第六章 線性代數(shù)模型

1、第六章第六章 線性代數(shù)與概率線性代數(shù)與概率 方法建模方法建模 線性代數(shù)模型：線性代數(shù)模型：有些復(fù)雜問(wèn)題，往往給人以變幻莫測(cè)的感有些復(fù)雜問(wèn)題，往往給人以變幻莫測(cè)的感覺(jué)，難以掌握其中的奧妙。當(dāng)我們把思維擴(kuò)展到線性空間，利覺(jué)，難以掌握其中的奧妙。當(dāng)我們把思維擴(kuò)展到線性空間，利用線性代數(shù)的基本知識(shí)建立模型，就可以掌握事物的內(nèi)在規(guī)律，用線性代數(shù)的基本知識(shí)建立模型，就可以掌握事物的內(nèi)在規(guī)律，預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)。預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)。 概率模型：概率模型：現(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，包括確現(xiàn)實(shí)世界的變化受著眾多因素的影響，包括確定的和隨機(jī)的。如果從建模的背景、目的和手段看，主要因素定的和隨機(jī)的。如果從建模的背景

2、、目的和手段看，主要因素是確定的，隨機(jī)因素可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡(jiǎn)單是確定的，隨機(jī)因素可以忽略，或者隨機(jī)因素的影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨地以平均值的作用出現(xiàn)，那么就能夠建立確定性模型。如果隨機(jī)因素對(duì)研究對(duì)象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機(jī)模型。機(jī)因素對(duì)研究對(duì)象的影響必須考慮，就應(yīng)建立隨機(jī)模型。6.1、優(yōu)良作物品種篩選問(wèn)、優(yōu)良作物品種篩選問(wèn)題題背背景景遺傳學(xué)的研究告訴我們，在動(dòng)植物遺傳學(xué)的研究告訴我們，在動(dòng)植物產(chǎn)生下一代的過(guò)程中，總是將自己產(chǎn)生下一代的過(guò)程中，總是將自己的特征遺傳給下一代，從而完成一的特征遺傳給下一代，從而完成一種種“生命的延續(xù)生命的

3、延續(xù)”。在常染色體遺傳中，后代從親體在常染色體遺傳中，后代從親體的基因中各繼承一個(gè)基因，形成的基因中各繼承一個(gè)基因，形成自己的基因。下面我們討論一個(gè)自己的基因。下面我們討論一個(gè)染色體遺傳染色體遺傳植物后代問(wèn)題植物后代問(wèn)題 設(shè)一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的的基因型為AA、Aa 和 aa 。研究所計(jì)劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。問(wèn)經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？植物基因的分布植物基因的分布問(wèn)題問(wèn)題1. 建模準(zhǔn)備建模準(zhǔn)備植物遺傳規(guī)律？動(dòng)植物都會(huì)將本身的特征遺傳給后代，這主要是因?yàn)楹蟠^承了雙親的基因基因，形成了自己的基因?qū)?，基因?qū)?，基因?qū)痛_定了后

4、代所表現(xiàn)的特征。常染色體遺傳的規(guī)律：后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ袀€(gè)繼承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)Γ椿蛐突蛐汀?如果考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因 A、a控制的，那么就有三種基因?qū)?，記為AA、Aa 和 aa 。 金魚(yú)草花的顏色金魚(yú)草花的顏色是由兩個(gè)遺傳因 子決定的，基因型為AA的金魚(yú)草開(kāi)紅花，Aa 型的開(kāi)粉紅花，而 aa型的開(kāi)白花。 人類(lèi)眼睛的顏色人類(lèi)眼睛的顏色也是通過(guò)常染色體來(lái)控制的。基因型為AA ，或Aa 型的人眼睛顏色為棕色，而 aa型的人眼睛顏色為藍(lán)色。 這里AA ，Aa表示同一外部特征，我們認(rèn)為基因A支配基因a，即基因a對(duì)A來(lái)說(shuō)是隱性的。如父體父體- -母體的基因?qū)δ阁w的基因?qū)A-A

