連續(xù)傳遞函數(shù)離散化的方法與原理

1、數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計目錄第一章 模擬化設(shè)計基礎(chǔ)1 第一節(jié) 步驟1 第二節(jié) 在MATLAB中離散化3 第三節(jié) 延時e-Ts環(huán)節(jié)的處理5 第四節(jié) 控制函數(shù)分類6第二章 離散化算法10 摘要10 比較11 第一節(jié) 沖擊響應(yīng)不變法(imp,無保持器直接z變換法)11 第二節(jié) 階躍響應(yīng)不變法(zoh,零階保持器z變換法)11 第三節(jié) 斜坡響應(yīng)不變法(foh,一階保持器z變換法)11 第四節(jié) 后向差分近似法12 第五節(jié) 前向差分近似法14 第六節(jié) 雙線性近似法(tustin)15 第七節(jié) 預(yù)畸雙線性法(prevarp)17 第八節(jié) 零極點(diǎn)匹配法(matched)18第三章 時域化算法19 第一節(jié) 直接算

2、法1雙中間變量向后遞推19 第二節(jié) 直接算法2雙中間變量向前遞推20 第三節(jié) 直接算法3單中間變量向后遞推21 第四節(jié) 直接算法4單中間變量向前遞推(簡約快速算法)21 第五節(jié) 串聯(lián)算法22 第六節(jié) 并聯(lián)算法23第四章 數(shù)字PID控制算法24 第一節(jié) 微分方程和差分方程25 第二節(jié) 不完全微分25 第三節(jié) 參數(shù)選擇26 第四節(jié) c51框架27第五章 保持器33 第一節(jié) 零階保持器33 第二節(jié) 一階保持器30附錄 兩種一階離散化方法的結(jié)果的比較31第一章 模擬化設(shè)計基礎(chǔ) 數(shù)字控制系統(tǒng)的設(shè)計有兩條道路，一是模擬化設(shè)計，一是直接數(shù)字設(shè)計。如果已經(jīng)有成熟的模擬控制器，可以節(jié)省很多時間和部分試驗(yàn)費(fèi)用，只

3、要將模擬控制器離散化即可投入應(yīng)用。如果模擬控制器還不存在，可以利用已有的模擬系統(tǒng)的設(shè)計經(jīng)驗(yàn)，先設(shè)計出模擬控制器，再進(jìn)行離散化。 將模擬控制器離散化，如果用手工進(jìn)行，計算量比較大。借助數(shù)學(xué)軟件MATLAB控制工具箱，可以輕松地完成所需要的全部計算步驟。如果需要的話，還可以使用MATLAB的SIMULINK工具箱，進(jìn)行模擬仿真。第一節(jié) 步驟步驟1 模擬控制器的處理 在數(shù)字控制系統(tǒng)中，總是有傳輸特性為零階保持器的數(shù)模轉(zhuǎn)換器（DAC），因此，如果模擬控制器尚未設(shè)計，則應(yīng)以下圖的方式設(shè)計模擬控制器，即在對象前面加上一個零階保持器，形成一個新對象，然后針對這個新對象求模擬控制器D(s)。事實(shí)上，模擬控制器

4、一般是已經(jīng)設(shè)計好的，無法或不方便更改了，離散化后的系統(tǒng)只好作為近似設(shè)計了。 然而，按照上述思路，可否將已有的控制器除以一個零階保持器再離散化呢？還沒有這方面的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。以下假設(shè)選定的G(s)，D(s)如下圖，而且不對G(s)作添加保持器的預(yù)處理。步驟2 離散化模擬控制器 離散化模擬控制器之前，先要確定離散化算法和采樣時間。離散化算法有好幾種，第二章中有詳細(xì)的論述，現(xiàn)假定采用雙線性變換法。確定采樣時間，需要考慮被控對象的特性，計算機(jī)的性能，以及干擾信號的影響等，初步可按采樣時間T<0.1Tp，Tp為被控對象時間常數(shù)，或T=(0.1250.25)，為被控對象的純滯后，初步確定后再綜合平衡其它

5、因素，當(dāng)然這需要一定的經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)在假定取0.05秒。 假設(shè)模擬控制器為，在MATLAB中，用c2d函數(shù)進(jìn)行離散化，過程為：ds=zpk(-2,-15,8) %建立模擬控制器的s傳遞函數(shù)dz=c2d(ds,0.05,'tustin') %將模擬控制器按tustin方法轉(zhuǎn)換為z傳遞函數(shù)的數(shù)字控制器dz=c2d(ds,0.05,'tustin') %將模擬控制器按tustin方法轉(zhuǎn)換為z傳遞函數(shù)的數(shù)字控制器 轉(zhuǎn)換結(jié)果為：步驟3 檢驗(yàn)數(shù)字控制器的性能 數(shù)字控制器的性能項(xiàng)目比較多，我們僅以直流增益，頻率特性，零極點(diǎn)分布說明。 直流增益 dcgain(dz)返回直流增益1.0

