )0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)4 , 0 , 0(1A)0 , 1 , 1 (D)4 , 2 , 0(1C, )4, 0 , 2(1BA)4, 1, 1 (1BA 10103

36、182018,cos111111DCBADCBADCBA異面直線與所成角的余弦值為 BA1DC110103(2) 是平面的的一個(gè)法向量 )0 , 2 , 0(AC1ABA設(shè)平面的法向量為, 1ADC),(zyxm )0 , 1 , 1 (AD)4 , 2 , 0(1AC由 1,ACmADm 取,得,平面的法向量為 0420zyyx1z2, 2xy1ADC) 1 , 2, 2( m設(shè)平面與所成二面角為 1ADC1ABA, 得 32324,coscosmACmACmAC35sin平面與所成二面角的正弦值為 1ADC1ABA3543. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD

37、版含答案（已校對(duì)） ）如圖,四棱錐中,與都是等邊三角形.PABCD902,ABCBADBCADPAB ，PAD(I)證明: (II)求二面角的大小.;PBCDAPDC【答案】 44. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖所示,在三棱錐PABQ中,PB 平面ABQ,BABPBQ,D C E F 分別是,AQ BQ AP BP的中點(diǎn), 2AQBD,PD與EQ交于點(diǎn)G,PC與FQ交于點(diǎn)H,連接GH.()求證:AB GHA; ()求二面角DGHE的余弦值.【答案】解:()證明:因?yàn)?D C E F 分別是,AQ BQ AP BP的中點(diǎn), 所以EFAB,DCAB,所

38、以EFDC, 又EF 平面PCD,DC 平面PCD, 所以EF平面PCD, 又EF 平面EFQ,平面EFQ平面PCDGH, 所以EFGH, 又EFAB, 所以ABGH. ()解法一:在ABQ中, 2AQBD,ADDQ, 所以=90ABQ,即ABBQ,因?yàn)镻B 平面ABQ,所以ABPB, 又BPBQB,所以AB 平面PBQ,由()知ABGH, 所以GH 平面PBQ,又FH 平面PBQ,所以GHFH,同理可得GHHC, 所以FHC為二面角DGHE的平面角,設(shè)2BABQBP,連接PC, 在tRFBC中,由勾股定理得,2FC , 在tRPBC中,由勾股定理得,5PC , 又H為PBQ的重心,所以153

39、3HCPC 同理 53FH , 在FHC中,由余弦定理得552499cos5529FHC , 即二面角DGHE的余弦值為45. 解法二:在ABQ中,2AQBD,ADDQ, 所以90ABQ,又PB 平面ABQ,所以,BA BQ BP兩兩垂直, 以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,BA BQ BP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)2BABQBP,則(1,0,1)E,(0,0,1)F,(0,2,0)Q,(1,1,0)D,(0,1,0)C(0,0,2)P,所以( 1,2, 1)EQ ,(0,2, 1)FQ ,( 1, 1,2)DP ,(0, 1,2)CP , 設(shè)平面EFQ的一個(gè)法向量為1

40、11( ,)mx y z, 由0m EQ ,0m FQ , 得111112020 xyzyz 取11y ,得(0,1,2)m . 設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為222(,)nxyz 由0n DP ,0n CP , 得222222020 xyzyz 取21z ,得(0,2,1)n .所以4cos,5m nm nm n 因?yàn)槎娼荄GHE為鈍角,所以二面角DGHE的余弦值為45. 45. （2013 年高考湖南卷（理） ）如圖 5,在直棱柱,1111/ /ABCDABC DADBC中，,.90 ,1BADACBD BC13ADAA(I)證明:; (II)求直線所成角的正弦值.1ACB D111BCAC

41、D與平面【答案】解: () ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD111111,面且面是直棱柱. (證畢) DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC11111,，面。面且又() 。的夾角與平面的夾角即直線與平面直線111111,/ACDADACDCBADBCCB 軸正半軸。為軸正半軸，為點(diǎn)，量解題。設(shè)原點(diǎn)在建立直角坐標(biāo)系，用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA),0 , 3(),0 , 1 ()0 , 1 (),0 , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 01，則，設(shè)).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 0030

42、12ADACyyyBDAC），（），（的一個(gè)法向量平面則的法向量為設(shè)平面303,313-.00,111ADnACDADnACnnACD 7213733|,cos|sin003,313-1ADnADnACD），（），（的一個(gè)法向量平面. 72111夾角的正弦值為與平面所以ACDBD46. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,在四棱柱中,側(cè)棱,1111ABCDABC D1AAABCD 底面/ /ABDC11AA 3ABk4ADk,.5BCk6DCk(0)k (1)求證:11;CDADD A 平面(2)若直線與平面所成角的正弦值為,求的值;1AA1ABC67k(3)現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼接成一個(gè)新的棱柱,規(guī)定:1111ABCDABC D若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同,則視為同一種拼接方案.問:共有幾種不同的方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為,寫出的表達(dá)式(直接寫出答案,不必要說( )f k( )f k明理由