5、A AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后后代代基基因因?qū)?duì)AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率矩陣雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率矩陣2. 假設(shè)假設(shè)nnncba,分別表示第n代植物中基因型為AA,Aa,aa的植物占植物總數(shù)的百分率。1nnncba第n代植物的基因型分布為,)(nnnncbax,)(0000cbax表示植物基因型初始分布。假設(shè)1假設(shè)2植物中第n-1代基因型分布與第n代分布的關(guān)系由下表確定。父體父體- -母體的基因?qū)δ阁w的基因?qū)A-AA AA-Aa AA-aa后后代代基基因因?qū)?duì)AA11/

6、20Aa01/21aa0001121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba3. 建模建模11100012100211nnnnnncbacba/1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba00012100211/M)()(1nnMxx)()()(221nnnxMMxx)(33nxM0 xMn4 .求解模型求解模型關(guān)鍵計(jì)算0 xMxnn)(nM00012100211/M特征值為1，1/2，0，M可對(duì)角化，即可求出可逆對(duì)角矩陣P，使PMP-1為對(duì)角型矩陣。121010001,特征值為1，1/2，0的特征向量分別為則100210101P0000210001/D0 xMxn

7、n)(01xPPDn011002101110000210001100210111xn/011002101110000210001100210111xn/011000212102112111xnnnn/)/()/(021212121010010000cbcbcbannnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(nnnncbax)(當(dāng) 時(shí)，n0, 0, 1nnncba經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，培育出來(lái)的植物基本上呈現(xiàn)AA型。5. 結(jié)論結(jié)論練習(xí)題1若不選用AA型植物與每種植物結(jié)合

8、的方案，而是采用將相同基因型植物相結(jié)合，則情形怎樣？父體父體- -母體的基因?qū)δ阁w的基因?qū)A-AA Aa-Aa aa-aa后后代代基基因因?qū)?duì)AA11/40Aa01/20aa01/41在極限狀態(tài)下，后代僅具有基因型AA和aa。 遺傳疾病是常染色體的基因缺陷由父母代傳給子代的疾病。常染色體的隱性疾病常染色體的隱性疾病練習(xí)題2 常染色體遺傳的正?；蛴洖锳，不正?；蛴洖閍，并以AA、Aa 和 aa 分別表示正常人，隱性患者和顯性患者的基因型。若在開(kāi)始的一代人口中AA、Aa 和 aa 基因型的人所占百分比為a0，b0，c0，討論在下列兩種情況下第n代的基因型分布。1 控制結(jié)合：顯性患者不能生育后

9、代，正常人與隱性患者必須與正常人結(jié)合生育后代；2 自由結(jié)合：這三種基因的人任意結(jié)合生育后代。父體父體- -母體的基因?qū)δ阁w的基因?qū)A-AA Aa-AA后代后代基因基因?qū)?duì)AA11/2Aa01/21121nnnbaa121nnbb1nnba11210211nnnnbaba/0 xMxnn)(01xPPDn21001/D1011P10111P1PPDMnn21001/10111011nn)/()/(2102111002102111baxnnn)/()/()( 0021211bbnn)/()/(當(dāng) 時(shí)，n,01nnba即經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，隱性患者消失。. 農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格問(wèn)題農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格問(wèn)題 3 3戶鄰

10、居戶鄰居A,B,C,A,B,C,每家都有一個(gè)菜園，在各自每家都有一個(gè)菜園，在各自的菜園內(nèi)，的菜園內(nèi)，A A種番茄，種番茄，B B種玉米，種玉米，C C種茄子，他們種茄子，他們同意按照下面的比例分享各家的收獲同意按照下面的比例分享各家的收獲； A A的番茄的的番茄的1/21/2，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/41/4； B B的番茄的的番茄的1/31/3，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/41/4； C C的番茄的的番茄的1/61/6，玉米的，玉米的1/31/3，茄子的，茄子的1/21/2； 如果滿足閉合經(jīng)濟(jì)（即系統(tǒng)內(nèi)自產(chǎn)自銷(xiāo)）的平如果滿足閉合經(jīng)濟(jì)（即系統(tǒng)內(nèi)自產(chǎn)自銷(xiāo)）