6、667 頻率特性 bode(ds,'r',dz,'g')伯德圖，見下頁左圖 零極點(diǎn)分布 pzmap(dz)零極點(diǎn)分布圖，見下頁右圖步驟4 離散化控制對象 為了進(jìn)行模擬仿真，需要對控制對象進(jìn)行離散化，由于步驟1所說的原因，應(yīng)把被控對象視為零階保持器與原對象的串連，即應(yīng)對進(jìn)行離散化，這時可在c2d函數(shù)中使用零階保持器(zoh)方法，如果認(rèn)為不需要添加零階保持器，即直接對G(s)離散化，則應(yīng)在c2d函數(shù)中使用沖擊響應(yīng)不變法（imp）。 借用零階保持器(zoh)方法，將對象帶一階保持器離散化的過程如下： . %模擬控制器D(s)轉(zhuǎn)換為D(z)的過程見前gs=zpk( ,

7、0,-2,20) %建立對象的s傳遞函數(shù)g1z=c2d(gs,0.05,'zoh') %借用c2d函數(shù)進(jìn)行帶零階保持器的對象的離散化 轉(zhuǎn)換結(jié)果為：步驟5 模擬仿真 求離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。 離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 用MATLAB算TRCZ與TRCS： trcz=dz*g1z/(1+dz*g1z)trcs=ds*gs/(1+ds*gs) 結(jié)果為： 用MATLAB函數(shù)STEP畫階躍響應(yīng)圖形：hold on %圖形保持step(trcs,'r',2) %畫連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖,紅色,終止時間為2秒step(tr

8、cz,'b',2) %畫離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖,蘭色,終止時間為2秒 響應(yīng)圖形為：步驟6 求數(shù)字控制器的時域表達(dá)式 上面已經(jīng)求出， 連續(xù)傳遞函數(shù)的tustin離散式為 ，或 。 對上式取z反變換，得時域表達(dá)式，根據(jù)此式就可以寫出計算的程序代碼來了。 除上述步驟之外，在編寫程序代碼時，還需要考慮幾個問題： ADC位數(shù) ADC位數(shù)是一個硬件問題，在系統(tǒng)設(shè)計時，就應(yīng)該結(jié)合控制算法，仔細(xì)分析ADC位數(shù)對控制精度的影響。 數(shù)據(jù)類型 在控制算法中有3種數(shù)據(jù)類型可以采用：無符號整數(shù)，定點(diǎn)數(shù)，浮點(diǎn)數(shù)。我們知道，無符號整數(shù)運(yùn)算既是最簡單和速度最快的運(yùn)算，又是定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算和浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。在數(shù)據(jù)動態(tài)

9、范圍比較小的情況下，應(yīng)盡可能用無符號整數(shù)運(yùn)算代替定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算和浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算。 浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算是一整套運(yùn)算，包括加，減，乘，除，對階，規(guī)格化，溢出處理等一系列子程序，使用浮點(diǎn)數(shù)的程序，將占用比較多的代碼空間和比較長的運(yùn)行時間。不論使用匯編語言還是c語言，對于是否使用浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，都應(yīng)進(jìn)行比較仔細(xì)的酌斟。 數(shù)值計算誤差 數(shù)值計算引入的誤差有3個方面，一是定點(diǎn)數(shù)字長不夠或者浮點(diǎn)數(shù)有效數(shù)字過少，一是兩個相近的數(shù)相減，一是加減乘除次數(shù)過多。在程序設(shè)計中，應(yīng)優(yōu)化算法以避免計算誤差的引入。第二節(jié) 在MATLAB中離散化 1. 建立s降冪傳遞函數(shù) 建立多項(xiàng)式型s降冪傳遞函數(shù) 方法1. sys = tf(num,den)

10、 方法2. s = tf('s')，再令sys = f(s) 例： 已知，用tf函數(shù)建立多項(xiàng)式型s降冪傳遞函數(shù)，若G0以零極點(diǎn)形式給出，即已知，仍可用tf函數(shù)建立多項(xiàng)式型s降冪傳遞函數(shù)，但需用多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv配合，G0=tf(conv(3,0.5 1),conv(conv(1 0,1 1),0.25 1) 建立零極點(diǎn)型s傳遞函數(shù) 方法1. sys = zpk(z,p,k) 方法2. s = zpk('s')，再令sys = f(s)。 2. 傳遞函數(shù)的轉(zhuǎn)換 將任意形式的s傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為s降冪傳遞函數(shù)sys = tf(sys) 將任意形式的s傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為s

11、零極點(diǎn)傳遞函數(shù)sys = zpk(sys) 3. 建立z傳遞函數(shù) 將連續(xù)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為離散傳遞函數(shù) sysd = c2d(sysc,t,method) 建立多項(xiàng)式形式的z傳遞函數(shù) 方法1. sys = tf(num,den,Dt) 方法2. z = tf('z',Dt)，再令sys = f(z) 建立零極點(diǎn)z傳遞函數(shù) 方法1. sys = zpk(z,p,k,Dt) 方法2. z = zpk('z',Dt)，再令sys = f(z) 4. 建立z-1格式的傳遞函數(shù) 直接根據(jù)分子和分母建立z-1格式的傳遞函數(shù)sys_z = filt(num,den,Dt) 當(dāng)已有

