量子力學教程第三十講

1、Spin and identical particle 第三十講第三十講7.7 7.7 全同粒子體系的波函數(shù)，全同粒子體系的波函數(shù)，泡利原理泡利原理Spin and identical particle1.知道多粒子體系波函數(shù)的構(gòu)成方法和條件。知道多粒子體系波函數(shù)的構(gòu)成方法和條件。2. 掌握多粒子體系波函數(shù)的對稱性，及兩種掌握多粒子體系波函數(shù)的對稱性，及兩種不同粒子的對稱性。不同粒子的對稱性。學 習 內(nèi) 容學 習 內(nèi) 容重點難點重點Spin and identical particle7.7 7.7 全同粒子體系的波函數(shù)，泡利原理全同粒子體系的波函數(shù)，泡利原理一、兩粒子體系一、兩粒子體系在不考

2、慮粒子間相互作用時，體系的哈米頓算符在不考慮粒子間相互作用時，體系的哈米頓算符)()(2010qHqHH 以以 和和 表示表示 的第的第i i個本征值和本征函數(shù)，則個本征值和本征函數(shù)，則單粒子的本征值方程為：單粒子的本征值方程為：ii0H01110222() ()()()()()iiijjjHqqqHqqq 體系的哈米頓算符的本征值方程為：體系的哈米頓算符的本征值方程為： ),(),(2121qqEqqHSpin and identical particle)()(),(2121qqqqji本征波函數(shù)本征波函數(shù) （7.7-4） 本征能量本征能量 ijE若兩粒子交換，則若兩粒子交換，則2121(

3、,)()()ijqqqq（7.7-6） 能量值仍為能量值仍為 是簡并的，這種簡并稱為是簡并的，這種簡并稱為交換簡并交換簡并。 ijE如果兩粒子處于同一狀態(tài)，如果兩粒子處于同一狀態(tài)， ji則（則（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）給出同一個對稱波函數(shù)）給出同一個對稱波函數(shù) 122112( ,)(,)( ) ()iiq qq qqq如果兩粒子處于不同狀態(tài)，如果兩粒子處于不同狀態(tài)，ji 則（則（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）式的函數(shù)既不對稱，也）式的函數(shù)既不對稱，也不反對稱，故不符合全同粒子體系波函數(shù)的要求。不反對稱，故不符合全同粒子體系波函數(shù)的要求。Sp

4、in and identical particle 這表明（這表明（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）兩式所表示的函數(shù)，）兩式所表示的函數(shù)，只能部分滿足全同粒子體系對波函數(shù)的要求，不能只能部分滿足全同粒子體系對波函數(shù)的要求，不能完全滿足，故不能作為全同粒子體系的波函數(shù)。完全滿足，故不能作為全同粒子體系的波函數(shù)。 但由（但由（7.7-47.7-4）和（）和（7.7-67.7-6）兩式的和、差可以）兩式的和、差可以構(gòu)成對稱函數(shù)和反對稱函數(shù)。構(gòu)成對稱函數(shù)和反對稱函數(shù)。sA玻色系統(tǒng)：玻色系統(tǒng)： 1212211( , )( , )( , )2sq qq qq q費米系統(tǒng)：費米系統(tǒng)：

5、1212211( , )( , )( , )2Aq qq qq qSpin and identical particle泡 利 原 理對玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當兩個對玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當兩個玻色子處于同一個狀態(tài)時玻色子處于同一個狀態(tài)時 ，這時，這時 ，故幾率密度，所以允許。，故幾率密度，所以允許。 12(,)sq q1221( ,)(,)ssq qq q 12( ,)0sq q0),(221qqs對于費米系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當兩費對于費米系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當兩費米子處于同一個狀態(tài)時，故使幾率密度米子處于同一個狀態(tài)時，故使幾率密度，所以不允許。，所以不允許。),(21qqA0),(

6、21qqA212( ,)0Aq q泡利不相容原理：泡利不相容原理：費米系統(tǒng)中，兩個費米子不能處費米系統(tǒng)中，兩個費米子不能處 于同一個狀態(tài)于同一個狀態(tài)正是這個原理，使核和原子等的結(jié)構(gòu)有序。正是這個原理，使核和原子等的結(jié)構(gòu)有序。Spin and identical particle二、二、N N粒子體系粒子體系將兩粒子體系推廣到將兩粒子體系推廣到N N粒子體系粒子體系單粒子的本征值方程：單粒子的本征值方程：0()()()nknkknHqqq 體系的薛定格方程：體系的薛定格方程：),(),()(212110NNNinqqqEqqqqH本征函數(shù)本征函數(shù) 1212( ,)( ) ( )()NijkNq