11、的平衡條件，同時(shí)收獲物的最低價(jià)格是衡條件，同時(shí)收獲物的最低價(jià)格是10001000元，則每元，則每戶確定它們各自收獲物的價(jià)格是什么？戶確定它們各自收獲物的價(jià)格是什么？ 構(gòu)建模型構(gòu)建模型111234111334111632E0E 設(shè)設(shè) 表示番茄的收獲的價(jià)格，表示番茄的收獲的價(jià)格， 表示玉米的收獲表示玉米的收獲價(jià)格，價(jià)格， 表示茄子的收獲價(jià)格，據(jù)題意，得收入表示茄子的收獲價(jià)格，據(jù)題意，得收入支出矩陣（或稱(chēng)交換矩陣）為支出矩陣（或稱(chēng)交換矩陣）為 1P2P3P模型求解模型求解112233PPE PPPP123TPPPP設(shè)1230111234012103340111632IEPPEPP即即模型得解即模型得

12、解123min1000PPP由 于151000,70kk則1231260,1050,1120PPP即1815 ,16Pkk是任意常數(shù)可求得這個(gè)齊次線性方程組的通解為可求得這個(gè)齊次線性方程組的通解為把n2個(gè)不同數(shù)字依次填入由nn個(gè)小方格構(gòu)成的正方形中，使得橫行數(shù)字之和、直列數(shù)字之和以及對(duì)角線數(shù)字之和都相等，這樣的一個(gè)數(shù)圖叫做一個(gè)（n階）幻方階）幻方，各直線上各數(shù)字之和叫幻和幻和。6.3 Drer魔方問(wèn)題魔方問(wèn)題最早有關(guān)幻方的文字記載是中國(guó)古代數(shù)學(xué)書(shū)數(shù)術(shù)拾遺，那里記載了上述源自“洛書(shū)”的方圖，當(dāng)時(shí)稱(chēng)為“九宮圖”，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝稱(chēng)這種圖為縱橫圖，歐洲人稱(chēng)之為魔方魔方或幻方。幻方中各數(shù)若是從1到n

13、2的連續(xù)自然數(shù)，則稱(chēng)之為標(biāo)準(zhǔn)幻方標(biāo)準(zhǔn)幻方。n階標(biāo)準(zhǔn)幻方的幻和為 212().n n 幻方起源于古老的傳說(shuō)，自古有一種神秘色彩，人們把她當(dāng)作護(hù)身避邪的吉祥物。許多人熱衷于研究幻方，起初，只是因?yàn)樗藷o(wú)盡的神奇之美，而且，研究幻方本身也是對(duì)人的智力的開(kāi)發(fā)。喜歡幻方、研究幻方的人不僅限于數(shù)學(xué)家，還有物理學(xué)家、政治家；不僅有成年人，也有孩子?，F(xiàn)代科學(xué)家研究幻方，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是為了好玩或驅(qū)災(zāi)避邪。電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，幻方在程序設(shè)計(jì)、組合分析、人工智能、圖論等許多方面發(fā)現(xiàn)了新用場(chǎng)?；梅接卸嗌伲?可以很容易地證明，2階幻方是不存在的。我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家楊輝早在1275年就給出了310階的幻方。目前，國(guó)外已