12、多項(xiàng)式形式的z降冪傳遞函數(shù)時，按以下步驟： 取z降冪傳遞函數(shù)a的分子多項(xiàng)式系數(shù)num,den = tfdata(sys_s,'v') 建立z-1格式的傳遞函數(shù)sys_z = filt(num,den,Dt) 5. 將多項(xiàng)式形式的高階z-1降冪傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為并聯(lián)傳遞函數(shù)，按以下步驟： “手工”將z-1降冪傳遞函數(shù)a改寫成多項(xiàng)式形式的z降冪傳遞函數(shù)b。 取z降冪傳遞函數(shù)b的分子多項(xiàng)式系數(shù)num和分母多項(xiàng)式系數(shù)den。 利用residue函數(shù)取z降冪傳遞函數(shù)b的分項(xiàng)分式，an ad ak=residue(num,den)。 分項(xiàng)結(jié)果可能出現(xiàn)共軛復(fù)數(shù)，在這種情況下應(yīng)將含有共軛復(fù)數(shù)的分式

13、合并成二次有理質(zhì)分式。 根據(jù)分項(xiàng)結(jié)果手工寫出z降冪多項(xiàng)式形式的并聯(lián)表達(dá)式。 “手工”將z降冪多項(xiàng)式形式的并聯(lián)表達(dá)式改寫成z-1降冪多項(xiàng)式形式的并聯(lián)表達(dá)式。 “手工”對z-1降冪多項(xiàng)式形式的并聯(lián)表達(dá)式中的每一個分式項(xiàng)降階，即將每一個分式項(xiàng)變形，使得分式項(xiàng)的分子的階次比分母的階次低1階，變形完畢再將全部常數(shù)項(xiàng)合并。 舉例 設(shè)有z-1降冪傳遞函數(shù) 改寫成z降冪傳遞函數(shù) ， 取分項(xiàng)矢量 an ad ak=residue(nz,dz) 得 an=0.5101 -0.1971 ad=1.0000 0.2700 ak=0.1 手工寫分項(xiàng)分式 ， 令 ， 令 又令 故 驗(yàn)證 實(shí)際上，大多數(shù)數(shù)字控制器的傳遞函數(shù)

14、都是一階或者二階的，所以需要分解的并不是很多。 6. 將高階z-1降冪傳遞函數(shù)生成串聯(lián)傳遞函數(shù)使用zpk函數(shù) sys_zpk= zpk(sys_pl)零極點(diǎn)的概念是相對于z而不是相對于z-1說的，但對于以z-1為變量的降冪傳遞函數(shù)sys_pl來說，仍然可以用zpk(sys_pl)生成以z-1為變量的因式積形式傳遞函數(shù)，權(quán)且也稱為零極點(diǎn)形式。zpk函數(shù)對于z降冪傳遞函和z-1降冪傳都能得到合理的結(jié)果，原因是zpk函數(shù)的作用就是把分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式分別進(jìn)行因式分解。第三節(jié) 延時環(huán)節(jié)e-Ts的處理 在建立s傳遞函數(shù)的LTI模型時，對于延時環(huán)節(jié)e-T s，可按如下方法處理： 1. 在tf函數(shù)中使用

15、屬性inputdely或者iodely ，例如：>> tf(1 -1,1 3 5,'inputdelay',0.35)將返回以下形式的傳遞函數(shù) s 1exp(-0.35*s) * - s2 + 3 s + 5使用這個方法不能建立形如的傳遞函數(shù)，因?yàn)閹а訒r的傳遞函數(shù)不能與不帶延時的傳遞函數(shù)相加，但可以使用c2d進(jìn)行離散化，但要求延時時間t必須是采樣時間Dt的整數(shù)倍，若不是整數(shù)倍，則在轉(zhuǎn)換時不理會延時環(huán)節(jié)，例如：用tf函數(shù)建立2個傳遞函數(shù)，主體部分相同，但一個無輸入延時，一個有輸入延時0.35s， >> a=tf(1 -1,1 4 5) s - 1 - s2

16、 + 4 s + 5 >> a1=tf(1 -1,1 4 5,'iodelay',0.35) s - 1 exp(-0.35*s) * - s2 + 4 s + 5 若采樣時間為0.05，因?yàn)檠訒r時間是采樣時間的整數(shù)倍，轉(zhuǎn)換結(jié)果的主體部分完全一樣： >> c2d(a,0.05,'imp') z2 - 1.039 z + 9.146e-018 - sampling time： 0.05 z2 - 1.807 z + 0.8187 >> c2d(a1,0.05,'imp') z2 - 1.039 z + 9.146