7、qqqqq（7.7-13） NnnNqHqHqHqHH1002010)()()()(（7.7-13） 本征能量本征能量12NESpin and identical particle三、費米子體系波函數(shù)三、費米子體系波函數(shù)可見，在不考慮粒子間相互作用時，全同粒子可見，在不考慮粒子間相互作用時，全同粒子體系的能量等于各單粒子能量之和，哈米頓算符的體系的能量等于各單粒子能量之和，哈米頓算符的本征函數(shù)是各單粒子的本征函數(shù)的積。因此，解多本征函數(shù)是各單粒子的本征函數(shù)的積。因此，解多粒子體系的問題，歸結(jié)為解單粒子的薛定格方程。粒子體系的問題，歸結(jié)為解單粒子的薛定格方程。下面分別討論費米系統(tǒng)和玻色系統(tǒng)的波函

8、數(shù)形式。下面分別討論費米系統(tǒng)和玻色系統(tǒng)的波函數(shù)形式。 由由N N個費米子組成的體系的個費米子組成的體系的本征本征函數(shù)是反對稱函數(shù)是反對稱的的，依照（，依照（7.7-137.7-13）式）式),(21NAqqq)()()()()()()()()(!1212121NkkkNjjjNiiiqqqqqqqqqN稱為稱為斯萊斯萊特行特行列式列式 Spin and identical particle 是歸一化的， 是 的歸一化因子。將斯萊特行列式展開，共有 項如（7.7-13）式的形式，因而, 是體系薛定格方程 的本征函數(shù)解。)(liq!1N!NAAAEHA 交換任意兩個粒子，在斯萊特行列式中就表現(xiàn)出兩

9、列相互交換，這就使行列式改變符號。所以 是反對稱的。A 如果N個粒子中，有兩個處于同一個狀態(tài)，則斯萊特行列式中有兩行完全相同，這使行列式等于零，從而使 ，幾率 。要使 ，不能有兩粒子處在同一單粒子態(tài)。這也就是泡利的不相容原理。0A02A02ASpin and identical particle例 一個體系由三個費米子組成，粒子間無相互作一個體系由三個費米子組成，粒子間無相互作用，它們分別可能處于單粒態(tài)用，它們分別可能處于單粒態(tài) 、 、 ，求系統(tǒng)波，求系統(tǒng)波函數(shù)。函數(shù)。123Solve)()()()()()()()()(! 31),(332313122212312111321qqqqqqqqq

10、qqqA1122331223311321321 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3!qqqqqqqqq122133112332132231( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qqqqqqqqqSpin and identical particle四、玻色子體系的波函數(shù)四、玻色子體系的波函數(shù) N N個玻色子所組成的體系的波函數(shù)應(yīng)是對稱的。個玻色子所組成的體系的波函數(shù)應(yīng)是對稱的。它也由（它也由（7.7-137.7-13）式進行構(gòu)成。所不同的是單粒）式進行構(gòu)成。所不同的是單粒子態(tài)子態(tài) 中，能容納的玻色子數(shù)不受限制，可大中，能容納的玻色子

11、數(shù)不受限制，可大于于1 1。波函數(shù)形式可表示為：。波函數(shù)形式可表示為： iPNkjiNsqqqPCqqq)()()(),(2121式中式中P P表示表示N N個粒子在波函數(shù)中的某一種排列，個粒子在波函數(shù)中的某一種排列， 表表示對所有可能的排列求和，而示對所有可能的排列求和，而C C則為歸一化常數(shù)。則為歸一化常數(shù)。PSpin and identical particle 設(shè)設(shè)N N個玻色子中，有個玻色子中，有 個處于個處于 態(tài)，有態(tài)，有 個處于個處于 態(tài)，有態(tài)，有 個處于個處于 態(tài)，而態(tài)，而 ，則體系的，則體系的 波函數(shù)為：波函數(shù)為：i1n2njkNnkllNn111121211211!( ,