14、經(jīng)排出了105階幻方，我國(guó)數(shù)學(xué)家排出了125階幻方。同一階幻方，可以有多種不同的排法，階數(shù)越大，排法越多。如果不包括通過(guò)旋轉(zhuǎn)或反射得到的本質(zhì)上相同的幻方，我們有：3階幻方只有1種；4階幻方有880種；5階幻方有275305224種（約兩億七千五百萬(wàn)）；7階幻方有363916800種（約三億六千四百萬(wàn)） ；8階幻方超過(guò)10億種。 五階五階 沒(méi)人知道有多少個(gè)！沒(méi)人知道有多少個(gè)！三階三階 1個(gè)個(gè) 反射和中心旋轉(zhuǎn)生成反射和中心旋轉(zhuǎn)生成8個(gè)個(gè)四階四階 880個(gè)個(gè) 反射和中心旋轉(zhuǎn)生成反射和中心旋轉(zhuǎn)生成7040個(gè)個(gè)魔方數(shù)量隨階數(shù)魔方數(shù)量隨階數(shù)n增長(zhǎng)的速增長(zhǎng)的速度實(shí)在是太驚人了！度實(shí)在是太驚人了！同階魔方的個(gè)

15、數(shù)同階魔方的個(gè)數(shù)Drer魔方魔方：4階，每一行之階，每一行之和為和為34，每一列之和為，每一列之和為34，對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和對(duì)角線（或次對(duì)角線）之和是是34，每個(gè)小方塊中的數(shù)字，每個(gè)小方塊中的數(shù)字之和是之和是34，四個(gè)角上的數(shù)字，四個(gè)角上的數(shù)字加起來(lái)也是加起來(lái)也是34.版畫(huà)創(chuàng)造時(shí)版畫(huà)創(chuàng)造時(shí)間：間：15141514年年 多么奇妙多么奇妙的魔方！的魔方！什么是什么是Drer魔方魔方 該魔方出現(xiàn)在德國(guó)著該魔方出現(xiàn)在德國(guó)著名的藝術(shù)家名的藝術(shù)家 Albrecht Drer于于1514年創(chuàng)造的年創(chuàng)造的版畫(huà)版畫(huà)Melancolia。你想構(gòu)造你想構(gòu)造D Drerrer魔方嗎？魔方嗎？D Drerrer魔

16、方有多少個(gè)？魔方有多少個(gè)？如何構(gòu)造所有的如何構(gòu)造所有的D Drerrer魔方？魔方？設(shè)設(shè)A,B是任意兩個(gè)是任意兩個(gè)Drer 魔方，魔方，對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)k，kA 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？ A+B 是是Drer魔方嗎？魔方嗎？松馳問(wèn)題的討論松馳問(wèn)題的討論允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù)任意兩個(gè)任意兩個(gè)Drer魔方的任意的線魔方的任意的線性組合仍是性組合仍是Drer魔方。魔方。記記 D=A=(aij) R44|A為為Drer魔方魔方 將將A看成看成16維列向量，則維列向量，則D構(gòu)成一構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱(chēng)為個(gè)向量空間，稱(chēng)為Drer魔方空間魔方空間.無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮多個(gè)求出魔方

17、空間的一組基求出魔方空間的一組基,基的基的任意線性組合都構(gòu)成一個(gè)任意線性組合都構(gòu)成一個(gè)Drer魔方魔方.令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對(duì)角線和，為對(duì)角線和，S為小方塊和為小方塊和類(lèi)似于類(lèi)似于n維空間的維空間的基本單位向量組，基本單位向量組，利用利用0和和1來(lái)構(gòu)造一來(lái)構(gòu)造一些些R=C=D=S=1的的最簡(jiǎn)單的方陣。最簡(jiǎn)單的方陣。求求Drer魔方空間的基魔方空間的基1在第一行中有在第一行中有4種取法，第二行中的種取法，第二行中的1還有還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械膬煞N取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8個(gè)不同的最個(gè)不同的最

18、簡(jiǎn)方陣，稱(chēng)為基本魔方簡(jiǎn)方陣，稱(chēng)為基本魔方Q1,Q8 令令R為行和，為行和，C為列和，為列和，D為對(duì)角線和，為對(duì)角線和，S為小方塊和為小方塊和類(lèi)似于類(lèi)似于n維空間的維空間的基本單位向量組，基本單位向量組，利用利用0和和1來(lái)構(gòu)造一來(lái)構(gòu)造一些些R=C=D=S=1的的最簡(jiǎn)單的方陣。最簡(jiǎn)單的方陣。求求Drer魔方空間的基魔方空間的基Q1=0000000000000000111100101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q0001100