17、e-018 z(-7) * - sampling time： 0.05 z2 - 1.807 z + 0.8187 若采樣時間為0.1，因?yàn)檠訒r時間不是采樣時間的整數(shù)倍，結(jié)果的主體部分不一樣： >> c2d(a,0.1,'imp') z2 - 1.06 z + 4.349e-018 - sampling time： 0.1 z2 - 1.629 z + 0.6703 >> c2d(a1,0.1,'imp') 0.768 z - 0.851 z(-3) * - sampling time： 0.1 z2 - 1.629 z + 0.6703

18、 2. 將e-Ts有理化 設(shè)，因e-Ts的一階有理表達(dá)式是 ，故 。 為了對ts進(jìn)行離散化，首先使用tf函數(shù)建立lti模型的ts。若，則。 3. 在離散化時使用恒等式 設(shè)，因，采樣時間為t，若T=mt，則，因?yàn)殡x散化時總是認(rèn)為，故取。 根據(jù)以上假設(shè)，用MATLAB的c2d函數(shù)對g(s)進(jìn)行離散化，則，進(jìn)而。則。第四節(jié) 控制函數(shù)分類以下函數(shù)在control toolbox中，這里所述僅限于siso模型1 創(chuàng)建多項(xiàng)式形式的傳遞函數(shù) sys = tf(num,den) 創(chuàng)建一個s降冪多項(xiàng)式連續(xù)傳遞函數(shù)sys，分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù)分別為num和den。 sys = tf(num,den,Dt

19、) 創(chuàng)建一個z降冪離散傳遞函數(shù)sys，Dt是采樣時間，行矢量num和den同上。 sys = tf(sys) 把一個任意的lti模型sys轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式傳遞函數(shù)，例如把零極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換成多項(xiàng)式傳遞函數(shù)。 sys = tf 創(chuàng)建一個空的tf對象。 sys = tf(m) 指定靜態(tài)增益m。2 創(chuàng)建零極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù) sys = zpk(z,p,k) 創(chuàng)建一個零極點(diǎn)模型的連續(xù)傳遞函數(shù)sys，零極點(diǎn)矢量分別是z和p，增益是k。 sys = zpk(z,p,k,Dt) 創(chuàng)建一個零極點(diǎn)模型的離散傳遞函數(shù)sys，零極點(diǎn)矢量分別是z和p，增益是k，采樣時間是Dt。在零極點(diǎn)對象中，如果沒有零點(diǎn)，則z=。 sys

20、= zpk 創(chuàng)建一個空的零極點(diǎn)對象。 sys = zpk(d) 指定靜態(tài)增益d。3 創(chuàng)建任意形式的傳遞函數(shù) s = tf('s') 指定多項(xiàng)式傳遞函數(shù)變量為s變量 z = tf('z',Dt) 指定多項(xiàng)式傳遞函數(shù)變量為z變量，Dt為采樣時間 形如的傳遞函數(shù)，既不能直接用tf函數(shù)建立，也不能直接用zpk函數(shù)建立。 定義了s=tf('s')后，寫出賦值式f=10/(s*(0.25*s+1)*(0.05*s+1)，回車后即可得到多項(xiàng)式型傳遞函數(shù)，再令f1=zpk(f)，可得。 s = zpk('s') 指定零極點(diǎn)傳遞函數(shù)變量為s變量 z

21、 = zpk('z', Dt) 指定零極點(diǎn)傳遞函數(shù)變量為z變量，Dt為采樣時間 定義了s = zpk('s')，寫出賦值式f=10/(s*(0.25*s+1)*(0.05*s+1)，回車后即可得到零極點(diǎn)型傳遞函數(shù)。4 建立z-1降冪離散傳遞函數(shù) sys = filt(num,den,Dt) 返回z-1降冪離散傳遞函數(shù)，num和den分別是分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)，Dt是采樣時間。 sys = filt(m) 返回增益離散傳遞函數(shù)。5 連續(xù)函數(shù)離散化 sysd = c2d(sysc,t,method)把連續(xù)傳遞函數(shù)sysc轉(zhuǎn)換成采樣時間為Dt的離散傳遞函數(shù)，字符串me

22、thod為離散化方法： 'zoh'(零階保持，即階躍響應(yīng)不變)，'foh'(一階保持)，'imp'(沖擊響應(yīng)不變,v6以上版本)，'tustin' (雙線性近似)，'prewarp'(帶預(yù)畸變的雙線性近似)，'matched'(零極點(diǎn)匹配)。 注： 缺省的方法是'zoh' 'foh'的算法是而不是，這一點(diǎn)可以通過驗(yàn)證證實(shí)，驗(yàn)證方法是，令，但此結(jié)果中，的分子和分母將含有公因式，所以應(yīng)進(jìn)一步用zpk函數(shù)把表示成零極點(diǎn)形式，然后用“手工”的方法寫出不含公因式的來，可以看到，