12、, ,)( )( )()()( )!kkllsNiinjnjn nknPnnnnq qqPqqqqqN 個個個式中，因為N 個粒子排列共有 kllknNnnnN！121!種不相同的形式。Spin and identical particle所以歸一化因子為：1!kllCnNEx.1 在在N N個全同玻色子所組成的體系中，如果有個全同玻色子所組成的體系中，如果有 個個粒子處在單粒子態(tài)粒子處在單粒子態(tài) 中中, , ，求此體系的歸，求此體系的歸一化波函數(shù)。一化波函數(shù)。iniiiNn Solve： 當當N N個全同玻色子處于個全同玻色子處于N N個不同的單粒子個不同的單粒子狀態(tài)時，體系的玻函數(shù)為：狀態(tài)

13、時，體系的玻函數(shù)為：12( )()()ijkNPCPqqqSpin and identical particle由于單粒子態(tài)是正交歸一的，則上式變?yōu)椋河捎趩瘟Ｗ討B(tài)是正交歸一的，則上式變?yōu)椋篘這里這里 表示表示 個粒子在個粒子在 個單粒子態(tài)上各占一態(tài)個單粒子態(tài)上各占一態(tài)的某一種排列，而的某一種排列，而 表示對各種可能排列方式的表示對各種可能排列方式的種數(shù)求和，應(yīng)有種數(shù)求和，應(yīng)有 種。種。pPpN!NPPiidqPqPCd1)()(1*12*根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件：根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件：1!2 NC1/!CN歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)Spin and identical particle 當當 個粒子

14、處于某一個態(tài)個粒子處于某一個態(tài) 時時, 有有 種種交換，即交換，即 種排列不形成新的狀態(tài)，這時求和種排列不形成新的狀態(tài)，這時求和的項數(shù)不是的項數(shù)不是 ，而應(yīng)是，而應(yīng)是inn!in!in!NinN!/ !iinCN歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)歸一化波波函數(shù)!()()()!iiiijjkkPnPqqqNSpin and identical particle 一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的玻函數(shù)怎樣用單粒子系可能的狀態(tài)有幾個？它們的玻函數(shù)怎樣用單

15、粒子態(tài)構(gòu)成？態(tài)構(gòu)成？ (教材習題教材習題7.6) 7.6) Solve:設(shè)兩單粒子態(tài)為設(shè)兩單粒子態(tài)為 和和 。Ex.2有兩種情況：Spin and identical particle第 一 種 情 況 ：第 一 種 情 況 ：三粒子同處于三粒子同處于 態(tài)：態(tài)：(1)1,2,3123()( )()()sq q qqqq三粒子同處于三粒子同處于 態(tài)：態(tài)： (2)123123( ,)( )()()sq q qqqq(1) (1) 三個玻色子處在同一個狀態(tài)。三個玻色子處在同一個狀態(tài)。(2) (2) 兩個玻色子處在同一個狀態(tài)，另一個玻色子兩個玻色子處在同一個狀態(tài)，另一個玻色子處于另一狀態(tài)。處于另一狀態(tài)

16、。Spin and identical particle第 二 種 情 況 ：第 二 種 情 況 ：(3)1,2,31231322312!1!()( )( )( )3!( )( )( )( )( )( )sq q qqqqqqqqqq(4)1231232133121( ,)( )()( )3()( )( )( )( )()Sq q qqqqqqqqqq兩粒子同處于兩粒子同處于 態(tài)，一粒子處于態(tài)，一粒子處于 態(tài)態(tài)兩粒子同處于兩粒子同處于 態(tài)，一粒子處于態(tài)，一粒子處于 態(tài)態(tài)Spin and identical particle 一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無一體系由三個全同玻色子組成，玻

17、色子之間無相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三 ，問體系可能的狀態(tài)有幾個？波函數(shù)怎樣由單粒子問體系可能的狀態(tài)有幾個？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成？態(tài)構(gòu)成？321,Solve:（1 1）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：狀態(tài)數(shù)：狀態(tài)數(shù)：Ex.3Spin and identical particle(1)1,2,31122331223311321321322311221331123321!1!1!()3!( )()()()()( )()( )()()()( )()( )()( )()()sq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqq（2 2）三個粒子處

18、于同一個單態(tài)上）三個粒子處于同一個單態(tài)上(2)123111213(3)123212223(4)123313233(,)()()()(,)()()()(,)()()()sssq qqqqqq qqqqqq qqqqqSpin and identical particle（3 3）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)(5)21231112231113221213211(6)31231112331113321213311!2!1( ,) ( ) ( )( )3!( ) ( )( )( ) ( )( )211( ,) ( ) ( ) ( )3( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ssnq q qqqqqqqqqqnnq q qqqqqqqqqqSpin and identical particle22n 1(7)1,2,32122132123122223113(8)1,2,3212233212332222