19、0001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基1在第一行中有在第一行中有4種取法，第二行中的種取法，第二行中的1還有還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械膬煞N取法。當(dāng)?shù)诙械?也取定后，第三、也取定后，第三、四行的四行的1就完全定位了，故共有就完全定位了，故共有8個(gè)不同的最個(gè)不同的最簡(jiǎn)方陣，稱(chēng)為基本魔方簡(jiǎn)方陣，稱(chēng)為基本魔方Q1,Q8 顯然，顯然， Drer空間中任何一個(gè)魔方空間中任何一個(gè)魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8來(lái)線性表示，但來(lái)線性表示，但它們能否構(gòu)成它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？空間的一組基呢？00101000010000011Q010000101

20、00000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空間的基魔方空間的基145

21、823670QQQQQQQQQ1,Q8線性相關(guān)線性相關(guān) 顯然，顯然， Drer空間中任何一個(gè)魔方空間中任何一個(gè)魔方都可以用都可以用Q1,Q2,Q8來(lái)線性表示，但來(lái)線性表示，但它們能否構(gòu)成它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？空間的一組基呢？Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成能否構(gòu)成D空間的一組基？空間的一組基？00101000010000011Q01000010100000012Q00100100000110003Q01000001001010004Q10000010000101005Q10000001010000106Q00011000001001007Q00010100100000108Q求求Drer魔方空

22、間的基魔方空間的基145823670QQQQQQQQQ1,Q8線性相關(guān)線性相關(guān)由由077665544332211QrQrQrQrQrQrQr0ir127,Q QQ線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。Q1,Q7構(gòu)成構(gòu)成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.Q1,Q2,Q8能否構(gòu)成能否構(gòu)成D空間的一組基？空間的一組基？Q1,Q7構(gòu)成構(gòu)成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQrQrD構(gòu)造構(gòu)造Albrecht Drer的數(shù)字魔方的數(shù)字魔方21rr 6r75rr 43rr

23、 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16321351011896712415141=12345678,8,7,6,2,3,4rrrrrrr 122345678876234DQQQQQQQQ1,Q2,Q8能否構(gòu)成能否構(gòu)成D空間的一組基？空間的一組基？Q1,Q7構(gòu)成構(gòu)成D空間的一組基，任意空間的一組基，任意Drer魔方魔方都可由其線性表示都可由其線性表示.77665544332211QrQrQrQrQrQrQrD隨心所欲構(gòu)造隨心所欲構(gòu)造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr

24、3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =？=dij所得的線性方程組有所得的線性方程組有 個(gè)方程？個(gè)方程？ 個(gè)變量？個(gè)變量？1623如何求解該線性方程組呢？（可利用數(shù)學(xué)軟件）如何求解該線性方程組呢？（可利用數(shù)學(xué)軟件）隨心所欲構(gòu)造隨心所欲構(gòu)造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0

25、0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0A = Ar y = 016維變量維變量 y (A, E) = 0ryDrer魔方空間魔方空間是是7維的維的.隨心所欲構(gòu)造隨心所欲構(gòu)造Drer魔方魔方21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =(dij) Ar y = 016維變量維變

26、量 y (A, E) = 0ry自由變量可取為自由變量可取為d24, d32, d34, d41, d42,d43, d4416321351011896712415141-524 18 2019 19 13 623 421 920 10 522任給任給d24, d32, d34, d41, d42,d43, d44的一的一組值，就可得唯組值，就可得唯一確定一確定Drer魔方魔方的其他值的其他值.還不夠隨心所欲？還不夠隨心所欲？賦予魔方更大賦予魔方更大的威力吧！的威力吧！自由變量的選取不唯一自由變量的選取不唯一構(gòu)造你自己認(rèn)為有意義的構(gòu)造你自己認(rèn)為有意義的Durer魔方。魔方。只要選取系數(shù)矩陣只要