23、最后的結(jié)果與用foh方法得到的結(jié)果完全一致。 當(dāng)使用'prewarp'方法時，臨界頻率wc(in rad/sec)作為第四個輸入來指定，如sysd = c2d(sysc,t,'prewarp',wc) 。另有1種形式是，opt = c2dOptions('Method','tustin','PrewarpFrequency',.5), c2d(ds,.05,opt)。6 取多項(xiàng)式模型傳遞函數(shù)的分子和分母的系數(shù)矢量 num,den = tfdata(sys,'v') 對于siso模型sys返回作為分子

24、和分母系數(shù)的單行矩陣num和den。 num,den,t = tfdata(sys,'v') 同上，同時返回采樣時間Dt。7 取零極點(diǎn)模型傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的單行矩陣 z,p,k = zpkdata(sys,'v') 返回lti模型sys的零極點(diǎn)矢量z和p，增益k。8 取e-T s近似式 num,den = pade(t,n) 返回e-T·s的n階pade近似式，行矢量num和den是s的降冪多項(xiàng)式系數(shù)。 e-Ts的一階有理表達(dá)式是 。 e-T·s的高階有理表達(dá)式是 9 畫階躍響應(yīng)圖 step(sys) 畫出由tf，zpk，or ss等函數(shù)

25、創(chuàng)建的lti模型sys的階躍響應(yīng)圖。 step(sys,tfinal) 畫出lti模型sys從t=0到t=tfinal的階躍響應(yīng)圖。對于未指定采樣時間的離散模型，tfinal被解釋為采樣的數(shù)目。 step(sys,t) 使用用戶提供的矢量t畫階躍響應(yīng)圖。對于離散時間模型，t的形式應(yīng)該是ti: Dt:tf，在這里，Dt是采樣時間。對于連續(xù)時間模型，t的形式應(yīng)該是ti:dt:tf，在這里，dt變成對于連續(xù)系統(tǒng)的近似離散化的采樣時間。Ti是開始時間，tf是終止時間。因?yàn)殡A躍輸入總是假定在t=0開始，所以通常不考慮ti和tf，即只使用一個終止時間t。 step(sys1,sys2,.,t) 在一個單個

26、的圖上畫出多個lti模型sys1，sys2，. 的階躍響應(yīng)圖，時間矢量t是可選擇，還可以以step(sys1,¢r¢,sys2,¢y¢,sys3,¢gx¢)的方式對每一個系統(tǒng)指定顏色，線型和標(biāo)記。 y,t = step(sys) 返回用于仿真的時間t的輸出響應(yīng)y，但并沒有圖形畫在屏幕上，如果sys有ny輸出和nu輸入和lt = length(t)，y就是一個尺寸為lt ny nu的陣列，而y(:,:,j)給出第j個輸入通道的階躍響應(yīng)。10 畫脈沖響應(yīng)圖 impulse 脈沖響應(yīng)函數(shù)，用法與step相同11 畫頻率響應(yīng)圖-伯德圖(連續(xù)或

27、離散) bode(sys) 畫伯德圖 bode(sys,wmin,wmax) 在頻率wmin，wmax(in radians/second)之間畫伯德圖 bode(sys,w) 按指定的頻率矢量w(in radians/second)畫伯德圖 bode(sys1,sys2,.) 畫多個lti模型sys1，sys2，.的伯德圖 bode(sys1,sys2,.,w) 按指定的頻率矢量w(in radians/second)畫多個lti模型sys1，sys2，.的伯德圖以下函數(shù)在符號工具箱symbolick中，需注意，在使用這些函數(shù)前，要對所使用的變量進(jìn)行符號說明，例如：syms a t %是用空

28、格分隔而不是用逗號分隔a=sin(t)L=laplace(a)12 福里哀變換fourier 反福里哀變換ifourier13 拉普拉斯變換laplace 反拉普拉斯變換ilaplace14 z變換ztrans 反z變換iztrans注：以上3 種變換必須是符號表達(dá)式，例如： syms t laplace(sin(t)15 改善公式的可讀性pretty16 多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為符號表達(dá)式poly2sym17 化簡符號表達(dá)式simplify18 取符號表達(dá)式的分子和分母numden以下函數(shù)在符號工具箱polyfun中，在公式變換中可能會用到19 部分分式展開an ad ak = residue(n,d)

29、 n和d分別為原分式的分子和分母矢量，an和ad分別為分項(xiàng)式的分子和分母矢量，ak為整式部分。這是一個數(shù)學(xué)公式，在數(shù)字控制器程序設(shè)計中，利用部分分式展開的方法，把高于2階的分式變換為不高于2階的分式之和，從而把高階傳遞函數(shù)算法變?yōu)榈碗A傳遞函數(shù)并聯(lián)的算法。在使用這個方法時，不論在分子矢量中還是在分母矢量中，如果有共軛復(fù)數(shù)出現(xiàn)，則應(yīng)將其整合為2階質(zhì)因式。20 多項(xiàng)式乘法c = conv(a,b) a×b=c21 多項(xiàng)式除法q,r = deconv(b,a) b÷a=q.r，即b = conv(a,q) + r第二章 離散化算法 連續(xù)傳遞函數(shù)離散化的核心環(huán)節(jié)，就是將控制器的s傳遞

30、函數(shù)轉(zhuǎn)換為z傳遞函數(shù)。離散化后，系統(tǒng)應(yīng)該仍有好的穩(wěn)定性，好的控制精度，而不是要求轉(zhuǎn)換前后，兩個數(shù)學(xué)公式等值。因此，離散化方法有多種。本章對這些方法的轉(zhuǎn)換原理和由來進(jìn)行了演繹。 離散化后得到的離散傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性，沒有進(jìn)行討論，僅列了一張表進(jìn)行比較。離散的結(jié)果，雖然可能會控制精度降低，應(yīng)該認(rèn)為，這不是主要問題。真正影響控制精度的因素，主要還是采樣周期的長短。 一般情況下，由連續(xù)到離散的設(shè)計最好多實(shí)驗(yàn)幾種方法（通過仿真，得出滿意的結(jié)果）。因?yàn)槠ヅ淞恪O點(diǎn)映射法、雙線性變換法都能得出比較滿意的結(jié)果，初步設(shè)計時，可以試用這些方法。 而其實(shí)，后向差分近似法也是合理的選擇。但MATLAB的c2d函數(shù)中沒有

31、這一方法，在該方法的介紹之后，給出了一個可由MATLAB引用的m文件函數(shù)。摘要 3種保持器法 保持器法即將s函數(shù)串聯(lián)上一個保持器后取z變換，也可以從“對輸入信號的響應(yīng)不變”的角度導(dǎo)出。無保持器法（階躍響應(yīng)不變）imp 零階保持器法（階躍響應(yīng)不變）zoh 一階保持器法（斜坡輸入不變）foh（一階保持器）MATLAB中無此方法 4種近似法 近似法將s與z的無理關(guān)系近似地化為有理關(guān)系，主要應(yīng)用于傳遞函數(shù)從連續(xù)到離散的變換。 后向差分近似法MATLAB的C2D函數(shù)中沒有這個方法 前向差分近似法MATLAB的C2D函數(shù)中沒有這個方法 雙線性近似法tustin 預(yù)畸雙線性近似法 ，w1為進(jìn)行預(yù)畸變的頻率p

32、revarp 增益匹配： 或 1種匹配法 匹配法完全從控制學(xué)的角度看問題，也是應(yīng)用于傳遞函數(shù)從連續(xù)到離散的變換。 零極點(diǎn)匹配法 若，matched 則， 或者， 確定增益kz： a 令， b 若D(s)分子有s因子，例如， 可以令 ，也可以令 比較離散化方法變換公式映射關(guān)系特點(diǎn)沖擊響應(yīng)不變法Z變換法 imp脈沖響應(yīng)采樣值相同；容易產(chǎn)生頻率混迭現(xiàn)象，為采樣角頻率。階躍響應(yīng)不變法零階保持器法 zoh階躍響應(yīng)采樣值相同；穩(wěn)定增益不變。斜坡響應(yīng)不變法一階保持器法 foh向前差分法D(s)穩(wěn)定，D(z)可能不穩(wěn)定；等效精度差。向后差分法變換計算簡單；如果D(s)穩(wěn)定，D(z)穩(wěn)定；離散濾波器的過程特性及

33、頻率特性有一定的失真，需要較小的采樣周期T。雙線性變換法 tustinD(s)穩(wěn)定，D(z)也穩(wěn)定；低頻特失真，但無頻率混迭現(xiàn)象。穩(wěn)定增益不變；具有串聯(lián)特性。預(yù)修正雙線性變換法 prevarp有前一種變換的特點(diǎn);還能保證在關(guān)鍵頻率1處，幅頻特性不變。零極點(diǎn)匹配法 matchedZ域與s域零極點(diǎn)位置一一對應(yīng)；當(dāng)沒有零點(diǎn)時，補(bǔ)充z=1的零點(diǎn)可避免頻率混迭現(xiàn)象。第一節(jié) 沖擊響應(yīng)不變法(imp，無保持器直接z變換法) 公式推導(dǎo)1 無保持器，直接轉(zhuǎn)換：公式推導(dǎo)2 按沖擊響應(yīng)不變的原則： （沖擊響應(yīng)不變，中的1表示）第二節(jié) 階躍響應(yīng)不變法(zoh，零階保持器z變換法) ，式中T為采樣周期，所以 公式推導(dǎo)1