27、選取系數(shù)矩陣23列中列中16個(gè)線性無(wú)關(guān)的個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，其余列，其余7列對(duì)應(yīng)的變列對(duì)應(yīng)的變量就可取為自由變量量就可取為自由變量.任給任給d11, d12, d13, d14, d22,d33, d43的一組值，也可得唯一的一組值，也可得唯一確定確定Drer魔方的其他值魔方的其他值.125861146710 報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣(mài)掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份購(gòu)進(jìn)的價(jià)格為 b，零售價(jià)為 a，退回價(jià)為 c，應(yīng)該自然地假設(shè)為 abc。也就是說(shuō)，報(bào)童售出一份報(bào)紙賺 a-b，退回一份賠 b-c，報(bào)童每天如果購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，不夠賣(mài)的，會(huì)少賺錢(qián)；如果購(gòu)進(jìn)太多，賣(mài)不完，將賠錢(qián)。請(qǐng)你為報(bào)童籌劃一

28、下，他應(yīng)該如何確定每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。6.4 報(bào)童的訣竅報(bào)童的訣竅問(wèn)問(wèn)題題報(bào)童售報(bào)：報(bào)童售報(bào)： a (零售價(jià)零售價(jià)) b(購(gòu)進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)價(jià)) c(退回價(jià)退回價(jià))售出一份賺售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c 每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？分分析析購(gòu)進(jìn)太多購(gòu)進(jìn)太多賣(mài)不完退回賣(mài)不完退回賠錢(qián)賠錢(qián)購(gòu)進(jìn)太少購(gòu)進(jìn)太少不夠銷(xiāo)售不夠銷(xiāo)售賺錢(qián)少賺錢(qián)少應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)

29、量適的購(gòu)進(jìn)量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 設(shè)每天購(gòu)進(jìn)設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份，份，日平均收入為日平均收入為 G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律每天每天需求量為需求量為 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2準(zhǔn)準(zhǔn)備備)()(rncbrnrbarnr賠退回賺售出nbannr)( 賺售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份賺已知售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-cnndrrnpbadrrprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解求解將將r視為連續(xù)變量視為連續(xù)變量

30、概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(cbbadrrpdrrpnn)()(0結(jié)果解釋結(jié)果解釋nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份賺的錢(qián)售出一份賺的錢(qián) b-c 退回一份賠的錢(qián)退回一份賠的錢(qián)ncbnba)(,)(0rp因?yàn)楫?dāng)購(gòu)進(jìn)n份報(bào)紙時(shí), drrpPn01是需求量r不超過(guò)n的概率，即賣(mài)不完的概率； drrpPn2是需求量r超過(guò)n的概率，即賣(mài)完的概率，所以上式表明，購(gòu)進(jìn)的份數(shù)n應(yīng)該使賣(mài)不完與賣(mài)完的概率之比，恰好等于賣(mài)出一份賺的錢(qián)a-b與退回一份賠的錢(qián)b-c之比.結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢(qián)與賠錢(qián)之比越大時(shí)，報(bào)童購(gòu)進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。練習(xí)：練習(xí)：利用上述模型計(jì)算，若每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為0.75元，售出價(jià)為1元，退回價(jià)為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報(bào)童每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？6.4 產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn) 產(chǎn)品質(zhì)量是每個(gè)企業(yè)都十分關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題，質(zhì)量監(jiān)控的一個(gè)經(jīng)常采用的方法是抽樣檢驗(yàn)。人們?cè)O(shè)計(jì)出了各種各樣的給出整批產(chǎn)品可接受準(zhǔn)則的抽樣方案。 問(wèn)題問(wèn)題：一個(gè)陶器公司生產(chǎn)咖啡杯，