34、 按串聯(lián)零階保持器的原則： 因?yàn)榱汶A保持器的s傳遞函數(shù)為，故公式推導(dǎo)2 按階躍響應(yīng)不變的原則： 設(shè)階躍信號，則，按照下一節(jié)對斜坡響應(yīng)不變法的推導(dǎo)，立即可以寫出第三節(jié) 斜坡響應(yīng)不變法(foh，一階保持器z變換法) ，按斜坡響應(yīng)不變原則導(dǎo)出，也可按一階保持器原則配合e-Ts的臺勞近似式得出，foh方法使用此式 ，從一階保持器的思路推出 以上2個公式中T為采樣周期，兩式差異請參看“附錄 兩種一階離散化方法的結(jié)果的比較”。公式推導(dǎo)1 按斜坡響應(yīng)不變的原則： 設(shè)連續(xù)濾波器為D(s)，輸入為斜坡函數(shù)e(t)=t，則，采樣輸出為us(kT)。按z變換的定義，us(kT)的變換就是的z變換，故。 又設(shè)離散濾波

35、器的傳遞函數(shù)為D(z)，它的輸出為uz(KT)，按斜坡響應(yīng)不變的要求，應(yīng)有uz(kT)=us(kT)，故，但離散濾波器的輸出為U(z)=E(z)D(z)，而斜坡函數(shù)e(t)=t的z變換為，求Uz(z) 與E(z)的比值，得斜坡響應(yīng)不變法離散公式 。公式推導(dǎo)2 按串聯(lián)一階保持器的原則： 一階保持器的傳遞函數(shù)為，則一階保持器法離散公式為，故 。 根據(jù)臺勞近似式，用取代中的Ts+1，則得到。 顯然，反過來也可以將近似為。 由此可以認(rèn)為，“斜坡響應(yīng)不變公式”和“串聯(lián)一階保持器公式”互為近似式。經(jīng)驗(yàn)證，MATLAB的C2D函數(shù)中foh方法使用的就是“斜坡響應(yīng)不變法公式”。 使用臺勞近似式的條件是，T很小

36、，時間單位也很小。第四節(jié) 后向差分代換法(backward difference) 公式推導(dǎo)1 近似微分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，取反變換得， 將中的微分用后向差分代替，得， 對上式取z變換，得 ， 整理后得離散傳遞函數(shù) ， 比較和，知 。公式推導(dǎo)2 近似積分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，反變換得 ，進(jìn)行近似積分，而且把輸出看作由兩部分組成，一部分是前一個時刻面積的累加值，一部分是本次的面積值。如果認(rèn)為本次的面積是本次采樣值與采樣周期的乘積，則 式(B) 取z變換，得 合并同類項(xiàng)，得離散傳遞函數(shù) 比較和，知 。 所以，后向差分法就是積分法，并且以當(dāng)前采樣值為計算依據(jù)，所以可以稱為本次采樣積分，式(B)

37、的圖形見下頁。公式推導(dǎo)3有理化z與s的關(guān)系： ，由此式求得。% 差分近似法 function y=c2d1(ds,t0,str)% 函數(shù) c2d1 補(bǔ)充MATLAB控制類函數(shù) c2d 之不足,可以將連續(xù)傳遞函數(shù)以向前差分法和向后差分法變換為離散傳遞函數(shù)% 因?yàn)殡p線性變換法與向前差分法和向后差分法同屬近似法,所以 c2d1 函數(shù)也包括了雙線性變換法% 輸出參數(shù) y ： LTI模型,離散傳遞函數(shù)% 輸入?yún)?shù) ds ： LTI模型,連續(xù)傳遞函數(shù)% t0 ： 數(shù)值,采樣時間% str ： 字符串,變換方法 backdiff=向后差分 fordiff=向前差分 tustin=雙線性syms z;% -檢

38、查采樣時間Ts是否大于0if t0<=0 error('Ts<0 or Ts=0 unallowed');end% -根據(jù)輸入的"方法",確定代入公式if strcmp(str,'backdiff') s=(z-1)/(t0*z); string='coefficient of result of backward difference:' string1='zero-pole of result of backward difference:'elseif strcmp(str,'ford

39、iff') s=(z-1)/t0; string='coefficient of result of forward difference:' string1='zero-pole of result of forward difference:'elseif strcmp(str,'tustin') s=(2/t0)*(z-1)/(z+1); string='coefficient of result of double linear:' string1='zero-pole of result of doubl

40、e linear:'else disp(' '); error('please chek method parameter');end% -%以下將模型的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為符號表達(dá)式,以便s=f(z)代入到ds中num,den=tfdata(ds,'v'); %取模型連續(xù)傳遞函數(shù)的分子和分母(多項(xiàng)式)nums=poly2sym(num,'s');%將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為符號dens=poly2sym(den,'s');tran=nums/dens; %生成一個符號分式m=compose(tran,s); %代入m=si

41、mplify(m); %化簡n d=numden(m); %取符號表達(dá)式的分子和分母n=sym2poly(n); %取符號表達(dá)式的分子多項(xiàng)式系數(shù)，按降冪排列d=sym2poly(d); %取符號表達(dá)式的分母多項(xiàng)式系數(shù)，按降冪排列% -%以下顯示分子和分母的系數(shù),是輔助性的disp(string)n=n/d(1); %使分母的最高項(xiàng)的系數(shù)為1d=d/d(1);n_str=num2str(n);d_str=num2str(d);n_disp=strcat('fn = ',n_str);d_disp=strcat('fd = ',d_str);disp(n_disp)

42、;disp(d_disp);% -%以下生成離散傳遞函數(shù)y=tf(n,d,t0);% -%以下求出離散傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)disp(string1);z p k=zpkdata(y,'v')% -%以下畫出連續(xù)傳遞函數(shù)和離散傳遞函數(shù)的伯德圖bode(ds,'r',y,'g');zpk(z,p,k,t0)% 程序結(jié)束第五節(jié) 前向差分代換法(forward difference) 公式推導(dǎo)1 近似微分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，反變換得 ， 將中的微分用前向差分代替，得 。 將所有的采樣值提前一個周期，得 ， 。 取z變換，得 ， 故 。 整理后得離散傳

43、遞函數(shù) 。 比較和，知 。 也可以不進(jìn)行時間位移，直接從 進(jìn)行z變換，同樣可得 ， 。 。公式推導(dǎo)2 近似積分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，則，它的積分表達(dá)式是，進(jìn)行近似積分，而且把輸出看作由兩部分組成，一部分是前一個時刻面積的累加值，一部分是本次的面積值。如果認(rèn)為本次的面積是前次采樣值與與采樣周期的乘積，則 (式B)， 取z變換，得 ， 合并同類項(xiàng)，得離散傳遞函數(shù) 。 比較和，得 所以，前向差分法就是積分法，并且以前一次采樣值為計算依據(jù)，所以可以稱為前次采樣積分，式(B)的圖形是公式推導(dǎo)3 有理化z與s的關(guān)系： ，由此式求得。第六節(jié) 雙線性近似法(tustin) 公式推導(dǎo)1 近似微分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)

44、，則，它的微分表達(dá)式是。 將用后向差分代替，用前采樣值與本次采樣值的平均值代替，得， 對上式取z變換 ， 即 ， 故 ， 比較和，得 。公式推導(dǎo)2 近似積分： 設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)，它的積分表達(dá)式是，進(jìn)行近似積分，而且把輸出看作由兩部分組成，一部分是前一個時刻面積的累加值，一部分是本次的面積值。如果認(rèn)為本次面積是前次采樣值與本次采樣值，兩次采樣值的平均值平均值與采樣周期的乘積，則 (式B), 取z變換，得 , 合并同類項(xiàng)，得 。 比較和，得 。 所以，雙線性近似法也是積分法，與差分法不同的是它是梯形積分，式(B)的圖形是：公式推導(dǎo)3 有理化z與s的關(guān)系： ，由此式求得。公式推導(dǎo)4 使用的臺勞級數(shù)：

45、由，得 故。公式推導(dǎo)5 使用th s壓縮s平面： 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的。為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想通過兩個步驟建立S平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系。雙線性變換的映射關(guān)系 第一步 將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里 考察雙曲正切變換，當(dāng)由時，w由，也就是說將s平面的w軸壓縮到平面軸上的一段上。將這一關(guān)系推廣到整個s平面，則得到s平面到平面的映射關(guān)系，系數(shù)的來源是，當(dāng)時，可得。 第二步 通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去 令，得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系， 或者 驗(yàn)證： 變換的單值性：當(dāng)時，代入，即S的虛軸映射

46、到Z平面正好是單位圓。 S平面 Z平面 S1平面 變換的穩(wěn)定性： 代入z表達(dá)式，得 和。當(dāng)時，|z|<1即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此，穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。第七節(jié) 預(yù)畸雙線性法(prevarp) 第一步：求預(yù)修正頻率 ，w1為預(yù)防畸變的頻率， 為修正后的頻率。 第二步：預(yù)畸變 。 第三步：變換 。 綜合以上3步： ，w1為預(yù)防畸變的頻率 。 變換后，穩(wěn)態(tài)增益將變化，需以或的原則進(jìn)行增益匹配。 舉例： 若 ， 則 若 ， 則第八節(jié) 零極點(diǎn)匹配法(matched) D(S) è D(Z) 若 ， 則 。 分子上因子(Z+1)n-m的作用是：把處的零點(diǎn)投射到來單位園上，使D(Z)的分母和分子的階數(shù)就相同。（如果不加這個因子，D(Z)脈沖響應(yīng)會產(chǎn)生n-m個采樣時間的延遲，對系統(tǒng)造成不利影響?）。 或者 。 后一個公式比前一個公式少一個零點(diǎn)，MATLAB函數(shù)c2d的matched方法是按后一個公式進(jìn)行變換的（但脈沖響應(yīng)具有一個采樣時間的延遲?）。 確定D(z)的增益kz的方法： a 令與的穩(wěn)態(tài)增益相等求得，即令， b 若D(s)分子有s因子，例如，可依高頻段增益相等原則確定增益,即，也可選擇某關(guān)鍵頻率處的幅頻相等，即。 對零極點(diǎn)匹配法